सघन स्थान

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यूक्लिडियन स्पेस के लिए कॉम्पैक्टनेस मानदंड के अनुसार, जैसा कि हेन-बोरेल प्रमेय में कहा गया है, अंतराल A = (−∞, −2] सघन नहीं है क्योंकि यह परिबद्ध नहीं है। अंतराल C = (2, 4)संहत नहीं है क्योंकि यह बंद नहीं है (किन्तु घिरा हुआ है)। अंतराल B = [0, 1] संहत है क्योंकि यह बंद और परिबद्ध दोनों है

गणित में, विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी में, कॉम्पैक्टनेस गुण होती है जोकी यूक्लिडियन स्थान के परिबद्ध समुच्चय और बंधे हुए समुच्चय उपसमुच्चय की धारणा को सामान्य बनाने का प्रयास करती है। विचार यह है कि कॉम्पैक्ट स्पेस में कोई पंक्चर या लापता समापन बिंदु नहीं होता है, इस प्रकार से , इसमें बिंदुओं की सभी सीमाएं (गणित) सम्मिलित होती हैं। उदाहरण के लिए, विवर्त अंतराल (गणित) (0,1) सघन नहीं होगा क्योंकि इसमें 0 और 1 के सीमित मान सम्मिलित नहीं हैं, जबकि बंद अंतराल [0,1] सघन होगा। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं $\mathbb {Q}$ कॉम्पैक्ट का स्थान नहीं है, क्योंकि इसमें अपरिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R}$ कॉम्पैक्ट के स्थान के अनुरूप अनंत रूप से कई पंचर हैं भी नहीं है, क्योंकि इसमें दो सीमित मान $+\infty$ और $-\infty$ सम्मिलित नहीं हैं. चूँकि , विस्तारित वास्तविक संख्याएँ सघन होंगी, क्योंकि इसमें दोनों अनन्तताएँ सम्मिलित हैं। इस अनुमानी धारणा को स्पष्ट बनाने के कई विधि हैं। ये विधि सामान्यतः मीट्रिक स्थान में सहमत होते हैं, जिससे अन्य टोपोलॉजिकल स्पेस में तार्किक तुल्यता नहीं हो सकते हैं।

ऐसा सामान्यीकरण यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि स्पेस से सैंपल किए गए बिंदुओं के प्रत्येक अनंत अनुक्रम में अनंत परिणाम होता है जो स्पेस के किसी बिंदु पर परिवर्तित होता है।

बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय में कहा गया है कि यूक्लिडियन स्पेस का उपसमुच्चय इस अनुक्रमिक अर्थ में कॉम्पैक्ट है यदि और केवल अगर यह बंद और घिरा हुआ है।

इस प्रकार, यदि कोई बंद इकाई अंतराल में [0, 1] अनंत अंक चुनता है , उनमें से कुछ बिंदु इच्छा अनुसार से उस स्थान में कुछ वास्तविक संख्या के समीप आ जाएंगे।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए, अनुक्रम में कुछ संख्याएँ 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... 0 तक जमा होता है (जबकि अन्य 1 तक जमा होते हैं)।

चूँकि न तो 0 और न ही 1 विवर्त इकाई अंतराल के सदस्य (0, 1) हैं , बिंदुओं का वही समुच्चय इसके किसी भी बिंदु पर जमा नहीं होगा, इसलिए खुली इकाई अंतराल कॉम्पैक्ट नहीं है। यद्यपि यूक्लिडियन स्पेस के उपसमुच्चय (उपस्थान) कॉम्पैक्ट हो सकते हैं, संपूर्ण स्थान स्वयं कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि यह बाध्य नहीं है। $\mathbb {R} ^{1}$ (वास्तविक संख्या रेखा) उदाहरण के लिए, विचार कर रहे हैं, बिंदुओं का क्रम 0,  1,  2,  3, ... का कोई अनुवर्ती नहीं है जो किसी वास्तविक संख्या में परिवर्तित होता हो।

