गॉसियन वक्रता

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बाएं से दाएं: नकारात्मक गॉसियन वक्रता ( अतिपरवलय) की सतह, शून्य गॉसियन वक्रता (सिलेंडर (ज्यामिति)) की सतह, और सकारात्मक गॉसियन वक्रता (गोले) की सतह।

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टोरस पर कुछ बिंदु धनात्मक होते हैं, कुछ ऋणात्मक होते हैं, और कुछ में शून्य गॉसियन वक्रता होती है।

विभेदक ज्यामिति में, गॉसियन वक्रता या गॉस वक्रता किसी बिंदु पर त्रि-आयामी समतल में एक समान सतह (टोपोलॉजी) का मुख्य वक्रता का उत्पाद है, κ₁ और κ₂, दिए गए बिंदु पर:

$$K=\kappa _{1}\kappa _{2}.$$

वक्रता की गॉसियन त्रिज्या का व्युत्क्रम Κ है, उदाहरण के लिए, त्रिज्या का एक गोला r गॉसियन वक्रता 1/r² है, हर जगह और एक समतल विमान और एक सिलेंडर में हर जगह गॉसियन वक्रता शून्य होती है। गॉसियन वक्रता भी ऋणात्मक हो सकती है, जैसा कि हाइपरबोलॉइड या टोरस्र्स के अंदर के प्रकरण में होता है।

गॉसियन वक्रता, वक्रता का एक आंतरिक माप है, जो केवल "भीतर" या सतह के साथ मापी जाने वाली दूरियों पर निर्भर करता है, न कि उस तरह से जिस तरह से यह यूक्लिडियन समतल में आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेडिंग होता है। यह प्रमेय एग्रेगियम की सामग्री है।

गॉसियन वक्रता का नाम कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1827 में प्रमेय एग्रेगियम प्रकाशित किया था।

अनौपचारिक परिभाषा

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मुख्य वक्रता की दिशा में सामान्य तलों के साथ काठी की सतह

सतह पर किसी भी बिंदु पर, हम एक सामान्य (ज्यामिति) पा सकते हैं जो सतह के समकोण पर है; सामान्य वेक्टर वाले विमानों को सामान्य विमान (ज्यामिति) कहा जाता है। एक सामान्य तल और सतह का प्रतिच्छेदन एक वक्र का निर्माण करेगा जिसे सामान्य खंड कहा जाता है और इस वक्र की वक्रता सामान्य वक्रता है। अधिकांश "समान" सतहों पर अधिकांश बिंदुओं के लिए, विभिन्न सामान्य वर्गों में अलग-अलग वक्रताएँ होंगी; इनमें से अधिकतम और न्यूनतम मान मुख्य वक्रता कहलाते हैं, इन्हें κ₁, κ₂. कहते हैं, गॉसियन वक्रता दो प्रमुख वक्रताओं का गुणनफल Κ = κ₁κ₂ है।

गॉसियन वक्रता के चिह्न का उपयोग सतह की विशेषता के लिए किया जा सकता है।

• यदि दोनों मुख्य वक्रताएँ κ₁κ₂ > 0 एक ही चिन्ह की हैं, तो गॉसियन वक्रता धनात्मक है और सतह को दीर्घवृत्तीय बिंदु कहा जाता है। ऐसे बिंदुओं पर, सतह गुंबद जैसी होगी, स्थानीय रूप से इसके स्पर्शरेखा तल के एक तरफ पड़ी होगी। सभी अनुभागीय वक्रताओं का एक ही चिह्न होगा।
• यदि मुख्य वक्रता के अलग-अलग चिह्न हैं: κ₁κ₂ < 0, तब गॉसियन वक्रता ऋणात्मक होती है और कहा जाता है कि सतह में एक अतिशयोक्तिपूर्ण या सैडल बिंदु है। ऐसे बिंदुओं पर, सतह काठी के आकार की होगी। क्योंकि एक मुख्य वक्रता ऋणात्मक होती है, एक धनात्मक होती है, और सामान्य वक्रता लगातार बदलती रहती है यदि आप एक समतल ऑर्थोगोनल को सतह के सामान्य के चारों ओर दो दिशाओं में घुमाते हैं, तो उस बिंदु के लिए स्पर्शोन्मुख वक्र देते हुए सामान्य वक्रता शून्य होगी।
• यदि मुख्य वक्रता में से एक शून्य है: κ₁κ₂ = 0, गॉसियन वक्रता शून्य है और सतह को एक परवलयिक बिंदु कहा जाता है।

