अल्ट्राफ़िल्टर

File:Filter vs ultrafilter 210div.svg

210 के भाजक का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, ऊपरी समूह ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक principal filter, लेकिन नहीं ultrafilter, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को सम्मलित करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अतिफिल्टर है।

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर अतिफिल्टर $P$ एक निश्चित उपसमुच्चय होता है $P,$ एक उचित फिल्टर $P$ है इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता है $P.$

यदि $X$ एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है $\wp (X),$ समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अतिफिल्टर होता है $\wp (X)$ सामान्यतः कहा जाता है $X$ .^{[note 1]} समूह पर एक अतिफिल्टर $X$ एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है $X$ . इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ या तो लगभग संपूर्ण माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अतिफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।

समूह सिद्धांत, नमूना सिद्धांत, सांस्थिति में अतिफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।^[1]^: 186^[2]

आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर

अनुक्रम सिद्धांत में, एक अतिफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक पोसमूह होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अतिफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।ka

औपचारिक रूप से, यदि $P$ एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है $\,\leq \,$ तब

उपसमुच्चय $F\subseteq P$ $F\subseteq P$ फिल्टर कहा जाता है $P$ $P$ यदि
- $F$ गैर-रिक्त है,
- हर एक के लिए $x,y\in F,$ वहां कुछ तत्व उपस्थित है $z\in F$ ऐसा है कि $z\leq x$ और $z\leq y,$ और
- हर एक के लिए $x\in F$ और $y\in P,$ $x\leq y$ इसका आशय $y$ में $F$ है
एक उचित उपसमुच्चय $U$ $U$ का $P$ $P$ इसे अतिफिल्टर कहा जाता है $P$ $P$ यदि
- $U$ एक फिल्टर है $P,$ और
- कोई उचित फिल्टर नहीं होता है $F$ पर $P$ वह उचित रूप से विस्तारित होता है $U$ (अर्थात, $U$ का एक उचित उपसमुच्चय है $F$ )