कॉम्पैक्टनेस को औपचारिक रूप से 1906 में मौरिस फ्रेचेट द्वारा बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय को ज्यामितीय बिंदुओं के स्थानों से कार्य स्थान तक सामान्यीकृत करने के लिए प्रस्तुत किया गया था। अर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय और पीनो अस्तित्व प्रमेय शास्त्रीय विश्लेषण के लिए सघनता की इस धारणा के अनुप्रयोगों का उदाहरण देते हैं। इसके प्रारंभिक परिचय के बाद, सामान्य मीट्रिक स्थानों में अनुक्रमिक रूप क्रमिक रूप से संकुचित स्थान और सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस सहित कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न समकक्ष धारणाएं विकसित की गईं। चूँकि , सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में, कॉम्पैक्टनेस की ये धारणाएँ आवश्यक रूप से समतुल्य नहीं हैं। सबसे उपयोगी धारणा - और अयोग्य शब्द कॉम्पैक्टनेस की मानक परिभाषा - को विवर्त समुच्चय के परिमित परिवारों के अस्तित्व के संदर्भ में व्यक्त किया गया है जो स्पेस को कवर (टोपोलॉजी) इस अर्थ में करते हैं कि स्पेस का प्रत्येक बिंदु किसी न किसी समुच्चय में निहित है। परिवार। 1929 में पावेल अलेक्जेंड्रोव और पावेल उरीसोहन द्वारा प्रस्तुत की गई यह अधिक सूक्ष्म धारणा, सीमित स्थानों को परिमित समुच्च के सामान्यीकरण के रूप में प्रदर्शित करती है। ऐसे स्थानों में जो इस अर्थ में कॉम्पैक्ट होते हैं, स्थानीय गुण रखने वाली जानकारी को साथ पैच करना सदैव संभव होता है - इस प्रकार से, प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में - संबंधित वर्णन में जो पूरे स्थान में होते हैं, और कई प्रमेय इस चरित्र के होते हैं।

'कॉम्पैक्ट समुच्चय' शब्द का प्रयोग कभी-कभी कॉम्पैक्ट स्पेस के पर्याय के रूप में किया जाता है, जिससे यह सदैव टोपोलॉजिकल स्पेस के समुच्चय की कॉम्पैक्टनेस को भी संदर्भित करता है।

ऐतिहासिक विकास

इस प्रकार से 19वीं शताब्दी में, कई असमान गणितीय गुणों को समझा गया जिन्हें बाद में सघनता के परिणाम के रूप में देखा जाएगा। ओर, बर्नार्ड बोलजानो (1817) को पता था कि बिंदुओं के किसी भी बंधे हुए अनुक्रम (उदाहरण के लिए, रेखा या विमान में) का परिणाम होता है जो अंततः इच्छा अनुसार से किसी अन्य बिंदु के समीप आना चाहिए, जिसे सीमा बिंदु कहा जाता है।

बोल्ज़ानो का प्रमाण द्विभाजन की विधि पर निर्भर करता था: अनुक्रम को अंतराल में रखा गया था जिसे फिर दो समान भागों में विभाजित किया गया था, और अनुक्रम के अनंत रूप से कई पदों वाले भाग का चयन किया गया था।

इस प्रकार से परिणामी छोटे अंतराल को छोटे और छोटे भागों में विभाजित करके प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है - जब तक कि यह वांछित सीमा बिंदु पर बंद न हो जाए।

किन्तु बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का पूरा महत्व बोलजानो की प्रमेय, और इसकी प्रमाण की विधि, लगभग 50 साल बाद तक सामने नहीं आई जब इसे कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा फिर से खोजा गया था ।

चूँकि 1880 के दशक में, यह स्पष्ट हो गया कि बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के समान परिणाम केवल संख्याओं या ज्यामितीय बिंदुओं के बजाय कार्य स्थान के लिए तैयार किए जा सकते हैं।

