चतुर्थक समीकरण

गणित में, चतुर्थक समीकरण वह होता है जिसे शून्य के बराबर 'चतुर्थक फलन' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चतुर्थक समीकरण का सामान्य रूप है

डिग्री 4 के एक बहुपद फलन का ग्राफ, इसकी 4 बहुपद जड़ और 3 महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) के साथ।

:$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,$

जहां एक ≠ 0।

'चतुर्थक' उच्चतम क्रम बहुपद समीकरण है जिसे सामान्य मामले में विलक्षण द्वारा हल किया जा सकता है (यानी, जिसमें गुणांक कोई मान ले सकता है)।

इतिहास

लोदोविको फेरारी को 1540 में चतुर्थक के समाधान की खोज के लिए उत्तर्दायी ठहराया गया है, चूंकि इस समाधान को, चतुर्थक के सभी बीजगणितीय समाधानों की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता है,इसलिए इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका। अर्स मैग्ना (जेरोम कार्डानो) (1545) पुस्तक में फेरारी के सलाहकार गेरोलमो कार्डानो द्वारा चतुर्थक का समाधान घनाकार के साथ प्रकाशित किया गया था।

यह प्रमाण कि यह उच्चतम क्रम का सामान्य बहुपद था जिसके लिए इस तरह के समाधान खोजे जा सकते थे, सबसे पहले 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में यह साबित करते हुए दिया गया था कि उच्च क्रम बहुपद को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में अपनी मृत्यु से पहले एवरिस्ट गैल्वा द्वारा छोड़े गए टिप्पणियों ने बाद में बहुपदों की जड़ों के एक सुंदर गैल्वा सिद्धांत को जन्म दिया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।

चतुर्थक सूत्र।

एक चतुर्थांश समीकरण को हल करना, विशेष मामले

$a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0$: रूप में व्यक्त एक चतुर्थांश समीकरण पर विचार करें

चतुर्थक समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए एक सामान्य सूत्र उस्थिपत है, परंतु अग्रणी पद का गुणांक गैर-शून्य होना चाहिए। यद्यपि, चूंकि सामान्य विधि काफी जटिल है और निष्पादन में त्रुटियों के लिए अतिसंवेदनशील है, इसलिए यदि संभव हो तो नीचे सूचीबद्ध विशेष मामलों में से एक को लागू करना बेहतर होगा।

पतित मामला

यदि स्थिर पद a₄= 0 है, तो जड़ों में से एक x = 0 है, और अन्य जड़ों को x से विभाजित करके और परिणामी घन समीकरण को हल करके पाया जा सकता है,

$a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,$

प्रत्यक्ष मूल: 1 और -1 और -k

हमारे चतुर्थांश बहुपद को Q(x) बुलाऐं। चूँकि 1 किसी भी घात से बढ़ा हुआ 1 होता है, $Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$. इस प्रकार यदि $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0$, Q(1) = 0 और इसलिए x = 1, Q(x) का मूल है। इसी प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि यदि $a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}$, x = −1 एक मूल है।

किसी भी मामले में पूर्ण चतुर्थक को क्रमशः कारक (x − 1) या (x + 1) से विभाजित किया जा सकता है, जिससे एक नया घनाकार बहुपद प्राप्त होता है, जिसे चतुर्थक की अन्य जड़ों को खोजने के लिए हल किया जा सकता है।

यदि $a_{1}=a_{0}k$, $a_{2}=0$ तथा $a_{4}=a_{3}k$, तो x = −k समीकरण का एक मूल है। पूर्ण चतुर्थक को इस तरह से कारक बनाया जा सकता है:

$a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k).\,$

यदि $a_{1}=a_{0}k$ , $a_{3}=a_{2}k$ तथा $a_{4}=0$, x = 0 और x = -k दो ज्ञात मूल हैं। Q(x) को x(x + k) से विभाजित करना एक द्विघात बहुपद है।

द्विवर्गीय समीकरण

एक चतुर्थांश समीकरण जहाँ a₃ और a₁ 0 के बराबर हैं

$a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!$ रूप लेता है

और इस प्रकार एक द्विघात समीकरण है, जिसे हल करना आसान है: चलो $z=x^{2}$, तो हमारा समीकरण बदल जाता है

$a_0{z}^2+a_2$