हॉर्नर की विधि

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में, हॉर्नर की विधि या हॉर्नर की योजना बहुपद मूल्यांकन के लिए एक कलन विधि के रूप में होती है। यद्यपि विलियम जॉर्ज हॉर्नर के नाम पर इसका नाम रखा गया, यह बहुत पुरानी विधि के रूप में है और इसका श्रेय हॉर्नर द्वारा जोसेफ-लुई लाग्रेंज को दिया गया है तथा चीनी और फ़ारसी गणितज्ञों को कई सैकड़ों वर्षों में खोजा गया है। कंप्यूटरों के आगमन के बाद, यह कलन विधि बहुपदों के साथ कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए मूलभूत रूप बन गया।

कलन विधि हॉर्नर के नियम पर आधारित है, जिसमें एक बहुपद को 'नेस्टेड फॉर्म' में लिखा गया है

${\begin{aligned}a_{0}&+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n}\\&=a_{0}+x{\bigg (}a_{1}+x{\Big (}a_{2}+x{\big (}a_{3}+\cdots +x(a_{n-1}+x\,a_{n})\cdots {\big )}{\Big )}{\bigg )}.\end{aligned}}$

यह केवल n गुणन और n जोड़ के साथ घात n के बहुपद के मूल्यांकन की अनुमति देता है। यह इष्टतम है, क्योंकि घात n के बहुपद हैं जिनका मूल्यांकन कम अंकगणितीय परिचालनों के साथ नहीं किया जा सकता है

वैकल्पिक रूप से, हॉर्नर की विधि 1819 में हॉर्नर द्वारा वर्णित बहुपदों की रूट्स का अनुमान लगाने के लिए एक विधि को संदर्भित करती है। यह न्यूटन रैप्सन विधि का एक प्रकार है, जो हॉर्नर के नियम के अनुप्रयोग द्वारा हाथ की गणना के लिए अधिक कुशल रूप में होती है। 1970 के आसपास कंप्यूटर के सामान्य उपयोग में आने तक इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था।

बहुपद मूल्यांकन और दीर्घ विभाजन

बहुपद दिया है

$p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n},$

जहाँ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ निरंतर गुणांक के रूप में होता है, समस्या $x_{0}$ के एक विशिष्ट मान $x.$पर बहुपद का मूल्यांकन करना है।

इसके लिए, अचरों के एक नए अनुक्रम का पुनरावर्तन संबंध इस प्रकार परिभाषित किया जाता है।

${\begin{aligned}b_{n}&:=a_{n}\\b_{n-1}&:=a_{n-1}+b_{n}x_{0}\\(1)\quad \quad \quad &~~~\vdots \\b_{1}&:=a_{1}+b_{2}x_{0}\\b_{0}&:=a_{0}+b_{1}x_{0}.\end{aligned}}$

तब $b_{0}$ का मूल्य $p(x_{0})$.है

यह देखने के लिए कि यह क्यों काम करता है, बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है

$p(x)=a_{0}+x{\bigg (}a_{1}+x{\Big (}a_{2}+x{\big (}a_{3}+\cdots +x(a_{n-1}+x\,a_{n})\cdots {\big )}{\Big )}{\bigg )}\ .$

इस प्रकार, पुनरावृत्त रूप से $b_{i}$को प्रतिस्थापित करके अभिव्यक्ति इस प्रकार किया है,

$\begin{array}{rl}p(x_0)& =a_0+x_0(a_1+{}_{}\end{array}$