विभेदक वक्र

This article is about यूक्लिडियन क्षेत्र में वक्र. For एकपक्षीय टोपोलॉजिकल दूरी में वक्र, see वक्र.

वक्र की विभेदक ज्यामिति, ज्यामिति की वह शाखा है जो अंतर कलन और समाकलन के तरीकों से यूक्लिडियन समतल और यूक्लिडियन दूरी(गणित) तथा वक्रों से संबंधित है।

कृत्रिम ज्यामिति का उपयोग करके कई वक्रों की सूची की पूरी तरह से जांच की गई है। विभेदक ज्यामिति एक अन्य पद्धति अपनाती है, वक्र किसी प्राचल समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर गणना का उपयोग करके अभिकलन और समाकल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट प्रारूप है, एक गतिशील प्रारूप जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकटतम वक्र के लिए अधिकतम अनुकूलित होता है।

सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में वक्रता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन ज्यामितीय नियमित वक्र के अंतर्गत कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई("प्राकृतिक प्राचलीकरण") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को परीक्षण किया जा सकता है। वक्र पर परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, उसे सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग ज्यामितीय वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे घूमते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक अपरिवर्तनीय अवकल ज्यामिति द्वारा मापा जाता जिसे हम वक्र की वक्रता या पृष्ठ तनाव कहते हैं । वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएँ

Main article: वक्र

एक प्राचलिक(प्राचल) C^r-वक्र या ए C^r-प्राचलन एक वेक्टर-विशेष फलन है

$\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$

वह r-समय पर निरंतर अलग-अलग है अर्थात(घटक कार्य निरंतर अलग अलग हैं) जहां $n\in \mathbb {N}$, $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, तथा I वास्तविक संख्याओं का एक अशून्य अंतराल(गणित) है। $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ प्राचल वक्र का चित्र है | प्राचल वक्र γ और इसकी इमेज γ[I] अलग-अलग होना चाहिए क्योंकि दिया गया उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ कई अलग-अलग प्राचल वक्रों की इमेज हो सकती है। γ(t) में मापदण्ड t को एक निरुपित समय के रूप में माना जा सकता हैं और γ एक प्राचल क्षेत्र में घूमने वाले बिंदु का प्रक्षेप पथ हो सकता है । जब I एक बंद अंतराल है [a,b], y का , γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और γ(b) समापन बिंदु कहलाता है | यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं(अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक परिपथ है। C^r को एक परिपथ होने के लिए फलन γ को r-समय पर निरंतर अलग-अलग होना चाहिए और γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 0 ≤ k ≤ r के लिए संतुष्ट करना चाहिए |

प्राचल वक्र सरल है यदि

$\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

यदि y का प्रत्येक घटक कार्य एक विश्लेषणात्मक कार्य करता है तो γ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह C^ω.वर्ग का है| वक्र γ नियमानुकूल है m(जहाँ पर m ≤ r) अगर, हर के लिए t ∈ I,

$\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$

$\mathbb {R} ^{n}$ का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है | विशेष रूप से, एक प्राचल C¹-वक्र γ नियमित है, यदि केवल और केवल γ′(t) ≠ 0 जिसके लिए t ∈ I.

पुनर्मानकीकरण और तुल्यता संबंध

See also: सदिश स्थिति and सदिश-विशेष फलन

प्राचल वक्र की इमेज को देखते हुए, प्राचलिक (प्राचल) वक्र के कई अलग-अलग मूल्यांकन हैं। अवकलन रेखागणित का उद्देश्य प्राचल वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी प्राचल वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक प्राचल वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण(जैसे इसकी लंबाई, इसकी #Frenet प्रारूप, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समतुल्यता वर्ग के गुण स्वयं हैं। समतुल्य वर्ग C^r- वक्र कहलाते हैं और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।

दो प्राचल C^r-वक्र, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$,समतुल्य कहा जाता है यदि और केवल यदि कोई विशेषण सम्मिलित है C^r-नक्शा φ : I₁ → I₂ ऐसा है कि

$\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$

तथा

$\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

y2 तब ये कहा जाता है कि re-parametrization का γ₁ है|

पुन: मानकीकरण सभी प्राचल के समुच्चय पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है| C^rवर्ग के वक्र C^r. इस संबंध का तुल्यता वर्ग केवल a C^r-वक्र।

ओरिएंटेड प्राचल C^{r -वक्र} का अन्य बेहतर तुल्यता संबंध φ आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है| संतुष्ट करने के लिए φ′(t) > 0.