कार्यों को सामान्यीकृत स्थान के बिंदुओं के रूप में मानने का विचार गिउलिओ एस्कोली और सेसारे अर्ज़ेला की जांच से जुड़ा है। उनकी जांच की परिणति, अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय, निरंतर कार्यों के परिवारों के लिए बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का सामान्यीकरण था, जिसका स्पष्ट निष्कर्ष यह निकालना था कि उपयुक्त परिवार से कार्यों का समान अभिसरण अनुक्रम निकालना संभव था।

इस क्रम की एकसमान सीमा ने बोल्ज़ानो के सीमा बिंदु के समान ही भूमिका निभाई।

बीसवीं शताब्दी की प्रारंभ में, डेविड हिल्बर्ट और एरहार्ड श्मिट द्वारा जांच के अनुसार, अर्ज़ेला और एस्कोली के समान परिणाम अभिन्न समीकरण के क्षेत्र में जमा होने लगे थे ।

इंटीग्रल समीकरणों के समाधान से आने वाले ग्रीन के कार्यों के निश्चित वर्ग के लिए, श्मिट ने दिखाया था कि आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय के अनुरूप गुण माध्य अभिसरण के अर्थ में होती है - या अभिसरण जिसे बाद में हिल्बर्ट स्थान कहा जाएगा।

इसने अंततः कॉम्पैक्ट स्पेस की सामान्य धारणा की शाखा के रूप में कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की धारणा को जन्म दिया।

और यह मौरिस रेने फ़्रेचेट थे मौरिस फ़्रेचेट, जिन्होंने 1906 में, बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस गुण के सार को आसवित किया था और इस सामान्य घटना को संदर्भित करने के लिए कॉम्पैक्टनेस शब्द गढ़ा था (उन्होंने इस शब्द का उपयोग अपने 1904 के पेपर में पहले से ही किया था) जिसके फलस्वरूप प्रसिद्ध 1906 थीसिस सामने आई)।

चूँकि , 19वीं शताब्दी के अंत में रैखिक सातत्य के अध्ययन से समग्रता की अलग धारणा भी धीरे-धीरे उभरी थी, जिसे विश्लेषण के कठोर सूत्रीकरण के लिए मौलिक माना गया था।

किन्तु 1870 में, एडवर्ड हेन ने दिखाया कि बंद और सीमित अंतराल पर परिभाषित सतत कार्य वास्तव में समान रूप से निरंतर था। प्रमाण के समय , उन्होंने लेम्मा का उपयोग किया कि छोटे विवर्त अंतरालों द्वारा अंतराल के किसी भी गणनीय कवर से, इनमें से सीमित संख्या का चयन करना संभव था जो इसे भी कवर करता था।

इस लेम्मा के महत्व को एमिल बोरेल (1895) द्वारा पहचाना गया था, और इसे पियरे कजिन (गणितज्ञ) (1895) और हेनरी लेबेस्गुए (1904) द्वारा अंतरालों के मनमाने संग्रह के लिए सामान्यीकृत किया गया था। हेन-बोरेल प्रमेय, जैसा कि परिणाम अब ज्ञात होते है, वास्तविक संख्याओं के बंद और बंधे हुए समुच्चयों के पास और विशेष गुण होते है।

और यह गुण महत्वपूर्ण थी क्योंकि यह समुच्चय के पश्चात में स्थानीय गुण (जैसे किसी फलन की निरंतरता) से समुच्चय के बारे में वैश्विक जानकारी (जैसे किसी फलन की समान निरंतरता) तक पारित होने की अनुमति देती थी।

यह भावना व्यक्त की गई लेब्सग्यू (1904), जिन्होंने लेब्सग इंटीग्रल के विकास में भी इसका उपयोग किया।

