लाई व्युत्पन्न

अवकल ज्यामिति में, लाई व्युत्पन्न (/liː/ LEE), जिसका नाम व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा सोफस लाई के नाम पर रखा गया, किसी अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित प्रवाह के साथ एक प्रदिश क्षेत्र (अदिश फलन, सदिश क्षेत्र और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन समन्वय अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई व्युत्पन्न को किसी भी भिन्न बहुसंख्यक पर परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र के संबंध में फलन, प्रदिश क्षेत्र और रूपों को भिन्न किया जा सकता है। यदि T एक प्रदिश क्षेत्र है और X एक सदिश क्षेत्र है, तो X के संबंध में T का लाई व्युत्पन्न ${\mathcal {L}}_{X}(T)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अवकल संकारक $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)$ अंतर्निहित बहुसंख्यक के प्रदिश क्षेत्रों के बीजगणित की व्युत्पत्ति है।

लाई व्युत्पन्न प्रदिश संकुचन के साथ संचार करता है और अवकल रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न होता है।

यद्यपि विभेदक ज्यामिति में व्युत्पन्न लेने की कई अवधारणाएँ हैं, वे सभी सहमत हैं जब विभेदित किया जा रहा व्यंजक एक फलन या अदिश क्षेत्र है। इस प्रकार प्रकरण में ''लाई'' शब्द को अलग कर दिया गया है, और एक फलन के व्युत्पन्न के बारे में बात करते है।

एक अन्य सदिश क्षेत्र X के संबंध में सदिश क्षेत्र Y का लाई व्युत्पन्न X और Y के ''लाई कोष्ठक'' के रूप में जाना जाता है, और प्रायः ${\mathcal {L}}_{X}(Y)$ के बदले [X,Y] को निरूपित किया जाता है। सदिश क्षेत्रों का स्थान इस लाई कोष्ठक के संबंध में एक लाई बीजगणित बनाता है। लाई व्युत्पन्न लाई बीजगणित के अनंत-आयामी लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व का गठन करता है, पहचान के कारण

${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,$

किसी भी सदिश क्षेत्र X और Y और किसी प्रदिश क्षेत्र T के लिए मान्य है।

M पर सदिश क्षेत्रों को प्रवाह के अत्यणु जनित्र (अर्थात भिन्नता के एक-आयामी समूह) के रूप में मानते हुए, लाई व्युत्पन्न प्रदिश क्षेत्र पर डिफियोमोर्फिज्म समूह के प्रतिनिधित्व का अंतर है, लाई समूह सिद्धांत में समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े अत्यणु प्रतिनिधित्व के रूप में लाई बीजगणित अभ्यावेदन के अनुरूप है।

सामान्यीकरण स्पिनर क्षेत्रों, संबंधन के साथ फाइबर बंडलों और सदिश-मूल्यवान अवकल रूपों के लिए उपस्तिथ हैं।

प्रेरणा

एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक प्रदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'नैवे' प्रयास, प्रदिश क्षेत्र के घटकों को लेना सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के दिशात्मक व्युत्पन्न को लेना होगा। तथापि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा. ध्रुवीय या गोलीय समन्वय में व्यक्त निष्क्रिय व्युत्पन्न कार्तीय समन्वय में घटकों के निष्क्रिय व्युत्पन्न से भिन्न होती है। एक अमूर्त बहुसंख्यक पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और गलत परिभाषित है। अवकल ज्यामितीय में, प्रदिश क्षेत्रों के विभेदीकरण की तीन मुख्य समन्वय स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाई व्युत्पन्न, संबंधन के संबंध में व्युत्पन्न, और पूरी तरह से प्रतिसममित (सहपरिवर्ती) प्रदिश या अवकल रूपों के बाहरी व्युत्पन्न है। एक संबंधन के संबंध में लाई व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के मध्य मुख्य अवकल यह है कि स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के बाद वाला व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि स्पर्श सदिश को सदिश क्षेत्र में कैसे बढ़ाया जाए। तथापि एक संबंधन के लिए बहुसंख्यक पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक रीमानी मीट्रिक या सिर्फ एक अमूर्त संबंधन) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई व्युत्पन्न लेते समय, बहुसंख्यक पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि बिंदु p एक सदिश क्षेत्र X के संबंध में सदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न का मान केवल p पर ही नहीं, बल्कि p के आसपास में X के मान पर भी निर्भर करता है। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अवकल रूपों (फलनों सहित) का अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।

परिभाषा

लाई व्युत्पन्न को कई समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। वस्तुओ को सरल रखने के लिए, हम सामान्य प्रदिश की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, अदिश फलन और सदिश क्षेत्र पर लाई व्युत्पन्न अभिनय को परिभाषित करके आरंभ करते हैं।

(लाई) किसी फलन का व्युत्पन्न

एक फलन के व्युत्पन्न को परिभाषित करना $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ बहुसंख्यक पर समस्याग्रस्त है क्योंकि अवकल भागफल $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$ निर्धारित नहीं किया जा सकता है जबकि विस्थापन $x+h$ अपरिभाषित है।

एक बिंदु $p\in M$ पर एक सदिश क्षेत्र $X$ के संबंध में फलन $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ का लाई व्युत्पन्न फलन है।

$({\mathcal {L}}_{X}f)(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(P(t,p))-f(p)}{t}}\colon M\to {\mathbb {R} },$

जहां $P(t,p)$ वह बिंदु है जिस पर सदिश क्षेत्र $X$ द्वारा परिभाषित प्रवाह बिंदु $p$ को तात्क्षणिक $t$ पर मानचित्र करता है। $t=0,$ के आसपास के क्षेत्र में, $P(t,p)$ प्रणाली का अद्वितीय हल है।

${\frac {d}{dt}}P(t,p)=X(P(t,p))$

$P(0,p)=p$ के साथ स्पर्शी समष्टि $T_{P(t,p)}M$ में प्रथम-क्रम स्वायत्त (यानी स्वतंत्र समय) अवकल समीकरण है।

बहुसंख्यक $M,$ और $x\in U$ पर एक समन्वय मानचित्र $(U,\varphi )$ के लिए, $d{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_x:<!--\; :\; -->T_{x}U\to <!--\; \to \; -->T_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{\mathbb{R}}^{}$