समतुल्य प्राचल C^r-curves की समरूप इमेज है, और समतुल्य उन्मुख प्राचल C^r-वक्र इमेज को उसी दिशा में पार भी करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक मानकीकरण

Main article: Arc length

See also: Curve § Length of a curve

लंबाई l एक प्राचल का C¹-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

एक प्राचल वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए प्राचल वक्र की अंतर-ज्यामितीय एक विशेषता है।

प्रत्येक नियमित प्राचल के लिए C^r-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$जहाँ पर , r ≥ 1, फलन परिभाषित किया गया है

$\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$

लिखते हैं γ(s) = γ(t(s)), जहाँ पर t(s) का प्रतिलोम कार्य है s(t). यह एक y का पुनः मानकीकरण γ है जिसे एक चाप लंबाई मानकीकरण, प्राकृतिक मानकीकरण, यूनिट-स्पीड मानकीकरण कहा जाता है। मापदण्ड s(t) को γ का स्वाभाविक मापदण्ड कहा जाता है|

यह parametrization इसीलिए चुना जाता है क्योंकि प्राकृतिक मापदण्ड s(t) की इमेज को y इकाई गति से पार करता है, इस प्रकार

$\forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.$

व्यवहार में, प्राचल वक्र के प्राकृतिक मानकीकरण की गणना करना ज्यादातर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी होता है।

दिए गए प्राचल वक्रy के लिए, प्राकृतिक मानकीकरण मापदण्ड की शिफ्ट तक अद्वितीय फलन है।

मात्रा

$E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}$

इसे कभी-कभी energy या वक्र की क्रिया(भौतिकी)कहा जाता है , यह नाम उचित है क्योंकि इस क्रिया के लिए geodesic समीकरण यूलर-लैग्रेंज गति के समीकरण हैं।

फ्रेनेट प्रारूप

Main article: Frenet–Serret formulas

ज्यामितीय वक्र पर एक बिंदु के लिए फ्रेनेट प्रारूप का एक उदाहरण। T इकाई स्पर्शरेखा है, P इकाई सामान्य, और B इकाई असामान्य।

फ्रेनेट प्रारूप किसका मूविंग प्रारूप है n ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर e_i(t) जिनका उपयोग प्रत्येक बिंदु γ(t) पर स्थानीय रूप से वक्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है| यह वक्र के विभेदक ज्यामितीय उपचार में मुख्य उपकरण है क्योंकि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक एक का उपयोग करने की तुलना में स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों(जैसे वक्रता, मरोड़) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक स्वाभाविक है।

ए दिया C^{n + 1}-वक्र γ में $\mathbb {R} ^{n}$में जो नियमानुसार है n वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है

$\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

ये फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे γ(t) के व्युत्त्पन से ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके निर्मित होते हैं|

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)\end{aligned}}$

वास्तविक विशेष कार्य χ_i(t) सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$\chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}$

फ्रेनेट प्रारूप और सामान्यीकृत वक्रता पुनर्परमेट्रिजेशन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के विभेदक ज्यामितीय गुण हैं। में घटता के लिए $\mathbb {R} ^{3}$ $\chi _{1}(t)$ वक्रता है और $\chi _{2}(t)$ मरोड़ है।

बर्ट्रेंड वक्र

एक बर्ट्रेंड वक्र $\mathbb {R} ^{3}$ में एक नियमित वक्र है जो अतिरिक्त विशेषता के साथ $\mathbb {R} ^{3}$ में एक दूसरा वक्र है जैसे कि सामान्य सदिश सिद्धांत इन दो वक्रों के लिए प्रत्येक संबंधित बिंदु पर समान हैं। दूसरे शब्दों में, अगर γ₁(t) तथा γ₂(t) $\mathbb {R} ^{3}$ में दो वक्र हैं इस प्रकार किसी t के लिए , दो प्रमुख सामान्य N₁(t), N₂(t) बराबर हैं, तो γ₁ तथा γ₂ बर्ट्रेंड वक्र हैं, और γ₁ को γ₂ का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है| हम लिख सकते हैं γ₂(t) = γ₁(t) + r N₁(t) कुछ स्थिर के लिए r. कुनेल की डिफरेंशियल ज्योमेट्री कर्व्स - सरफेस - मैनिफोल्ड्स में समस्या 25 के अनुसार, यह भी सच है कि दो बर्ट्रेंड वक्र जो एक ही द्वि-आयामी विमान में नहीं होते हैं, एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है a κ(t) + b τ(t) = 1जहाँ पर κ(t) तथा τ(t) की वक्रता और मरोड़ हैं γ₁(t) तथा a तथा b के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं a ≠ 0. इसके अलावा, बर्ट्रेंड जोड़ी वक्रों के टोशन का उत्पाद स्थिर है। यदि γ₁में एक से अधिक बर्ट्रेंड मेट हैं तो उसके पास अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह तभी होता है जब γ₁ एक गोलाकार हेलिक्स है।

विशेष फ्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रता

Main article: Frenet–Serret formulas

पहले तीन फ़्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रताओं को त्रि-आयामी ज्यामितीय में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थपूर्ण जानकारी है।

स्पर्शरेखा वेक्टर

अगर एक वक्र γ एक कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, फिर किसी दिए गए बिंदु P पर कण का तात्क्षणिक वेग एक वेक्टर(ज्यामितीय) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर स्पर्शरेखा वेक्टर कहा जाता है| गणितीय रूप से, एक पैरामीट्रिज्ड C¹ वक्र γ = γ(t) दिया गया है, मापदण्ड के प्रत्येक मूल्य के लिए t = t₀, वेक्टर

$\gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}$

बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश है P = γ(t₀). सामान्यतया, स्पर्शरेखा वेक्टर शून्य वेक्टर हो सकता है। स्पर्शरेखा सदिश का परिमाण

$\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|$

t₀ समय पर गति है| पहला फ्रेनेट वेक्टर e₁(t), γ के प्रत्येक नियमित बिंदु पर एक ही दिशा में इकाई स्पर्श सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है|

$\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$

यदि t = s प्राकृतिक मापदण्ड है, तो स्पर्शरेखा वेक्टर की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है:

$\mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)$.

इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर मापदण्ड के बढ़ते मूल्यों के अनुरूप, वक्र के उन्मुखीकरण या आगे की दिशा को निर्धारित करता है। वक्र के रूप में ली गई इकाई स्पर्शरेखा सदिश मूल वक्र की गोलाकार इमेज का पता लगाती है।

सामान्य वेक्टर या वक्रता वेक्टर

एक वक्र सामान्य वेक्टर, जिसे कभी-कभी 'वक्रता वेक्टर' कहा जाता है, एक वक्र के विचलन को एक सीधी रेखामें दर्शाता है। इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).$

इसका सामान्यीकृत रूप, इकाई सामान्य वेक्टर, दूसरा फ़्रेनेट वेक्टर e₂(t) है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.$

बिंदु t पर स्पर्शरेखा और सामान्य वेक्टर t स्पष्ट रूप से हिलना को परिभाषित करते हैं|

यह दिखाया जा सकता है ē₂(t) ∝ e′₁(t). इसलिए,

$\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.$

वक्रता

Main article: Curvature of space curves

पहला सामान्यीकृत वक्रता χ₁(t) वक्रता कहलाती है और विचलन को मापती है γ ऑस्कुलेटिंग प्लेन के सापेक्ष एक सीधी रेखा होने से। इसे के रूप में परिभाषित किया गया है

$\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$

और की वक्रता कहलाती है γ बिंदु पर t. यह दिखाया जा सकता है

$\kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$

वक्रता का गुणक प्रतिलोम

${\frac {1}{\kappa (t)}}$

वक्रता की त्रिज्या(गणित) कहलाती है।

त्रिज्या वाला एक वृत्त r की निरंतर वक्रता है

$\kappa (t)={\frac {1}{r}}$

जबकि एक रेखा की वक्रता 0 होती है।

द्विसामान्य वेक्टर

यूनिट बिनॉर्मल वेक्टर तीसरा फ्रेनेट वेक्टर है e₃(t). यह इकाई स्पर्शरेखा और सामान्य वैक्टर के लिए हमेशा ऑर्थोगोनल होता है t. इसे के रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)$

3-आयामी ज्यामितीय में, समीकरण सरल हो जाता है

$\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)$

या करने के लिए

$\mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),$

दोनों में से कोई भी संकेत हो सकता है, यह एक दाएं हाथ के हेलिक्स और एक बाएं हाथ के हेलिक्स के उदाहरणों से स्पष्ट होता है।

मरोड़

Main article: Torsion of a curve

दूसरा सामान्यीकृत वक्रता χ₂(t) कहा जाता है torsion और के विचलन को मापता है γ समतल वक्र होने से। दूसरे शब्दों में, यदि मरोड़ शून्य है, तो वक्र पूरी तरह से एक ही दोलन तल में स्थित होता है(प्रत्येक बिंदु के लिए केवल एक दोलन तल होता है। t). इसे के रूप में परिभाषित किया गया है

$\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$

और का मरोड़(अंतर ज्यामिति) कहा जाता है γ बिंदु पर t|

ऐबरेंसी

तीसरा व्युत्पन्न का उपयोग असामान्यता को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो घेरा की एक मीट्रिक है | वक्र की गैर-परिपत्रता।

वक्र सिद्धांत की मुख्य प्रमेय

Main article: वक्र की मौलिक प्रमेय

दिया गया n − 1 फलन:

$\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1$

वहाँ एक अद्वितीय फलन सम्मिलित है(यूक्लिडियन समूह का उपयोग करके परिवर्तनों तक) C^{n + 1}-वक्र γ जो क्रम n का सममित है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

${\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}$

जहां समुच्चय

$\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

वक्र के लिए फ्रेनेट प्रारूप है।

अतिरिक्त रूप से एक आरम्भ प्रदान करके I में t₀ एक प्रारंभिक बिंदु $\mathbb {R} ^{n}$में p₀ और एक प्रारंभिक सकारात्मक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेनेट प्रारूप {e₁, ..., e_{n − 1}} के साथ

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}$

एक अद्वितीय फलन वक्र γ प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन परिवर्तनों को समाप्त कर दिया जाता है|

फ्रेनेट-सीरेट सूत्र

Main article: फ्रेनेट-सीरेट सूत्र

फ़्रेनेट-सेरेट सूत्र पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक सम्मिलित रूप हैं। समाधान सामान्यीकृत वक्रता फलनों χ_i द्वारा निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करने वाले फ़्रेनेट वैक्टर का सम्मिलित रूप है|

2 आयाम

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}$

3 आयाम

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

n आयाम(सामान्य सूत्र)

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}$

यह भी देखें

• घटता विषयों की सूची

अग्रिम पठन

• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.