अतिसूक्ष्म निस्यंदक समुच्चय

This article is about specific collections of subsets of a given set. For more general ultrafilters on partially ordered sets, see Ultrafilter. For the physical device, see ultrafiltration.

समुच्चय की पॉवरसमुच्चय जाली {1,2,3,4}, ऊपरी समुच्चय के साथ ↑{1,4} गहरे हरे रंग में रंगी हुई है। यह है एक principal filter, किन्तु नहीं ultrafilter, क्योंकि इसे हल्के हरे तत्वों को भी सम्मिलित करके बड़े गैर-तुच्छ फ़िल्टर ↑{1} तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑{1} को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अल्ट्राफिल्टर है।

समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, समुच्चय पर एक अल्ट्राफिल्टर (गणित) $X$ समुच्चय पर एक अधिकतम फ़िल्टर है $X.$ दूसरे शब्दों में, यह के सबसमुच्चय का एक संग्रह है $X$ जो फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) की परिभाषा को संतुष्ट करता है $X$ और यह समावेशन के संबंध में अधिकतम है, इस अर्थ में कि उपसमुच्चय का कड़ाई से बड़ा संग्रह उपस्थित नहीं है $X$ वह भी एक फिल्टर है. (उपर्युक्त में, परिभाषा के अनुसार एक समुच्चय पर एक फिल्टर में खाली समुच्चय नहीं होता है।) समान रूप से, समुच्चय पर एक अल्ट्राफिल्टर $X$ इसे एक फिल्टर के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है $X$ उस संपत्ति के साथ जो प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए है $A$ का $X$ दोनों में से एक $A$ या उसका पूरक $X\setminus A$ अल्ट्राफ़िल्टर के अंतर्गत आता है।

समुच्चय पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय में सत्ता स्थापित होता है $\wp (X)$ और आंशिक क्रम उपसमुच्चय समावेशन है $\,\subseteq .$ यह आलेख विशेष रूप से एक समुच्चय पर अल्ट्राफिल्टर से संबंधित है और अधिक सामान्य धारणा को कवर नहीं करता है।

एक समुच्चय पर दो प्रकार के अल्ट्राफिल्टर होते हैं। एक प्रमुख अल्ट्राफ़िल्टर चालू $X$ के सभी उपसमूहों का संग्रह है $X$ जिसमें एक निश्चित तत्व होता है $x\in X$. जो अल्ट्राफ़िल्टर प्रमुख नहीं हैं वह मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर हैं। किसी भी अनंत समुच्चय पर मुफ्त अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व #अल्ट्राफिल्टर लेम्मा द्वारा निहित है, जिसे ZFC में सिद्ध किया जा सकता है। दूसरी ओर, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल उपस्थित हैं जहां समुच्चय पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर प्रमुख है।

समुच्चय थ्योरी, मॉडल सिद्धांत और टोपोलॉजी में अल्ट्राफिल्टर के अनेक अनुप्रयोग हैं। सामान्यतः,मात्र मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर ही गैर-तुच्छ निर्माणों की ओर ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक अल्ट्राप्रोडक्ट मॉड्यूलो एक प्रमुख अल्ट्राफिल्टर सदैव कारकों में से एक के लिए आइसोमोर्फिक होता है, जबकि एक अल्ट्राप्रोडक्ट मॉड्यूलो एक फ्री अल्ट्राफिल्टर में सामान्यतः अधिक जटिल संरचनाएं होती हैं।

परिभाषाएँ

See also: Filter (mathematics) and Ultrafilter

एक अनेैतिक रूप सेा समुच्चय दिया गया $X,$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू $X$ समुच्चयों का एक गैर-रिक्त परिवार है $U$ के उपसमुच्चय $X$ ऐसा है कि:

1. Proper या non-degenerate: खाली समुच्चय का एक तत्व नहीं है $U.$
2. Upward closed in $X$: यदि $A\in U$ और यदि $B\subseteq X$ का कोई सुपरसमुच्चय है $A$ (अर्थात, यदि $A\subseteq B\subseteq X$) तब $B\in U.$
3. [[Pi-system|π−system]]: यदि $A$ और $B$ के तत्व हैं $U$ तब फिर उनका इंटरसेक्शन भी ऐसा ही है (समुच्चय सिद्धांत) $A\cap B.$
4. यदि $A\subseteq X$ तब कोई $A$ या उसका पूरक $X\setminus A$ का एक तत्व है $U.$

गुण (1), (2), और (3) a के परिभाषित गुण हैं filter on $X.$ कुछ लेखक फ़िल्टर की अपनी परिभाषा में गैर-अपक्षय (जो उपरोक्त गुण (1) है) को सम्मिलित नहीं करते हैं। चूंकि, अल्ट्राफ़िल्टर (और प्रीफ़िल्टर और फ़िल्टर सबबेस की भी) की परिभाषा में सदैव परिभाषित स्थिति के रूप में गैर-डीजनरेसी सम्मिलित होती है। इस आलेख के लिए आवश्यक है कि सभी फ़िल्टर उचित हों, चूंकि एक फ़िल्टर को जोर देने के लिए उचित बताया जा सकता है।

एक फ़िल्टर subआधार समुच्चयों का एक गैर-रिक्त परिवार है जिसमें परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है (अर्थात सभी परिमित प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त होते हैं)। समान रूप से, एक फ़िल्टर सबबेस समुच्चय का एक गैर-रिक्त परिवार है जो इसमें समाहित है some (उचित) फ़िल्टर. सबसे छोटा (सापेक्ष) $\subseteq$) किसी दिए गए फ़िल्टर सबबेस वाले फ़िल्टर को फ़िल्टर सबबेस द्वारा उत्पन्न किया जाता है।