अधिकांश सतहों में सकारात्मक गॉसियन वक्रता (वक्राकार बिंदु) के क्षेत्र और नकारात्मक गॉसियन वक्रता के क्षेत्र शून्य गॉसियन वक्रता वाले बिंदुओं के वक्र से अलग होते हैं जिन्हें परवलयिक रेखा कहा जाता है।

ज्यामिति से संबंध

जब एक सतह में लगातार शून्य गॉसियन वक्रता होती है, तो यह एक विकास योग्य सतह होती है और सतह की ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति होती है।

जब एक सतह में एक स्थिर सकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है, तो सतह की ज्यामिति गोलाकार ज्यामिति होती है। गोले के गोले और पैच में यह ज्यामिति होती है, लेकिन नींबू (ज्यामिति) जैसे अन्य उदाहरण भी सम्मिलित हैं।

जब एक सतह में एक निरंतर नकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है, तो यह एक छद्ममंडलीय सतह होती है और सतह की ज्यामिति अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति होती है।

प्रमुख वक्रता से संबंध

किसी सतह (टोपोलॉजी) के दिए गए बिंदु पर दो प्रमुख वक्रताएँ बिंदु पर आकृति संचालिका के ऐन्जेन मान ​​​​हैं। वे मापते हैं कि उस बिंदु पर सतह अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग मात्रा में कैसे झुकती है। हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा सतह का प्रतिनिधित्व करते हैं, f, दो चरों का, इस तरह से कि बिंदु p एक महत्वपूर्ण बिंदु है, अर्थात की प्रवणता है f गायब हो जाता है (यह सदैव एक उपयुक्त कठोर गति से प्राप्त किया जा सकता है)। फिर सतह की गॉसियन वक्रता पर p के हेसियन मैट्रिक्स का निर्धारक है f (हेस्सियन के ऐन्जेन मान ​​​​के उत्पाद होने के नाते)। (याद रखें कि हेसियन दूसरे डेरिवेटिव का 2×2 मैट्रिक्स है।) यह परिभाषा एक कप/कैप बनाम सैडल पॉइंट के बीच के अंतर को तुरंत समझने की अनुमति देती है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

इसके अनुसार भी दिया गया है

$$K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},$$

कहाँ ∇_i = ∇_ei सहसंयोजक व्युत्पन्न है और g मीट्रिक टेंसर है।

एक बिंदु पर p में एक नियमित सतह पर R³, गॉसियन वक्रता भी द्वारा दिया जाता है

$$K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),$$

कहाँ S शेप ऑपरेटर है।

गॉसियन वक्रता के लिए एक उपयोगी सूत्र लिउविल समीकरण है। इज़ोटेर्माल निर्देशांक में लाप्लासियन के संदर्भ में लिउविल का समीकरण।

कुल वक्रता

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ऋणात्मक वक्रता वाले पृष्ठ पर त्रिभुज के कोणों का योग समतल त्रिभुज के कोणों से कम होता है।

किसी सतह के किसी क्षेत्र पर गॉसियन वक्रता का सतह समाकल कुल वक्रता कहलाता है। एक जियोडेसिक त्रिभुज की कुल वक्रता इसके कोणों के योग के विचलन π के बराबर होती है, धनात्मक वक्रता की सतह पर त्रिभुज के कोणों का योग π अधिक होगा, जबकि ऋणात्मक वक्रता वाली सतह पर त्रिभुज के कोणों का योग π इससे कम होगा। शून्य वक्रता वाली सतह पर, जैसे यूक्लिडियन विमान पर, कोणों का योग π रेडियंस निर्धारित होगा।

$$\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.$$

गॉस-बोनट प्रमेय एक अधिक सामान्य परिणाम है।

महत्वपूर्ण प्रमेय

एक उत्कृष्ट प्रमेय

Main article: प्रमेय एग्रेगियम

गॉस के प्रमेय एग्रेगियम (लैटिन: उल्लेखनीय प्रमेय) में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को सतह पर ही लंबाई के माप से निर्धारित किया जा सकता है। वास्तव में, इसे पहले मौलिक रूप का पूरा ज्ञान दिया जा सकता है और पहले मौलिक रूप और इसके पहले और दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। समान रूप से, सतह के दूसरे मौलिक रूप का निर्धारक R³ इतना व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रमेय की उल्लेखनीय और आश्चर्यजनक विशेषता यह है कि हालांकि सतह के गॉसियन वक्रता की परिभाषा S में R³ निश्चित रूप से उस तरीके पर निर्भर करता है जिसमें सतह समतल में स्थित है, अंतिम परिणाम, गॉसियन वक्रता स्वयं, सतह के [[आंतरिक मीट्रिक]] द्वारा निर्धारित किया जाता है बिना किसी परिवेश स्थान के संदर्भ के: यह एक आंतरिक अपरिवर्तनीय (गणित) है . विशेष रूप से, गॉसियन वक्रता सतह के आइसोमेट्री (रीमैनियन ज्यामिति) विकृतियों के तहत अपरिवर्तनीय है।

