नेट (गणित)

This article is about यह लेख सांस्थितिक अंतराल में नेट्स के बारे में है।. For बहुफलक के व्यक्त करने के लिए, see नेट (बहुफलक) देखें।.

गणित में, विशेष रूप से सामान्य सांस्थितिकी और संबंधित शाखाओं में, नेट या मूर-स्मिथ अनुक्रम अनुक्रम की धारणा का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस फलन का सहक्षेत्र प्रायः कुछ सांस्थितिक स्थान होता है।

अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए प्रेरणा यह है कि, सांस्थितिकी के संदर्भ में, अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में सभी सूचनाओं को पूरी तरह से एन्कोड नहीं करते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित दो स्थितियाँ, सामान्य रूप से, सांस्थितिक स्थान $X$ और $Y$ के बीच के मानचित्र $f$ के समतुल्य नहीं हैं-

1. मानचित्र $f$ सांस्थितिक अर्थों में सतत है
2. किसी भी बिंदु $x$ में, $X,$ और $X$ में किसी भी अनुक्रम को $x,$ में परिवर्तित करने के लिए, इस अनुक्रम के साथ $f$ की संरचना $f(x)$ (अनुक्रमिक अर्थ में सतत) में परिवर्तित हो जाती है।

जबकि शर्त 1 हमेशा शर्त 2 की गारंटी देती है, यदि सांस्थितिक स्थान दोनों प्रथम-गणनीय नहीं हैं, तो इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। विशेष रूप से, दो शर्तें मेट्रिक स्थानों के लिए समान हैं। वे स्थान जिनके लिए व्युत्क्रम धारण करती है अनुक्रमिक स्थान हैं।

नेट की अवधारणा, प्रथम बार 1922 में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ द्वारा पेश की गई थी, जो अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए है। ताकि उपरोक्त शर्तें ("अनुक्रम" को शर्त 2 में "नेट" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है) वास्तव में सांस्थितिक स्थान के सभी मानचित्रों के बराबर हैं। विशेष रूप से, गणनीय रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय पर परिभाषित होने के स्थान पर, नेट को मनमाने ढंग से निर्देशित समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है। यह प्रमेय के समान प्रमेय की अनुमति देता है कि उपरोक्त शर्त 1 और 2 सांस्थितिक स्थान के संदर्भ में धारण करने के बराबर हैं, जो जरूरी नहीं कि एक बिंदु के आसपास गणनीय या रैखिक रूप से क्रमित प्रतिवेश आधार हो। इसलिए, जबकि अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में पर्याप्त जानकारी को एनकोड नहीं करते हैं, नेट करते हैं, क्योंकि सांस्थितिक स्थान में विवृत समुच्चय का संग्रह व्यवहार में निर्देशित समुच्चय की तरह होता है। "नेट" शब्द जॉन एल. केली द्वारा दिया गया था।

नेट सांस्थितिकी में उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक हैं, जो कुछ अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो मेट्रिक स्थानों के संदर्भ में पर्याप्त सामान्य नहीं हो सकते हैं। संबंधित धारणा, फ़िल्टर की, 1937 में हेनरी कार्टन द्वारा विकसित की गई थी।

परिभाषाएँ

कोई भी फलन जिसका क्षेत्र निर्देशित समुच्चय है, उसे नेट कहा जाता है। यदि यह फलन किसी समुच्चय $X$ में मान लेता है तो इसे $X$ में नेट के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

स्पष्ट रूप से, $X$ में नेट $f:A\to X$ के रूप का फलन है जहां $A$ कुछ निर्देशित समुच्चय है। नेट के क्षेत्र के अल्पांशों को इसका सूचकांक कहा जाता है। एक निर्देशित समुच्चय अरिक्त समुच्चय $A$ है जो पूर्वक्रम के साथ होता है, प्रायः स्वचालित रूप से $\,\leq \,$ (जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है, गुण के साथ यह भी (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी $a,b\in A,$ के लिए कुछ $c\in A$ का अस्तित्व है जैसे कि $a\leq c$ और $b\leq c$। शब्दों में, इस गुण का अर्थ है कि किसी भी दो अल्पांशों ($A$) के दिए जाने पर, सदैव कुछ ऐसा अल्पांश होता है जो दोनों के "ऊपर" होता है (अर्थात, उनमें से प्रत्येक से अधिक या उसके बराबर) इस तरह, निर्देशित समुच्चय गणितीय रूप से परिशुद्ध तरीके से "एक दिशा" की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। प्राकृतिक संख्या $\mathbb {N}$ सामान्य पूर्णांक तुलना $\,\leq \,$ पूर्वक्रम के साथ मिलकर निर्देशित समुच्चय का आदर्श उदाहरण बनाती हैं। वास्तव में, नेट जिसका क्षेत्र प्राकृतिक संख्या है, एक अनुक्रम है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, $X$ में अनुक्रम $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$ से $X$ में केवल एक फलन है। यह इस प्रकार है कि नेट्स अनुक्रमों का सामान्यीकरण है। महत्वपूर्ण रूप से, हालांकि, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, निर्देशित समुच्चयों को कुल क्रम या आंशिक क्रम होने की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, निर्देशित समुच्चय में सबसे बड़े अल्पांश और/या अधिकतम अल्पांश होने की अनुमति है, यही कारण है कि नेट का उपयोग करते समय, प्रेरित विशुद्ध पूर्वक्रम $\,<\,$ के स्थान पर मूल (अविशुद्ध) पर्वक्रम $\,\leq$, विशेष रूप से, यदि निर्देशित समुच्चय, $(A,\leq )$ में सबसे बड़ा अल्पांश $a\in A$ है तो कोई भी $b\in A$ उपस्थित नहीं है, जैसे कि $a<b$ (इसके विपरीत, वहाँ सदैव कुछ $b\in A$ उपस्थित हैं जैसे कि $a\leq b$।

