रीमैन इंटीग्रल

File:Integral as region under curve.svg

वक्र के अंतर्गत क्षेत्र के क्षेत्र के रूप में इंटीग्रल।

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अंतराल के नियमित विभाजन पर रीमैन योग का क्रम। शीर्ष पर संख्या आयतों का कुल क्षेत्रफल है, जो फलन के इंटीग्रल अंग में परिवर्तित हो जाती है।

File:Riemann integral irregular.gif

जैसा कि यहां दिखाया गया है, विभाजन को नियमित होने की आवश्यकता नहीं है। सन्निकटन तब तक काम करता है जब तक प्रत्येक उपखंड की चौड़ाई शून्य हो जाती है।

वास्तविकिक विश्लेषण के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में, बर्नहार्ड रीमैन द्वारा बनाई गई रीमैन इंटीग्रल , एक अंतराल (गणित) पर फलन (गणित) के इंटीग्रल की पहली कठोर परिभाषा थी। यह 1854 में गौटिंगेन विश्वविद्यालय में संकाय को प्रस्तुत किया गया था, किन्तु 1868 तक कोई पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ था। कई फलनों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, रीमैन इंटीग्रल का मूल्यांकन कैलकुस के मौलिक प्रमेय द्वारा किया जा सकता है या संख्यात्मक एकीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, या मोंटे कार्लो इंटीग्रेशन का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है।

अवलोकन

मान लीजिए f अंतराल [a, b] पर गैर-ऋणात्मक वास्तविकिक-मूल्यवान फलन है, और S को फलन f के ग्राफ़ के नीचे और अंतराल [a, b] के ऊपर समतल का क्षेत्र मान लें। शीर्ष दाईं ओर आकृति देखें। इस क्षेत्र को समुच्चय-बिल्डर संकेतन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.$$

हम S के क्षेत्र को मापने में रुचि रखते है। एक बार जब हम इसे माप लेते हैं, तो हम क्षेत्र को सामान्य विधि से निरूपित करते है

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

रीमैन इंटीग्रल का मूल विचार S क्षेत्र के लिए बहुत ही सरल सन्निकटन का उपयोग करना है। उत्तम से उत्तम सन्निकटन लेकर हम कह सकते हैं कि सीमा में हमें वक्र के नीचे S का क्षेत्रफल मिलता है।

जब f(x) ऋणात्मक मान ले सकता है, तो इंटीग्रल f और x-अक्ष के ग्राफ़ के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र के बराबर होता है: अर्थात, x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र को घटा देता है।

परिभाषा

अंतराल के विभाजन

अंतराल का विभाजन [a, b] फॉर्म की संख्याओं का परिमित अनुक्रम है

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b$$

प्रत्येक [x_i, x_{i + 1}] को विभाजन का उप-अंतराल कहा जाता है। विभाजन के मेश या मानदंड को सबसे लंबे उप-अंतराल की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,

$$\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].$$

टैग्ड किया गया विभाजन P(x, t) अंतराल का [a, b] प्रत्येक उप-अंतराल के अन्दर मानक बिंदु के विकल्प के साथ विभाजन है, जो संख्या t₀, ..., t_{n − 1} है जिसमे प्रत्येक i के लिए t_i ∈ [x_i, x_{i + 1}] है। टैग किए गए विभाजन का मेश सामान्य विभाजन के समान होता है।

मान लीजिए कि दो विभाजन P(x, t) और Q(y, s) दोनों अंतराल [a, b] के विभाजन है। हम कहते हैं कि Q(y, s) P(x, t) का परिशोधन है यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए i, साथ i ∈ [0, n], पूर्णांक r(i) उपस्थित है जैसे कि x_i = y_r(i) और जैसे कि कुछ j के लिए j ∈ [r(i), r(i + 1)] के साथ t_i = s_j है। यह एक टैग किया गया विभाजन कुछ उप-अंतरालों को अलग करता है और विभाजन की शुद्धता को परिष्कृत करने के लिए आवश्यक मानक बिंदु जोड़ता है।

हम सभी टैग किए गए विभाजनों के समुच्चय को यह कहकर निर्देशित समुच्चय में बदल सकते हैं कि टैग किया गया विभाजन दूसरे से अधिक या उसके बराबर है यदि पूर्व उत्तरार्द्ध का परिशोधन है।

रीमैन योग

मान लीजिये f अंतराल [a, b] पर परिभाषित वास्तविकिक-मूल्यवान फलन हो। रीमैन का योग f टैग किए गए विभाजन के संबंध में x₀, ..., x_n के साथ साथ t₀, ..., t_{n − 1} है

$$\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(t_i)(x_{i+1}-<!--\; -\; -->{}_{}$$