ऊपर की ओर बंद होना $X$ समुच्चय के एक परिवार का $P$ समुच्चय है

$P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ for some }}A\in P\}.$

एprefilter याfilter base एक गैर-रिक्त और उचित है (अर्थात् $\varnothing \not \in P$) समुच्चय का परिवार $P$ वह नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है यदि $B,C\in P$ फिर वहाँ कुछ उपस्थित है $A\in P$ ऐसा है कि $A\subseteq B\cap C.$ समान रूप से, एक प्रीफ़िल्टर समुच्चय का कोई भी परिवार है $P$ जिसका ऊपर की ओर बंद होना $P^{\uparrow X}$ एक फ़िल्टर है, इस स्थिति में इस फ़िल्टर को उत्पन्न फ़िल्टर कहा जाता है $P$और $P$ फ़िल्टर बेस कहा जाता है for $P^{\uparrow X}.$में द्वैत $X$ समुच्चय के एक परिवार का $P$ समुच्चय है $X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.$ उदाहरण के लिए, पावर समुच्चय का दोहरा $\wp (X)$ स्वयं है: $X\setminus \wp (X)=\wp (X).$ समुच्चयों का एक परिवार एक उचित फ़िल्टर है $X$ यदि औरमात्र यदि इसका दोहरा एक उचित आदर्श (समुच्चय सिद्धांत) है $X$ (proper का कारण पावर समुच्चय के सामान्तर नहीं है)।

अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर का सामान्यीकरण

एक परिवार $U\neq \varnothing$ के उपसमुच्चय $X$ कहा जाता हैultra यदि $\varnothing \not \in U$ और निम्नलिखित में से कोई भी समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं:

1. प्रत्येक समुच्चय के लिए $S\subseteq X$ वहाँ कुछ समुच्चय उपस्थित है $B\in U$ ऐसा है कि $B\subseteq S$ या $B\subseteq X\setminus S$ (या समतुल्य, जैसे कि $B\cap S$ के सामान्तर होती है $B$ या $\varnothing$).
2. प्रत्येक समुच्चय के लिए $S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B$ वहाँ कुछ समुच्चय उपस्थित है $B\in U$ ऐसा है कि $B\cap S$ के सामान्तर होती है $B$ या $\varnothing .$ * यहाँ, ${\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B$ को सभी समुच्चयों के मिलन के रूप में परिभाषित किया गया है $U.$
   • यह लक्षण वर्णन$U$ अल्ट्रा है समुच्चय पर निर्भर नहीं करता $X,$ इसलिए समुच्चय का उल्लेख कर रहा हूँ $X$ अल्ट्रा शब्द का उपयोग करते समय यह वैकल्पिक है।
3. के लिए every तय करना $S$ ( आवश्यक नहीं कि इसका एक उपसमूह भी हो $X$) कुछ समुच्चय उपस्थित है $B\in U$ ऐसा है कि $B\cap S$ के सामान्तर होती है $B$ या $\varnothing .$ * यदि $U$ इस शर्त को पूरा करता है तब वैसा ही करता है every सुपरसमुच्चय $V\supseteq U.$ विशेष रूप से, एक समुच्चय $V$ अति है यदि औरमात्र यदि $\varnothing \not \in V$ और $V$ एक उपसमुच्चय के रूप में समुच्चय के कुछ अल्ट्रा परिवार सम्मिलित हैं।

एक फ़िल्टर सबस जो अल्ट्रा है, आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर है। अल्ट्रा प्रॉपर्टी का उपयोग अब अल्ट्राफिल्टर और अल्ट्रा प्रीफिल्टर दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:

एकultra prefilter एक प्रीफ़िल्टर है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह एक फिल्टर सबबेस है जो अल्ट्रा है।

एकultrafilter पर $X$ एक (उचित) फ़िल्टर चालू है $X$ वह अति है. समान रूप से, यह कोई भी फ़िल्टर चालू है $X$ जो एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर द्वारा उत्पन्न होता है।

अधिकतम प्रीफ़िल्टर के रूप में अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर

अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर को अधिकतमता के संदर्भ में चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।

समुच्चय के दो परिवार दिए गए हैं $M$ और $N,$ परिवार $M$ मोटा कहा जाता है बजाय $N,$ और $N$ से उत्तम और अधीनस्थ है $M,$ लिखा हुआ $M\leq N$ या N ⊢ M, यदि प्रत्येक के लिए $C\in M,$ वहाँ कुछ $F\in N$ ऐसा है कि $F\subseteq C.$ परिवारों $M$ और $N$ समतुल्य कहलाते हैं यदि $M\leq N$ और $N\leq M.$ परिवारों $M$ और $N$ तुलनीय हैं यदि इनमें से एक समुच्चय दूसरे की तुलना में उत्तम है।

अधीनता संबंध, अर्थात $\,\geq ,\,$ एक पूर्व-आदेश है इसलिए समतुल्य की उपरोक्त परिभाषा एक समतुल्य संबंध बनाती है। यदि $M\subseteq N$ तब $M\leq N$ किन्तु यह बातचीत सामान्य रूप से क्रियान्वित नहीं होती।