नेट को प्रायः अंकन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है जो अनुक्रमों के साथ उपयोग किए जाने वाले (और प्रेरित) के समान होता है। $X$ में नेट को $\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां अन्यथा सोचने का कोई कारण नहीं है, यह स्वचालित रूप से माना जाना चाहिए कि समुच्चय $A$ निर्देशित है और इससे संबंधित पूर्वक्रम को $\,\leq$ द्वारा दर्शाया जाता है। हालाँकि, नेट के लिए अंकन कुछ लेखकों के साथ भिन्न होता है, उदाहरण के लिए, कोष्ठक के स्थान पर कोण वाले कोष्ठक $\left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}$ का उपयोग करते हैं। $X$ में नेट को $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ के रूप में भी लिखा जा सकता है, जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि यह नेट $x_{\bullet }$एक फलन $x_{\bullet }:A\to X$ है, जिसका मान इसके क्षेत्र में तत्व $a$ पर $x_{\bullet }(a)$ द्वारा दर्शाया जाता है, बजाय सामान्य कोष्ठक संकेतन के $x_{a}$ जिसका प्रायः उपयोग किया जाता है फलनों के साथ (यह पादांक नोटेशन अनुक्रमों से लिया जा रहा है)। जैसे कि बीजगणितीय सांस्थितिकी के क्षेत्र में, भरी हुई डिस्क या "बुलेट" उस स्थान को दर्शाती है जहां नेट के लिए तर्क (अर्थात, नेट के क्षेत्र के अल्पांश $a\in A$) रखे गए हैं यह महत्त्व देने में सहायता करता है कि नेट एक फलन है और उन सूचकांक और अन्य प्रतीकों की संख्या को भी कम करता है जिन्हें बाद में संदर्भित करते समय लिखा जाना चाहिए।

नेट मुख्य रूप से विश्लेषण और सांस्थितिकी के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं, जहां उनका उपयोग कई महत्वपूर्ण सांस्थितिक गुणों को चित्रित करने के लिए किया जाता है, जो (सामान्य रूप से), अनुक्रमों को चिह्नित (अनुक्रमों की यह कमी अनुक्रमिक स्थान और फ्रेचेट-उरीसोन स्थान के अध्ययन को प्रेरित करती है) करने में असमर्थ हैं। नेट फिल्टर से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं, जिनका उपयोग प्रायः सांस्थितिकी में भी किया जाता है। प्रत्येक नेट फिल्टर से जुड़ा हो सकता है और प्रत्येक फिल्टर नेट से जुड़ा हो सकता है, जहां इन संबद्ध वस्तुओं के गुणों को एक साथ जोड़ा जाता है (अधिक विवरण के लिए सांस्थितिकी में फिल्टर के बारे में लेख देखें)। नेट प्रत्यक्ष रूप से अनुक्रमों का सामान्यीकरण करते हैं और वे प्रायः अनुक्रमों के समान ही उपयोग किए जा सकते हैं। नतीजतन, नेट का उपयोग करने के लिए सीखने की अवस्था प्रायः फिल्टर की तुलना में बहुत कम होती है, यही वजह है कि कई गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषक, उन्हें फिल्टर पर पसंद करते हैं। हालांकि, फिल्टर, और विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर, नेट पर कुछ महत्वपूर्ण तकनीकी लाभ हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंततः विश्लेषण और सांस्थितिकी के क्षेत्र के बाहर फिल्टर की तुलना में नेट का सामना बहुत कम होता है।

सबनेट केवल $A;$ के निर्देशित उपसमुच्चय के लिए नेट $f$ का प्रतिबंध नहीं है, परिभाषा के लिए लिंक किए गए पृष्ठ को देखें।

नेट के उदाहरण

प्रत्येक अरिक्त पूर्णतः क्रमित समुच्चय को निर्देशित किया जाता है। इसलिए, ऐसे समुच्चय का प्रत्येक फलन एक नेट होता है। विशेष रूप से, सामान्य क्रम वाली प्राकृतिक संख्याएं इस तरह के समुच्चय का निर्माण करती हैं, और अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं पर फलन होता है, इसलिए प्रत्येक अनुक्रम नेट होता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण इस प्रकार है। सांस्थितिक स्थान में एक बिंदु $x$ दिया गया है, माना $N_{x}$ $x$ वाले सभी प्रतिवेशों के समुच्चय को दर्शाता है। फिर $N_{x}$ निर्देशित समुच्चय है, जहां विपरीत समावेशन द्वारा दिशा दी जाती है, ताकि $$