अंततः, पावेल अलेक्जेंड्रोव और पावेल उरीसोहन के निर्देशन में बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी के रूसी स्कूल ने हेइन-बोरेल कॉम्पैक्टनेस को इस तरह से तैयार किया, जिसे टोपोलॉजिकल स्पेस की आधुनिक धारणा पर प्रयुक्त किया जा सके। अलेक्सान्द्रोव & उरीसोहन (1929) ने दिखाया कि फ़्रेचेट के कारण कॉम्पैक्टनेस का पुराना संस्करण, जिसे अब (सापेक्ष) अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस कहा जाता है, उचित परिस्थितियों अनुक्रमिक सघनता के उस संस्करण का अनुसरण करता है जिसे परिमित उपकवरों के अस्तित्व के संदर्भ में तैयार किया गया था।

यह कॉम्पैक्टनेस की धारणा थी जो प्रमुख बन गई, क्योंकि यह न केवल कठोर गुण था, किन्तु इसे न्यूनतम अतिरिक्त तकनीकी मशीनरी के साथ अधिक सामान्य समुच्चयिंग में तैयार किया जा सकता था, क्योंकि यह केवल विवर्त समुच्चय की संरचना स्थान पर निर्भर थी।.

मूल उदाहरण

कोई भी परिमित स्थलाकृतिक स्थान सघन होता है; प्रत्येक बिंदु के लिए, उसमें उपस्थित विवर्त समुच्चय का चयन करके सीमित उपकवर प्राप्त किया जा सकता है। कॉम्पैक्ट [0,1]स्पेस का गैर-तुच्छ उदाहरण (बंद) इकाई अंतराल है वास्तविक संख्याओं का। यदि कोई इकाई अंतराल में अनंत संख्या में अलग-अलग बिंदु चुनता है, तो उस अंतराल में इन बिंदुओं के बीच कुछ संचय बिंदु होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनुक्रम के विषम संख्या वाले पद 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... इच्छा अनुसार से 0 के समीप पहुंच जाते हैं, जबकि सम-संख्या वाले इच्छा अनुसार से 1 के समीप पहुंच जाते हैं। दिया गया उदाहरण अनुक्रम अंतराल की सीमा (टोपोलॉजी) बिंदुओं को सम्मिलित करने के महत्व को दर्शाता है, क्योंकि अनुक्रम की सीमा स्पेस में ही होनी चाहिए - वास्तविक संख्याओं का विवर्त (या आधा विवर्त ) अंतराल सघन नहीं होता है।

यह भी महत्वपूर्ण है कि अंतराल को सीमित किया जाए, क्योंकि अंतराल [0,∞) में, कोई अंकों का क्रम चुन सकता है 0, 1, 2, 3, ..., जिसका कोई भी उप-अनुक्रम अंततः इच्छा अनुसार से किसी भी वास्तविक संख्या के समीप नहीं आता है।

इस प्रकार से दो आयामों में, बंद डिस्क (गणित) कॉम्पैक्ट होती है क्योंकि डिस्क से लिए गए किसी भी अनंत संख्या में बिंदुओं के लिए, उन बिंदुओं के कुछ उपसमुच्चय को इच्छा अनुसार से या तो डिस्क के अन्दर बिंदु या सीमा पर बिंदु के समीप आना चाहिए। चूँकि , विवर्त डिस्क कॉम्पैक्ट नहीं होती है, क्योंकि बिंदुओं का क्रम सीमा की ओर बढ़ सकता है - आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु के इच्छा अनुसार से समीप आए बिना। इसी प्रकार , व्रत्त सघन होते हैं, जिससे व्रत्त में बिंदु नहीं होता है क्योंकि बिंदुओं का क्रम अभी भी लुप्त बिंदु की ओर बढ़ सकता है, जिससे स्पेस के अन्दर किसी भी बिंदु के इच्छा अनुसार से समीप नहीं आ सकता है। रेखाएं और समतल सघन नहीं होते हैं, क्योंकि कोई भी व्यक्ति किसी भी बिंदु तक पहुंचे बिना किसी भी दिशा में समान दूरी वाले बिंदुओं का समुच्चय ले सकता है।

