निर्देशित समुच्चय

गणित में, एक निर्देशित समुच्चय (या निर्देशित पूर्वक्रमी या निस्यंदित समुच्चय) जो प्रतिवर्त और सकर्मक द्विआधारी संबंध $\,\leq \,$ (अर्थात, एक पूर्वक्रमी), अतिरिक्त गुण कि अवयवों की प्रत्येक जोड़ी की ऊपरी सीमा होती है, के साथ एक अरिक्त समुच्चय (गणित) $A$ है।^[1] दूसरे शब्दों में, $A$ में किसी $a$ और $b$ के लिए वहाँ $a\leq c$ और $b\leq c.$ साथ $A$ में $c$ उपस्थित होना चाहिए। एक निर्देशित समुच्चय के पूर्वक्रमी को दिशा कहा जाता है।

ऊपर परिभाषित धारणा को कभी-कभी ऊर्ध्वमुखी (ऊपर की ओर) निर्देशित समुच्चय कहा जाता है। अधोमुखी (नीचे की ओर) निर्देशित समुच्चय को समान रूप से परिभाषित किया गया है,^[2] जिसका अर्थ है कि अवयवों की प्रत्येक जोड़ी नीचे परिबद्ध है।^[3] कुछ लेखक (और यह लेख) मानते हैं कि एक निर्देशित समुच्चय ऊपर की ओर निर्देशित होता है, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। अन्य लेखक समुच्चय को निर्देशित केवल तभी कहते हैं यदि यह ऊपर और नीचे दोनों ओर निर्देशित हो।^[4]

निर्देशित समुच्चय अरिक्त संपूर्णतया क्रमित समुच्चय का सामान्यीकरण है। अर्थात्, सभी संपूर्णतया क्रमित समुच्चय निर्देशित समुच्चय हैं (अंशतः क्रमित समुच्चय के विपरीत , जिन्हें निर्देशित करने की आवश्यकता नहीं है)। संयुक्त-अर्ध-जाली (जो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय हैं) भी निर्देशित समुच्चय हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। इसी तरह, जाली ऊपर और नीचे दोनों ओर निर्देशित समुच्चय हैं।

सांस्थिति में, नेट (जालक) को परिभाषित करने के लिए निर्देशित समुच्चय का उपयोग किया जाता है, जो अनुक्रमों को सामान्य करता है और गणितीय विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली सीमा (गणित) की विभिन्न धारणाओं को एकजुट करता है। निर्देशित समुच्चय अमूर्त बीजगणित और (अधिक सामान्यतः) श्रेणी सिद्धांत में प्रत्यक्ष सीमा को जन्म देते हैं।

समतुल्य परिभाषा

उपरोक्त परिभाषा के अतिरिक्त, एक समतुल्य परिभाषा भी है। निर्देशित समुच्चय एक पूर्वक्रमी के साथ एक समुच्चय $A$ है जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $A$ की एक ऊपरी सीमा है। इस परिभाषा में, रिक्त समुच्चय की ऊपरी सीमा का अर्थ है कि $A$ अरिक्त नहीं है।

उदाहरण

प्राकृतिक संख्याओं $\mathbb {N}$ का समुच्चय साधारण क्रमित $\,\leq \,$ के साथ निर्देशित समुच्चय के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से एक है (और ऐसा ही प्रत्येक पूर्ण क्रमित समुच्चय है)। परिभाषा के अनुसार, नेट एक निर्देशित समुच्चय से एक फलन है और अनुक्रम (गणित) प्राकृतिक संख्याओं $\mathbb {N}$ से एक फलन है। $\mathbb {N}$ को $\,\leq \,$ देकर प्रत्येक अनुक्रम प्रामाणिक रूप से नेट बन जाता है।

आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का एक (साधारण) उदाहरण जो निर्देशित नहीं है वह समुच्चय $\{a,b\}$ है जिसमें सिर्फ़ क्रम संबंध $a\leq a$ और $b\leq b$ हैं। एक कम साधारण उदाहरण "वास्तविकों को $x_{0}$ की ओर निर्देशित" के पिछले उदाहरण की तरह है, लेकिन जिसमें क्रम नियम केवल $x_{0}$ के एक ही तरफ अवयव के जोड़े पर लागू होता है (अर्थात, यदि कोई अवयव $a$ को $x_{0}$ के बाईं ओर ले जाता है , और $b$ इसके दाईं ओर हो, तो $a$ और $b$ तुलनीय नहीं हैं, और उपसमुच्चय $\{a,b\}$ की कोई ऊपरी सीमा नहीं है)।

अगर $x_{0}$ एक वास्तविक संख्या है तो समुच्चय $I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace$ परिभाषित करके एक निर्देशित समुच्चय $a\leq _{I}b$ में परिवर्तित किया जा सकता है अगर $\left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|$ (इसलिए "बड़े" अवयव $x_{0}$ के पास हैं )। फिर हम कहते हैं कि वास्तविक को $x_{0}$ की ओर निर्देशित किया गया है। यह एक निर्देशित समुच्चय का उदाहरण है जो जो न तो आंशिक क्रमित और न ही पूर्ण क्रमित किया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हर जोड़ी $a$ और $b$ के लिए प्रतिसममिति टूट जाता है, जो $x_{0}$ से समान दूरी पर है, जहां $a$ और $b$ $x_{0}$ के विपरीत हैं। स्पष्ट रूप से, ऐसा तब होता है जब $\{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}$ कुछ वास्तविक $r\neq 0$ के लिए होता है, जिस स्थिति में $a\leq _{I}b$ और $b\leq _{I}a$ भले ही $a\neq b$ हो। अगर इस पूर्व क्रमित को $\mathbb {R}$ के बजाय $\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace$ पर परिभाषित किया गया था तो यह अभी भी निर्देशित समुच्चय बना देगा लेकिन अब इसमें एक (अद्वितीय) सबसे बड़ा अवयव होगा, विशेष रूप से $x_{0}$ ; फिर भी, यह अभी भी आंशिक रूप से क्रमितित नहीं होगा। इस उदाहरण को $X$ या $X\setminus \left\{x_{0}\right\}$ पर परिभाषित करके मीट्रिक स्थान $(X,d)$ के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है अग्रिम क्रमित $a\leq b$ अगर और केवल अगर $d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).$