जब एक सतह में एक निरंतर शून्य गाऊसी वक्रता होती है, तो यह एक विकास योग्य सतह होती है और सतह की ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति होती है ।

समकालीन अंतर ज्यामिति में, एक सतह, जिसे अमूर्त रूप से देखा जाता है, एक द्वि-आयामी अलग-अलग कई गुना है। इस दृष्टिकोण को सतहों के विभेदक ज्यामिति से जोड़ने के लिए, ऐसी अमूर्त सतह को एम्बेड किया जा रहा है R³ और पहले मौलिक रूप द्वारा दिए गए रिमेंनियन मीट्रिक के साथ संपन्न हुआ। मान लीजिए कि एम्बेडिंग की छवि एक सतह है S में R³ एक स्थानीय आइसोमेट्री एक भिन्नता है f : U → V के खुले क्षेत्रों के बीच R³ किसका प्रतिबंध S ∩ U इसकी छवि पर एक आइसोमेट्री है। प्रमेय एग्रेगियम तब निम्नानुसार कहा गया है:

R³ में एक एम्बेडेड समतल सतह की गाऊसी वक्रता स्थानीय आइसोमेट्री के तहत अपरिवर्तनीय है।

उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर (ज्यामिति) ट्यूब का गॉसियन वक्रता शून्य है, जो अनियंत्रित ट्यूब (जो सपाट है) के समान है। दूसरी ओर, चूँकि त्रिज्या का एक गोला R में निरंतर धनात्मक वक्रता होती है R⁻² और एक समतल तल में निरंतर वक्रता 0 होती है, ये दो सतहें सममितीय नहीं हैं, स्थानीय रूप से भी नहीं। इस प्रकार किसी गोले के एक छोटे से हिस्से के किसी भी समतलीय निरूपण से दूरियों में विकृति आनी चाहिए। इसलिए, कोई भी कार्टोग्राफिक प्रक्षेपण सही नहीं है।

गॉस-बोनट प्रमेय

Main article: गॉस-बोनट प्रमेय

गॉस-बोनट प्रमेय किसी सतह की कुल वक्रता को उसकी यूलर विशेषता से जोड़ता है और स्थानीय ज्यामितीय गुणों और वैश्विक सामयिक गुणों के बीच एक महत्वपूर्ण कड़ी प्रदान करता है।

निरंतर वक्रता की सतहें

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दो सतहें जिनमें दोनों में निरंतर धनात्मक गॉसियन है, वक्रता लेकिन या तो एक खुली सीमा या एकवचन बिंदु के साथ।

* फर्डिनेंड माइंडिंग के प्रमेय (1839) में कहा गया है कि समान स्थिर वक्रता वाली सभी सतहें K स्थानीय रूप से आइसोमेट्रिक हैं। माइंडिंग के प्रमेय का एक परिणाम यह है कि कोई भी सतह जिसका वक्रता समान रूप से शून्य है, कुछ समतल क्षेत्र को मोड़कर बनाया जा सकता है। ऐसी सतहों को विकास योग्य सतह कहा जाता है। माइंडिंग ने यह सवाल भी उठाया कि क्या निरंतर सकारात्मक वक्रता वाली एक बंद सतह आवश्यक रूप से कठोर है।