परिभाषाएँ

व्यापकता के स्तर के आधार पर सघनता की विभिन्न परिभाषाएँ प्रयुक्त हो सकती हैं।

विशेष रूप से यूक्लिडियन स्पेस के उपसमुच्चय को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह बंद समुच्चय और घिरा हुआ समुच्चय है। बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा इसका तात्पर्य यह है कि समुच्चय से किसी भी अनंत अनुक्रम (गणित) का परिणाम होता है जो समुच्चय में बिंदु पर परिवर्तित होता है।

सघनता की विभिन्न समतुल्य धारणाएँ, जैसे अनुक्रमिक सघनता और सीमा बिंदु सघनता, सामान्य मीट्रिक स्थानों में विकसित की जा सकती हैं।

इसके विपरीत, कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न धारणाएं सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में समतुल्य नहीं हैं, और कॉम्पैक्टनेस की सबसे उपयोगी धारणा - जिसे मूल रूप से बायोकॉम्पैक्टनेस कहा जाता है - जो विवर्त समुच्चय से युक्त कवर (टोपोलॉजी) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है (नीचे विवर्त कवर परिभाषा देखें)।

कॉम्पैक्टनेस का यह रूप यूक्लिडियन स्पेस के बंद और बंधे उपसमुच्चय के लिए मान्य है, जिसे हेइन-बोरेल प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

कॉम्पैक्टनेस, जब इस विधि से परिभाषित की जाती है, तो सदैव किसी को वह जानकारी लेने की अनुमति मिलती है जो स्थानीय गुण के रूप में जानी जाती है - स्पेस के प्रत्येक बिंदु के प्रतिवेश (गणित) में - और इसे उस जानकारी तक विस्तारित करने के लिए जो पूरे स्पेस में विश्व स्तर पर उपस्थित है।

इस घटना का उदाहरण डिरिचलेट का प्रमेय है, जिस पर इसे मूल रूप से हेइन द्वारा प्रयुक्त किया गया था, कि कॉम्पैक्ट अंतराल पर निरंतर कार्य समान रूप से निरंतर होता है; यहां, निरंतरता फलन की स्थानीय गुण है, और समान निरंतरता संबंधित वैश्विक गुण है।

विवर्त कवर परिभाषा

औपचारिक रूप से, टोपोलॉजिकल स्पेस X को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि प्रत्येक विवर्त कवर X में सीमित समुच्चय छिपाना है। अर्थात्, यदि X के खुले उपसमुच्चय के प्रत्येक संग्रह C के लिए X संहत है

$X=\bigcup _{x\in C}x$,

एक परिमित उपसंग्रह F ⊆ C ऐसा है

$X=\bigcup _{x\in F}x\ .$

गणित की कुछ शाखाएँ जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति, सामान्यतः निकोलस बॉर्बकी के फ्रांसीसी स्कूल से प्रभावित होती हैं, सामान्य धारणा के लिए अर्ध-कॉम्पैक्ट शब्द का उपयोग करती हैं, और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए कॉम्पैक्ट शब्द को आरक्षित करती हैं जो हॉसडॉर्फ़ स्थान और अर्ध-कॉम्पैक्ट दोनों हैं।

इस प्रकार से एक कॉम्पैक्ट समुच्चय को कभी-कभी कॉम्पैक्टम, बहुवचन कॉम्पेक्टा के रूप में जाना जाता है।

उपसमूहों की सघनता

उपसमुच्चय K टोपोलॉजिकल स्पेस का X को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह सबस्पेस (सबस्पेस टोपोलॉजी में) के रूप में कॉम्पैक्ट है।

है, यदि X के खुले उपसमुच्चय के प्रत्येक मनमाने संग्रह C के लिए K संहत है

$K\subseteq \bigcup _{c\in C}c\ ,$

एक सीमित उपसंग्रह है F ⊆ C ऐसा है कि

$K\subseteq \bigcup _{c\in F}c\ .$

कॉम्पैक्टनेस एक "टोपोलॉजिकल" संपत्ति है। अर्थात्, यदि $K\subset Z\subset Y$, उपसमुच्चय Z के साथ सबस्पेस टोपोलॉजी से सुसज्जित है, तो K, Z में कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि K, Y में कॉम्पैक्ट है।