चूंकि, यदि $N$ ऊपर की ओर बंद है, जैसे कि फ़िल्टर, तब $M\leq N$ यदि औरमात्र यदि $M\subseteq N.$ प्रत्येक प्रीफ़िल्टर उस फ़िल्टर के सामान्तर होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि फ़िल्टर का उन समुच्चयों के समतुल्य होना संभव है जो फ़िल्टर नहीं हैं।

यदि समुच्चय के दो परिवार $M$ और $N$ दोनों में से कोई एक सामान्तर है $M$ और $N$ अल्ट्रा (सम्मानित प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस) हैं या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा (सम्मानित प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस) नहीं है। विशेष रूप से, यदि फ़िल्टर सबबेस प्रीफ़िल्टर भी नहीं है, तब यह है not उसके द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर या प्रीफ़िल्टर के समतुल्य। यदि $M$ और $N$ दोनों फ़िल्टर चालू हैं $X$ तब $M$ और $N$ समतुल्य हैं यदि औरमात्र यदि $M=N.$ यदि एक उचित फ़िल्टर (सम्मानित अल्ट्राफ़िल्टर) समुच्चय के एक परिवार के सामान्तर है $M$ तब $M$ आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर (सम्मानित अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर) है। निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए,मात्र फिल्टर (सम्मान अल्ट्रा फिल्टर) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके प्रीफ़िल्टर (सम्मान अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर) को परिभाषित करना संभव है:

समुच्चय का एक अनेैतिक रूप सेा परिवार एक प्रीफ़िल्टर है यदि औरमात्र यह एक (उचित) फ़िल्टर के सामान्तर है।

समुच्चय का एक अनेैतिक रूप सेा परिवार एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर है यदि औरमात्र यह एक अल्ट्राफ़िल्टर के सामान्तर है।

एmaximal prefilter पर $X$ एक प्रीफ़िल्टर है $U\subseteq \wp (X)$ जो निम्नलिखित में से किसी भी समतुल्य शर्त को पूरा करता हो:

<ली>$U$ अति है. <वह>$U$ पर अधिकतम है $\operatorname {Prefilters} (X)$ इसके संबंध में $\,\leq ,$ कारण कि यदि $P\in \operatorname {Prefilters} (X)$ संतुष्ट $U\leq P$ तब $P\leq U.$
1. कोई प्रीफ़िल्टर उचित रूप से अधीनस्थ नहीं है $U.$
2. यदि एक (उचित) फ़िल्टर $F$ पर $X$ संतुष्ट $U\leq F$ तब $F\leq U.$
3. फ़िल्टर चालू $X$ द्वारा उत्पन्न $U$ अति है.

विशेषताएँ

खाली समुच्चय पर कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं, इसलिए अब से यह माना जाएगा $X$ गैर-रिक्त है.

एक फ़िल्टर subआधार $U$ पर $X$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X$ यदि औरमात्र यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तबं में से कोई भी क्रियान्वित हो:

1. किसी के लिए $S\subseteq X,$ दोनों में से एक $S\in U$ या $X\setminus S\in U.$
<ली>$U$ पर एक अधिकतम फ़िल्टर उपआधार है $X,$ कारण कि यदि $F$ क्या कोई फ़िल्टर सबबेस चालू है $X$ तब $U\subseteq F$ तात्पर्य $U=F.$

ए (उचित) फ़िल्टर $U$ पर $X$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X$ यदि औरमात्र यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तबं में से कोई भी क्रियान्वित हो:

<ली>$U$ अति है; <वह>$U$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर द्वारा उत्पन्न होता है;
1. किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X,$ $S\in U$ या $X\setminus S\in U.$
   • तब एक अल्ट्राफिल्टर $U$ प्रत्येक के लिए निर्णय लेता है $S\subseteq X$ चाहे $S$ बड़ा है (अर्थात् $S\in U$) या छोटा (अर्थात्) $X\setminus S\in U$).
2. प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X,$ दोनों में से एक $A$ में है $U$ या ($X\setminus A$) है.
<ली>$U\cup (X\setminus U)=\wp (X).$ इस स्थिति को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $\wp (X)$ द्वारा विभाजित किया गया है $U$ और यह दोहरा है $X\setminus U.$
• समुच्चय $P$ और $X\setminus P$ सभी प्रीफ़िल्टर के लिए असंयुक्त हैं $P$ पर $X.$
<ली>$\wp (X)\setminus U=\left\{S\in \wp (X):S\not \in U\right\}$ पर एक आदर्श है $X.$
3. किसी भी सीमित परिवार के लिए $S_{1},\ldots ,S_{n}$ के उपसमुच्चय $X$ (कहाँ $n\geq 1$), यदि $S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U$ तब $S_{i}\in U$ कुछ सूचकांक के लिए $i.$
   • शब्दों में, एक बड़ा समुच्चय समुच्चयों का एक सीमित संघ नहीं हो सकता, जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है।
4. किसी के लिए $R,S\subseteq X,$ यदि $R\cup S=X$ तब $R\in U$ या $S\in U.$
5. किसी के लिए $R,S\subseteq X,$ यदि $R\cup S\in U$ तब $R\in U$ या $S\in U$ (इस गुण वाले फ़िल्टर को a कहा जाता हैprime filter).
6. किसी के लिए $R,S\subseteq X,$ यदि $R\cup S\in U$ और $R\cap S=\varnothing$ तब either $R\in U$ या $S\in U.$
<ली>$U$ एक अधिकतम फ़िल्टर है; वह है, यदि $F$ एक फ़िल्टर चालू है $X$ ऐसा है कि $U\subseteq F$ तब $U=F.$ समान रूप से, $U$ यदि कोई फ़िल्टर नहीं है तब यह एक अधिकतम फ़िल्टर है $F$ पर $X$ उसमें सम्मिलित है $U$ एक उचित उपसमुच्चय के रूप में (अर्थात, कोई भी फ़िल्टर कड़ाई से फ़िल्टर (गणित)#फ़िल्टर की तुलना में एक समुच्चय पर नहीं होता है $U$). </al>