• हेनरिक लिबमैन के प्रमेय (1900) ने माइंडिंग के प्रश्न का उत्तर दिया। एकमात्र नियमित (कक्षा का C²) बंद सतहों में R³ निरंतर सकारात्मक गॉसियन वक्रता वाले गोले हैं। यदि एक गोला विकृत हो जाता है, तो यह एक गोला नहीं रहता है, यह साबित करता है कि एक गोला कठोर है। एक मानक प्रमाण हिल्बर्ट के लेम्मा का उपयोग करता है कि चरम प्रमुख वक्रता के गैर-गर्भनाल बिंदु बिंदुओं में गैर-सकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है।
• हिल्बर्ट की प्रमेय (विभेदक ज्यामिति)|हिल्बर्ट की प्रमेय (1901) बताती है कि कोई पूर्ण विश्लेषणात्मक (वर्ग) सम्मिलित नहीं है C^ω) नियमित सतह में R³ निरंतर नकारात्मक गॉसियन वक्रता। वास्तव में, निष्कर्ष वर्ग की सतहों के लिए भी लागू होता है C² में डूबे R³, लेकिन के लिए टूट जाता है C¹-सतहें। छद्ममंडल में अपने एकवचन पुच्छ (विलक्षणता) को छोड़कर लगातार नकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है।

ऐसी अन्य सतहें हैं जिनमें निरंतर सकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है। मैनफ्रेडो डू कार्मो क्रांति की सतहों पर विचार करता है $(\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))$ कहाँ $\phi (v)=C\cos v$, और ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ (एक दीर्घवृत्तीय समाकल#दूसरी तरह का अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल)। इन सभी सतहों में 1 की निरंतर गॉसियन वक्रता होती है, लेकिन, के लिए $C\neq 1$ या तो एक सीमा या एक विलक्षण बिंदु है। डू कार्मो लगातार नकारात्मक गॉसियन वक्रता के साथ सतह के तीन अलग-अलग उदाहरण भी देता है, जिनमें से एक स्यूडोस्फीयर है। लगातार गॉसियन वक्रता के साथ कई अन्य संभावित बाउंडेड सतहें हैं। जबकि गोला कठोर है और एक आइसोमेट्री का उपयोग करके मुड़ा नहीं जा सकता है, यदि एक छोटा क्षेत्र हटा दिया जाता है, या एक छोटे से खंड के साथ भी काट दिया जाता है, तो परिणामी सतह को मोड़ा जा सकता है। इस तरह के झुकने से गॉसियन वक्रता बनी रहती है, इसलिए किसी क्षेत्र को हटाने के साथ किसी गोले के इस तरह के झुकने में भी निरंतर गॉसियन वक्रता होगी।

वैकल्पिक सूत्र

• में एक सतह की गॉसियन वक्रता R³ को दूसरे मौलिक रूप के निर्धारकों और पहले मौलिक रूप के मौलिक रूपों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है II और I:
  $$K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.$$
• द ब्रियोस्की सूत्र (फ्रांसेस्को ब्रियोस्की के बाद) गॉसियन वक्रता को पूरी तरह से पहले मौलिक रूप के संदर्भ में देता है:
  $$K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}$$
• एक ओर्थोगोनल निर्देशांक पैरामीट्रिजेशन के लिए (F = 0), गॉसियन वक्रता है:
  $$K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).$$
• किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में वर्णित सतह के लिए z = F(x,y), गॉसियन वक्रता है:
  $$K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}$$
• एक परोक्ष रूप से परिभाषित सतह के लिए, F(x,y,z) = 0, गॉसियन वक्रता को प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ∇F और हेसियन मैट्रिक्स H(F):
  $$K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}$$
• यूक्लिडियन के अनुरूप मीट्रिक के साथ एक सतह के लिए, इसलिए F = 0 और E = G = e^σ, गॉस वक्रता द्वारा दिया जाता है (Δ सामान्य लाप्लास ऑपरेटर होने के नाते):
  $$K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .$$
• गॉसियन वक्रता एक भूगणित वृत्त की परिधि और समतल में एक वृत्त के बीच का सीमित अंतर है:
  $$K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}$$
• गॉसियन वक्रता एक भूगर्भीय डिस्क के क्षेत्र और विमान में एक डिस्क के बीच सीमित अंतर है:
  $$K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}$$
• गॉसियन वक्रता को क्रिस्टोफेल प्रतीकों के साथ व्यक्त किया जा सकता है:
  $$K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)$$

यह भी देखें

• पृथ्वी की त्रिज्या वक्रता की गॉसियन त्रिज्या पृथ्वी की वक्रता की गॉसियन त्रिज्या
• अनुभागीय वक्रता
• औसत वक्रता
• गॉस मानचित्र
• रीमैन वक्रता टेन्सर
• प्रधान वक्रता

किताबें

• Grinfeld, P. (2014). टेन्सर विश्लेषण का परिचय और गतिमान सतहों की गणना. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• Rovelli, Carlo (2021). सामान्य सापेक्षता अनिवार्यताएं. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-01369-7.

बाहरी संबंध

• "Gaussian curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]