लक्षण वर्णन

अगर X टोपोलॉजिकल स्पेस है तो निम्नलिखित समकक्ष हैं:

1. X सघन है; इस प्रकार से ,X हर विवर्त कवर का सीमित उपकवर है।
2. X का उप-आधार इस प्रकार है कि उप-आधार के सदस्यों द्वारा स्पेस के प्रत्येक आवरण में परिमित उप-आधार होता है (अलेक्जेंडर का उप-आधार प्रमेय)।
3. X लिंडेलोफ स्थान है लिंडेलोफ और गणनीय रूप से सघन
4. बंद उपसमुच्चय का कोई भी संग्रह परिमित प्रतिच्छेदन गुण के साथ X गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।
5. X पर प्रत्येक नेट (गणित) चालू में अभिसरण सबनेट है (प्रमाण के लिए नेट (गणित) पर आलेख देखें)।
6. X टोपोलॉजी में प्रत्येक फ़िल्टर चालू है में अभिसरण शोधन है।
7. X पर प्रत्येक नेट ऑन का क्लस्टर बिंदु है।
8. प्रत्येक फ़िल्टर चालू X का क्लस्टर बिंदु है।
9. X पर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत) चालू कम से कम बिंदु पर एकत्रित होता है।
10. X पर प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय का पूर्ण संचय बिंदु है।
11. प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस Y,के लिए प्रक्षेपण $X\times Y\to Y$ बंद मैपिंग है (उचित मानचित्र देखें)।

अतः बोर्बाकी कॉम्पैक्ट स्पेस (अर्ध-कॉम्पैक्ट स्पेस) को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में परिभाषित करता है जहां प्रत्येक फ़िल्टर में क्लस्टर पॉइंट होता है (इस प्रकार से , उपरोक्त में 8)।

यूक्लिडियन स्पेस

किसी भी उपसमुच्चय A के लिए यूक्लिडियन स्पेस A,का सघन है यदि और केवल यदि यह बंद समुच्चय और परिबद्ध समुच्चय है; यह हेइन-बोरेल प्रमेय है।

चूंकि यूक्लिडियन स्पेस मीट्रिक स्पेस है, अगले उपधारा की शर्तें इसके सभी उपसमुच्चयों पर भी प्रयुक्त होती हैं।

सभी समतुल्य स्थितियों में, व्यवहार में यह सत्यापित करना सबसे सरल है कि उपसमुच्चय बंद और परिबद्ध है, उदाहरण के लिए, बंद अंतराल (गणित) या बंद n-गेंद अंतराल के लिए ।

मीट्रिक रिक्त स्थान

किसी भी मीट्रिक स्थान के लिए (X, d), निम्नलिखित समकक्ष हैं (गणनीय विकल्प मानते हुए):

1. (X, d) सघन है.
2. (X, d) पूर्णता (टोपोलॉजी) है और पूर्ण रूप से घिरा हुआ है (यह समान स्थानों के लिए कॉम्पैक्टनेस के समान भी है)।
3. (X, d) क्रमिक रूप से सघन है; अर्थात्, X प्रत्येक क्रम में में अभिसरण अनुवर्ती है जिसकी सीमा अंदर है X (यह प्रथम-गणनीय समान स्थानों के लिए कॉम्पैक्टनेस के समान भी है)।
4. (X, d) सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट है (जिसे कमजोर रूप से गणनीय कॉम्पैक्ट भी कहा जाता है); अर्थात्, X प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय X में समुच्चय का कम से कम सीमा बिंदु होता है .
5. (X, d) गणनीय रूप से सघन है; अर्थात् X, प्रत्येक गणनीय विवर्त आवरण का सीमित उपकवर है।
6. (X, d) कैंटर समुच्चय से सतत फलन की छवि है।
7. (X, d) गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय S₁ ⊇ S₂ ⊇ ... का प्रत्येक घटता हुआ नेस्टेड अनुक्रम में में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।
8. (X, d) उचित विवर्त उपसमुच्चय S₁ ⊆ S₂ ⊆ ... का हर बढ़ता हुआ नेस्टेड अनुक्रम में X कवर करने में विफल रहता है .

एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान (X, d) निम्नलिखित गुणों को भी संतुष्ट करता है:

1. लेबेस्ग्यू की संख्या प्रमेयिका: प्रत्येक विवर्त आवरण के लिए X, वहां संख्या δ > 0 उपस्थित है ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय X व्यास का < δ कवर के कुछ सदस्य में निहित है।
2. (X, d) द्वितीय-गणनीय स्थान है द्वितीय-गणनीय, पृथक्करणीय स्थान और लिंडेलोफ़ स्थान|लिंडेलोफ़ - ये तीन स्थितियाँ मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए समतुल्य हैं। इसका उलट सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, गणनीय असतत स्थान इन तीन नियमो को पूरा करता है, जिससे कॉम्पैक्ट नहीं है।
3. (X d)बंद और घिरा हुआ है किसी भी मीट्रिक स्थान के समुच्चय के रूप में जिसका प्रतिबंधित मीट्रिक है . गैर-यूक्लिडियन स्थान के लिए इसका विपरीत विफल हो सकता है; जैसे असतत मीट्रिक से सुसज्जित वास्तविक रेखा बंद और परिबद्ध है जिससे कॉम्पैक्ट नहीं है, क्योंकि स्पेस के सभी सिंगलटन (गणित) का संग्रह विवर्त आवरण है जो किसी परिमित उपकवर को स्वीकार नहीं करता है। यह पूर्ण है जिससे पूर्ण रूप से सीमित नहीं है।

आदेशित स्थान

एक आदेशित स्थान के लिए (X, <) (इस प्रकार से ऑर्डर टोपोलॉजी से सुसज्जित पूरी तरह से ऑर्डर किया गया समुच्चय), निम्नलिखित समकक्ष हैं:

1. (X, <) सघन है.
2. X प्रत्येक उपसमुच्चय X में सर्वोच्च (अर्थात न्यूनतम ऊपरी सीमा) है.
3. X प्रत्येक उपसमुच्चय X में अनंत (अर्थात सबसे बड़ी निचली सीमा) है.
4. प्रत्येक गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय X में अधिकतम और न्यूनतम तत्व है।

इन नियमो में से किसी को संतुष्ट करने वाला व्यवस्थित स्थान पूर्ण जाली कहलाता है।

इसके अतिरिक्त , निम्नलिखित सभी ऑर्डर किए गए स्थानों के लिए (X, <) समतुल्य हैं , और (गणनीय विकल्प मानते हुए) जब भी सत्य होते हैं (X, <) सघन है. (सामान्यतः संवाद विफल हो जाती है यदि (X, <) भी मेट्रिज़ेबल नहीं है।):

1. प्रत्येक क्रम में (X, <) में अनुवर्ती है जो (X, <) अभिसरण करता है .
2. प्रत्येक X के मोनोटोन में क्रम बढ़ता जा रहा है X में अद्वितीय सीमा तक अभिसरण होता है .
3. प्रत्येक X के मोनोटोन घटते क्रम में X में अद्वितीय सीमा तक अभिसरण होता है .
4. गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय S₁ ⊇ S₂ ⊇ ...का प्रत्येक घटता हुआ नेस्टेड अनुक्रम (X, <) में में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।
5. (X, <) उचित विवर्त उपसमुच्चय X का हर बढ़ता हुआ नेस्टेड अनुक्रम S₁ ⊆ S₂ ⊆...में कवर करने में विफल रहता है .

सतत कार्यों द्वारा विशेषता

मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और C(X) X पर वास्तविक निरंतर कार्यों का वलय है.

प्रत्येक के लिए p ∈ X, मूल्यांकन मानचित्र ${\mathrm{ev}}_p:<!--\; :\; -->C$