ग्रिल्स और फिल्टर-ग्रिल्स

यदि ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ फिर यह grill on $X$परिवार है

$${\mathcal {B}}^{\#X}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}$$

कहाँ ${\mathcal {B}}^{\#}$ लिखा जा सकता है यदि $X$ सन्दर्भ से स्पष्ट है. उदाहरण के लिए, $\varnothing ^{\#}=\wp (X)$ और यदि $\varnothing \in {\mathcal {B}}$ तब ${\mathcal {B}}^{\#}=\varnothing .$ यदि ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ तब ${\mathcal {B}}^{\#}\subseteq {\mathcal {A}}^{\#}$ और इसके अतिरिक्त, यदि ${\mathcal {B}}$ तब एक फ़िल्टर सबबेस है ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.$ ग्रिल ${\mathcal {B}}^{\#X}$ ऊपर की ओर बंद है $X$ यदि औरमात्र यदि $\varnothing \not \in {\mathcal {B}},$ जो अब से मान लिया जाएगा. इसके अतिरिक्त, ${\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ जिससे ${\mathcal {B}}$ ऊपर की ओर बंद है $X$ यदि औरमात्र यदि ${\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.$ एक फिल्टर की ग्रिल चालू $X$ ए कहा जाता है filter-grill on $X.$ किसी के लिए $\varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ ${\mathcal {B}}$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $X$ यदि औरमात्र यदि (1) ${\mathcal {B}}$ ऊपर की ओर बंद है $X$ और (2) सभी समुच्चयों के लिए $R$ और $S,$ यदि $R\cup S\in {\mathcal {B}}$ तब $R\in {\mathcal {B}}$ या $S\in {\mathcal {B}}.$ ग्रिल ऑपरेशन ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}$ आपत्ति उत्पन्न करता है

${\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X)$

जिसका व्युत्क्रम भी दिया गया है ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.$ यदि ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ तब ${\mathcal {F}}$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $X$ यदि औरमात्र यदि ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},$ या समकक्ष, यदि औरमात्र यदि ${\mathcal {F}}$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X.$ यानि कि एक फिल्टर ऑन $X$ एक फ़िल्टर-ग्रिल है यदि औरमात्र यदि यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-रिक्त के लिए ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),$ ${\mathcal {F}}$ दोनों एक फिल्टर चालू है $X$ और एक फ़िल्टर-ग्रिल चालू $X$ यदि औरमात्र यदि (1) $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$ और (2) सभी के लिए $R,S\subseteq X,$ निम्नलिखित समतुल्यताएँ धारण करती हैं:

$R\cup S\in {\mathcal {F}}$ यदि औरमात्र यदि $R,S\in {\mathcal {F}}$ यदि औरमात्र यदि $R\cap S\in {\mathcal {F}}.$

निःशुल्क या मूलधन

यदि $P$ समुच्चय का कोई भी गैर-रिक्त परिवार है तब कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत)। $P$सभी समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है $P:$

$$\operatorname {ker} P:=\bigcap _{B\in P}B.$$
समुच्चयों का एक गैर-रिक्त परिवार $P$ कहा जाता है:
• free यदि $\operatorname {ker} P=\varnothing$ औरfixed अन्यथा (अर्थात, यदि $\operatorname {ker} P\neq \varnothing$).
• principal यदि $\operatorname {ker} P\in P.$
• principal at a point यदि $\operatorname {ker} P\in P$ और $\operatorname {ker} P$ एक सिंगलटन समुच्चय है; इस स्थितियों में, यदि $\operatorname {ker} P=\{x\}$ तब $P$ में प्रिंसिपल कहा जाता है $x.$यदि समुच्चय का एक परिवार $P$ तब तय हो गया है $P$ अल्ट्रा है यदि औरमात्र यदि कुछ तत्व $P$ इस स्थितियों में, एक सिंगलटन समुच्चय है $P$ अनिवार्य रूप से एक प्रीफ़िल्टर होगा. प्रत्येक प्रमुख प्रीफ़िल्टर निश्चित है, इसलिए एक प्रमुख प्रीफ़िल्टर $P$ अति है यदि औरमात्र यदि $\operatorname {ker} P$ एक सिंगलटन समुच्चय है. एक सिंगलटन समुच्चय अल्ट्रा है यदि औरमात्र तभी जब इसका एकमात्र तत्व भी सिंगलटन समुच्चय हो।

अगला प्रमेय दर्शाता है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर दो श्रेणियों में से एक में आता है: या तब यह मुफ़्त है या फिर यह एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फ़िल्टर है।

Proposition — If $U$ is an ultrafilter on $X$ then the following are equivalent:

1. $U$ is fixed, or equivalently, not free.
2. $U$ is principal.
3. Some element of $U$ is a finite set.
4. Some element of $U$ is a singleton set.
5. $U$ is principal at some point of $X,$ which means $\operatorname {ker} U=\{x\}\in U$ for some $x\in X.$
6. $U$ does not contain the Fréchet filter on $X$ as a subset.
7. $U$ is sequential.

हर फ़िल्टर चालू $X$ वह एक बिंदु पर प्रमुख है एक अल्ट्राफिल्टर है, और यदि इसके अतिरिक्त $X$ परिमित है, तब कोई अल्ट्राफ़िल्टर नहीं है $X$ इनके अतिरिक्त. विशेष रूप से, यदि एक समुच्चय $X$ परिमित प्रमुखता है $n<\infty ,$ तब फिर बिल्कुल हैं $n$ अल्ट्राफिल्टर चालू $X$ और वह प्रत्येक सिंगलटन उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न अल्ट्राफिल्टर हैं $X.$ परिणाम स्वरुप, मुफ्त अल्ट्राफिल्टरमात्र अनंत समुच्चय पर ही उपस्थित हो सकते हैं।

उदाहरण, गुण, और पर्याप्त शर्तें

यदि $X$ एक अनंत समुच्चय है तब उतने ही अल्ट्राफ़िल्टर हैं $X$ जैसे कि उपसमूहों के परिवार हैं $X;$ स्पष्ट रूप से, यदि $X$ अनंत कार्डिनैलिटी है $\kappa$ फिर अल्ट्राफिल्टर का समुच्चय खत्म हो गया $X$ के समान प्रमुखता है $\wp (\wp (X));$ वह प्रमुखता है $2^{2^{\kappa }}.$ यदि $U$ और $S$ ऐसे समुच्चय के परिवार हैं $U$ अति है, $\varnothing \not \in S,$ और $U\leq S,$ तब $S$ आवश्यक रूप से अति है. एक सबबेस फ़िल्टर $U$ जो प्रीफ़िल्टर नहीं है वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; किन्तु फिर भी प्रीफ़िल्टर और इसके द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर के लिए यह अभी भी संभव है $U$ अति होना.

कल्पना करना $U\subseteq \wp (X)$ अति है और $Y$ एक समुच्चय है. निशान $U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}$ अल्ट्रा है यदि औरमात्र तभी जब इसमें खाली समुच्चय न हो। इसके अतिरिक्त, कम से कम एक समुच्चय $U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}$ और $U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}$ अल्ट्रा होगा (यह परिणाम किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है $X$). यदि $F_{1},\ldots ,F_{n}$ फ़िल्टर चालू हैं $X,$ $U$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X,$ और $F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,$ फिर कुछ है $F_{i}$ जो संतुष्ट करता है $F_{i}\leq U.$ यह परिणाम आवश्यक रूप से फ़िल्टर के अनंत परिवार के लिए सत्य नहीं है।

मानचित्र के अंतर्गत छवि $f:X\to Y$ एक अल्ट्रा समुच्चय का $U\subseteq \wp (X)$ फिर से अति है और यदि $U$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर है तब ऐसा है $f(U).$ अति होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। चूंकि, अल्ट्राफ़िल्टर की प्रीइमेज आवश्यक रूप से अल्ट्रा नहीं है, तथापि मानचित्र विशेषण हो। उदाहरण के लिए, यदि $X$ एक से अधिक बिंदु हैं और यदि की सीमा है $f:X\to Y$ एक बिंदु से मिलकर बनता है $\{y\}$ तब $\{y\}$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर चालू है $Y$ किन्तु इसकी प्रीइमेज अल्ट्रा नहीं है. वैकल्पिक रूप से, यदि $U$ में एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फ़िल्टर है $Y\setminus f(X)$ फिर की पूर्वछवि $U$ इसमें खाली समुच्चय है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं है।

अनंत अनुक्रम से प्रेरित प्राथमिक फ़िल्टर, जिसके सभी बिंदु भिन्न-भिन्न हैं not एक अल्ट्राफिल्टर। यदि $n=2,$ तब $U_{n}$ के सभी उपसमुच्चयों से युक्त समुच्चय को दर्शाता है $X$ प्रमुखता होना $n,$ और यदि $X$ कम से कम सम्मिलित है $2n-1$ ($=3$) तब भिन्न-भिन्न बिंदु $U_{n}$ अल्ट्रा है किन्तु यह किसी भी प्रीफिल्टर में सम्मिलित नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक का सामान्यीकरण करता है $n>1$ और को भी $n=1$ यदि $X$ इसमें एक से अधिक तत्व सम्मिलित हैं। अल्ट्रा समुच्चय जो प्रीफ़िल्टर भी नहीं हैं, उनका उपयोग संभवतः ही कभी किया जाता है।

हरएक के लिए $S\subseteq X\times X$ और हर $a\in X,$ होने देना $S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.$ यदि ${\mathcal {U}}$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X$ फिर सभी का समुच्चय $S\subseteq X\times X$ ऐसा है कि $\left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $X\times X.$

मोनाड संरचना

किसी भी समुच्चय से जुड़ने वाला फ़नकार $X$ के समुच्चय $U(X)$ सभी अल्ट्राफ़िल्टर चालू हैं $X$ एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है जिसे कहा जाता है ultrafilter monad. इकाई मानचित्र

$$X\to U(X)$$
कोई भी तत्व भेजता है $x\in X$ द्वारा दिए गए प्रमुख अल्ट्राफिल्टर को $x.$ यह अल्ट्राफिल्टर मोनाड फिनसमुच्चय को समुच्चय की श्रेणी में सम्मिलित करने का कोडेन्सिटी मोनाड है, जो इस सन्यासी की एक वैचारिक व्याख्या देता है।

इसी प्रकार, अल्ट्राप्रोडक्ट मोनैड समुच्चय के सभी परिवारों की श्रेणी में समुच्चय के परिमित परिवार की श्रेणी को सम्मिलित करने का कोडेन्सिटी मोनड है। तब इस अर्थ में, अल्ट्राप्रोडक्ट्स स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।




अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पहली बार 1930 में अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

The ultrafilter lemma/principle/theorem — Every proper filter on a set $X$ is contained in some ultrafilter on $X.$

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के सामान्तर है:

1. समुच्चय पर प्रत्येक प्रीफ़िल्टर के लिए $X,$ वहाँ पर एक अधिकतम प्रीफ़िल्टर उपस्थित है $X$ इसके अधीन.
2. समुच्चय पर प्रत्येक उचित फ़िल्टर सबबेस $X$ कुछ अल्ट्राफिल्टर में निहित है $X.$

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक फिल्टर उसमें उपस्थित सभी अल्ट्राफिल्टर के प्रतिच्छेदन के सामान्तर होता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। एक समुच्चय पर एक मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर उपस्थित है $X$ यदि औरमात्र यदि $X$ अनंत है. प्रत्येक उचित फिल्टर उसमें उपस्थित सभी अल्ट्राफिल्टर के प्रतिच्छेदन के सामान्तर होता है। चूंकि ऐसे फिल्टर हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अल्ट्राफिल्टर के परिवार के प्रतिच्छेदन को अल्ट्रा होने की आवश्यकता नहीं है। समुच्चय का एक परिवार $\mathbb {F} \neq \varnothing$ एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर तक बढ़ाया जा सकता है यदि औरमात्र तभी जब तत्वों के किसी भी परिमित परिवार का प्रतिच्छेदन हो $\mathbb {F}$ अनंत है.

ZF के अंतर्गत अन्य कथनों से संबंध

See also: Boolean prime ideal theorem and Set-theoretic topology

इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत को संदर्भित करता है और ZFC, ZF को Axiom of Choice (AC) के साथ संदर्भित करता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। अर्थात्, मॉडल सिद्धांत उपस्थित है जिसमें ZF के अभिगृहीत मान्य हैं किन्तु अल्ट्राफिल्टर लेम्मा नहीं है। ZF के मॉडल भी उपस्थित हैं जिनमें प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक फ़िल्टर जिसमें सिंगलटन समुच्चय होता है, आवश्यक रूप से एक अल्ट्राफ़िल्टर होता है और दिया जाता है $x\in X,$ असतत अल्ट्राफिल्टर की परिभाषा $\{S\subseteq X:x\in S\}$ ZF से अधिक की आवश्यकता नहीं है. यदि $X$ परिमित है तब प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर एक बिंदु पर एक असतत फिल्टर है; परिणामस्वरूप, मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टरमात्र अनंत समुच्चयों पर ही उपस्थित हो सकते हैं। विशेषकर, यदि $X$ परिमित है तब अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। यदि पसंद का सिद्धांत मान लिया जाए तब अनंत समुच्चयों पर मुफ्त अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पसंद के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों का कोई भी कार्टेशियन उत्पाद गैर-रिक्त है। ZF के अनुसार , पसंद का सिद्धांत, विशेष रूप से, पसंद का सिद्धांत#समतुल्य है (ए) ज़ोर्न का लेम्मा, (बी) टाइकोनॉफ़ का प्रमेय, (सी) सदिश आधार प्रमेय का अशक्त रूप (जो बताता है कि प्रत्येक सदिश अंतरिक्ष में एक हैमल आधार है), (डी) सदिश आधार प्रमेय का शक्तिशाली रूप, और अन्य कथन। चूंकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के सिद्धांत की तुलना में सख्ती से अशक्त है। जबकि मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है, यह उपस्थित है not एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना संभव है (केवल जेडएफ और अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके); अर्थात्, मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर अमूर्त हैं। अल्फ्रेड टार्स्की ने सिद्ध किया कि ZFC के अनुसार , अनंत समुच्चय पर सभी मुफ्त अल्ट्राफिल्टर के समुच्चय की कार्डिनैलिटी $X$ की कार्डिनैलिटी के सामान्तर है $\wp (\wp (X)),$ कहाँ $\wp (X)$ के पावर समुच्चय को दर्शाता है $X.$ अन्य लेखक इस खोज का श्रेय बेडरिच पोस्पिसिल को देते हैं (ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी और लियोनिद कांटोरोविच के संयोजन तर्क के पश्चात्, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा सुधारित)।

जेडएफ के अनुसार , पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अल्ट्राफिल्टर लेम्मा और क्रेइन-मिलमैन प्रमेय दोनों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, ZF के अनुसार , अल्ट्राफिल्टर लेम्मा क्रेइन-मिलमैन प्रमेय के साथ मिलकर पसंद के सिद्धांत को सिद्ध कर सकता है।




ऐसे कथन जिनका निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा एक अपेक्षाकृत अशक्त स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में प्रत्येक कथन हो सकता है not ZF से एक साथ निष्कर्ष निकाला जाए only अल्ट्राफिल्टर लेम्मा:

1. गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है।
2. गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसीसी)।
3. आश्रित विकल्प का सिद्धांत (एडीसी)।

समतुल्य कथन

ZF के अनुसार , अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के सामान्तर है:

1. बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय (बीपीआईटी)।
2. बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय।
3. बूलियन स्थान का कोई भी उत्पाद बूलियन स्पेस है।
4. बूलियन प्राइम आदर्श अस्तित्व प्रमेय: प्रत्येक गैर-अपक्षयी बूलियन बीजगणित का एक प्रमुख आदर्श होता है।
5. हॉसडॉर्फ़ स्थान के लिए टाइकोनॉफ़ का प्रमेय: सघन स्थान हॉसडॉर्फ़ स्पेस का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है।
6. यदि $\{0,1\}$ किसी भी समुच्चय के लिए असतत टोपोलॉजी से संपन्न है $I,$ उत्पाद स्थान $\{0,1\}^{I}$ कॉम्पैक्ट स्पेस है.
7. बानाच-अलाओग्लू प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के सामान्तर है:
   1. टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) पर अदिश-वैल्यू मानचित्रों का कोई भी समविराम समुच्चय अशक्त-* टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है (अर्थात, यह कुछ अशक्त-* कॉम्पैक्ट समुच्चय में निहित है)।
   2. टीवीएस में मूल के किसी भी पड़ोस का ध्रुवीय समुच्चय $X$ इसके सतत दोहरे स्थान का एक अशक्त-*संहत उपसमुच्चय है।
   3. किसी भी मानक स्थान के निरंतर दोहरे स्थान में बंद इकाई गेंद अशक्त-* सघन होती है।
      • यदि मानक स्थान भिन्न करने योग्य है तब अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पर्याप्त है किन्तु इस कथन को सिद्ध करने के लिए आवश्यक नहीं है।
8. एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ यदि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू है तब कॉम्पैक्ट है $X$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है।
9. एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ यदि कॉम्पैक्ट है and only if प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर चालू $X$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है।
   • शब्दों का जोड़ औरमात्र यदि ही इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले कथन के मध्य एकमात्र अंतर है।
10. अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय।
11. अल्ट्रानेट लेम्मा: प्रत्येक नेट (गणित) में एक सार्वभौमिक सबनेट होता है।* परिभाषा के अनुसार, एक नेट (गणित) में $X$ एक कहा जाता है ultranet या एक universal net यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X,$ अंततः नेट आ गया $S$ या में $X\setminus S.$
12. एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ कॉम्पैक्ट है यदि औरमात्र तभी जब प्रत्येक अल्ट्रानेट चालू हो $X$ किसी सीमा तक एकत्रित हो जाता है।
    • यदि शब्द औरमात्र यदि हटा दिए जाते हैं तब परिणामी कथन अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के सामान्तर रहता है।
13. एक अभिसरण स्थान $X$ यदि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर चालू है तब कॉम्पैक्ट है $X$ जुटता है.
14. एक समान स्थान संहत होता है यदि वह पूर्ण स्थान हो और पूरी तरह से घिरा हो।
15. स्टोन-चेच कॉम्पेक्टिफिकेशन प्रमेय।
16. सघनता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के सामान्तर है:
    1. यदि $\Sigma$ प्रथम-क्रम विधेय कलन का एक समुच्चय है | प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $\Sigma$ फिर, एक मॉडल सिद्धांत है $\Sigma$ एक मॉडल है.
    2. यदि $\Sigma$ प्रस्तावात्मक कलन|शून्य-क्रम वाक्यों का एक समुच्चय है जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $\Sigma$ तब फिर, एक मॉडल है $\Sigma$ एक मॉडल है.
17. पूर्णता प्रमेय: यदि $\Sigma$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस | शून्य-क्रम वाक्यों का एक समुच्चय है जो वाक्यात्मक रूप से सुसंगत है, फिर इसका एक मॉडल है (अर्थात, यह शब्दार्थ रूप से सुसंगत है)।

अशक्त कथन

कोई भी कथन जिसे अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (जेडएफ के साथ) से निकाला जा सकता है, कहा जाता है weaker अल्ट्राफिल्टर लेम्मा की तुलना में। एक अशक्त कथन कहा जाता है strictly weaker यदि ZF के अनुसार , यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के सामान्तर नहीं है। ZF के अनुसार , अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन को दर्शाता है:

1. परिमित समुच्चयों के लिए चयन का सिद्धांत (एसीएफ): दिया गया है $I\neq \varnothing$ और एक परिवार $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ गैर-खाली का finite समुच्चय, उनका उत्पाद ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i}$ खाली नहीं है।
2. परिमित समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय संघ एक गणनीय समुच्चय है।
   • चूंकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के साथ ZF यह सिद्ध करने के लिए बहुत अशक्त है कि इसका एक गणनीय संघ है countable समुच्चय एक गणनीय समुच्चय है।
3. हैन-बानाच प्रमेय।* ZF में, हैन-बानाच प्रमेय अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल अशक्त है।
4. बानाच-टार्स्की विरोधाभास।
   • वास्तव में, ZF के अनुसार , बानाच-टार्स्की विरोधाभास बानाच-टार्स्की विरोधाभास#बानाच-टार्स्की और हैन-बानाच हैन-बानाच प्रमेय से, जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल अशक्त है।
5. प्रत्येक समुच्चय रैखिक क्रम में हो सकता है।
6. प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में एक अद्वितीय बीजीय समापन होता है।
7. गैर-तुच्छ Ultraproducts उपस्थित हैं।
8. कमज़ोर अल्ट्राफ़िल्टर प्रमेय: एक मुफ़्त अल्ट्राफ़िल्टर उपस्थित है $\mathbb {N} .$
   • जेडएफ के अनुसार , अशक्त अल्ट्राफिल्टर प्रमेय अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का अर्थ नहीं देता है; अर्थात, यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल अशक्त है।
9. प्रत्येक अनंत समुच्चय पर एक निःशुल्क अल्ट्राफ़िल्टर उपस्थित है;
   • यह कथन वास्तव में अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से बिल्कुल अशक्त है।
   • अकेले ZF का कारण यह भी नहीं है कि कोई गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर उपस्थित है some तय करना।

सम्पूर्णता

एक अल्ट्राफिल्टर की पूर्णता $U$ एक पावरसमुच्चय पर सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ होती है जैसे कि इसमें κ तत्व होते हैं $U$ जिसका चौराहा अंदर नहीं है $U.$ अल्ट्राफ़िल्टर की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी पावरसमुच्चय अल्ट्राफ़िल्टर की पूर्णता कम से कम एलेफ़-शून्य है|$\aleph _{0}$. एक अल्ट्राफ़िल्टर जिसकी पूर्णता है greater बजाय $\aleph _{0}$- अर्थात्, तत्वों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन $U$ अभी भी अंदर है $U$—गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

गणनीय रूप से पूर्ण #प्रकारों की पूर्णता और एक पावरसमुच्चय पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व सदैव एक मापने योग्य कार्डिनल होता है।

Ordering on ultrafilters

Rudin–Keisler ordering (मैरी एलेन रुडिन द्वारा और हावर्ड जेरोम केसलर के नाम पर) पावरसमुच्चय अल्ट्राफिल्टर के वर्ग पर एक प्रीऑर्डर है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $U$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $\wp (X),$ और $V$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू $\wp (Y),$ तब $V\leq {}_{RK}U$ यदि कोई फलन उपस्थित है $f:X\to Y$ ऐसा है कि

$C\in V$ यदि औरमात्र यदि $f^{-1}[C]\in U$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $C\subseteq Y.$ अल्ट्राफिल्टर $U$ और $V$ कहा जाता हैRudin–Keisler equivalent, निरूपित U ≡_RK V, यदि समुच्चय उपस्थित हैं $A\in U$ और $B\in V$ और एक आपत्ति $f:A\to B$ जो उपरोक्त शर्त को पूरा करता है। (यदि $X$ और $Y$ समान प्रमुखता होने पर परिभाषा को ठीक करके सरल बनाया जा सकता है $A=X,$ $B=Y.$)

ज्ञातव्य है कि ≡_RK ≤ का कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) है_RK, अर्थात्, वह U ≡_RK V यदि औरमात्र यदि $U\leq {}_{RK}V$ और $V\leq {}_{RK}U.$


== ℘(ω)== पर अल्ट्राफिल्टर

ऐसे अनेक विशेष गुण हैं जिन पर अल्ट्राफ़िल्टर काम करता है $\wp (\omega ),$ कहाँ $\omega$ क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं, जो समुच्चय सिद्धांत और टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी सिद्ध हो सकते हैं।

• एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $U$ पी-प्वाइंट (या) कहा जाता हैweakly selective) यदि किसी समुच्चय के प्रत्येक विभाजन के लिए $\left\{C_{n}:n<\omega \right\}$ का $\omega$ ऐसा कि सभी के लिए $n<\omega ,$ $C_{n}\not \in U,$ वहाँ कुछ उपस्थित है $A\in U$ ऐसा है कि $A\cap C_{n}$ प्रत्येक के लिए एक सीमित समुच्चय है $n.$ * एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $U$ यदि प्रत्येक विभाजन के लिए इसे रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है $\left\{C_{n}:n<\omega \right\}$ का $\omega$ ऐसा कि सभी के लिए $n<\omega ,$ $C_{n}\not \in U,$ वहाँ कुछ उपस्थित है $A\in U$ ऐसा है कि $A\cap C_{n}$ प्रत्येक के लिए एक सिंगलटन समुच्चय है $n.$

यह एक तुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अल्ट्राफिल्टर पी-पॉइंट हैं। वाल्टर रुडिन ने सिद्ध किया कि सातत्य परिकल्पना रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व को दर्शाती है। वास्तव में, अनेक परिकल्पनाएँ रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व का संकेत देती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी सम्मिलित है। सहारों शेलाह ने पश्चात् में दिखाया कि यह सुसंगत है कि कोई पी-पॉइंट अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं। इसलिए, इस प्रकार के अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व ZFC की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है।

पी-बिंदु को इस तरह से कहा जाता है क्योंकि वह अंतरिक्ष स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन की सामान्य टोपोलॉजी में टोपोलॉजिकल पी-पॉइंट्स हैं |βω \ ω गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का। रैमसे नाम रैमसे प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि एक अल्ट्राफिल्टर रैमसे है यदि औरमात्र यदि प्रत्येक 2-रंग के लिए $[\omega ]^{2}$ अल्ट्राफिल्टर का एक तत्व उपस्थित है जिसका रंग एक समान है।

एक अल्ट्राफ़िल्टर चालू $\wp (\omega )$ रैमसे है यदि औरमात्र यदि यह गैर-प्रमुख पावरसमुच्चय अल्ट्राफिल्टर के रुडिन-कीस्लर ऑर्डरिंग में न्यूनतम तत्व है।

यह भी देखें

• Extender (set theory)
• Filter (mathematics) – In mathematics, a special subset of a partially ordered set
• Filter (set theory)
• Filters in topology
• Łoś's theorem
• Ultrafilter
• Universal net

टिप्पणियाँ

Proofs




संदर्भ




ग्रन्थसूची

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• Comfort, W. W.; Negrepontis, S. (1974), The theory of ultrafilters, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0396267
• Ultrafilter at the nLab