भागफल समूह

भागफल समूह या कारक समूह एक गणितीय समूह है जो समतुल्य संबंध का उपयोग करके एक बड़े समूह के समान तत्वों को एकत्रित करके प्राप्त किया जाता है जो समूह संरचना के कुछ भाग को संरक्षित करता है (शेष संरचना को "कारक" से बाहर कर दिया जाता है)। उदाहरण के लिए, जोड़ मॉड्यूलो एन के चक्रीय समूह को पूर्णांकों के समूह से उन तत्वों की पहचान करके प्राप्त किया जा सकता है जो $n$के गुणक से भिन्न होते हैं और एक समूह संरचना को परिभाषित करते हैं जो प्रत्येक ऐसे वर्ग (एक सर्वांगसमता वर्ग के रूप में जाना जाता है) पर संचालित होता है। एकल इकाई यह गणितीय क्षेत्र का भाग है जिसे समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

किसी समूह पर सर्वांगसमता संबंध के लिए, पहचान तत्व का समतुल्य वर्ग सदैव मूल समूह का एक सामान्य उपसमूह होता है, और अन्य समतुल्य वर्ग स्पष्ट रूप से उस सामान्य उपसमूह के सहसमुच्चय होते हैं। परिणामी भागफल को $G\,/\,N$लिखा जाता है, जहाँ $G$ मूल समूह है और $N$ सामान्य उपसमूह है। (इसे $G{\bmod {N}}$ उच्चारित किया जाता है, जहां ${\mbox{mod}}$ मॉड्यूलो का संक्षिप्त रूप है।)

भागफल समूहों का अधिकांश महत्व समरूपता से उनके संबंध से प्राप्त होता है। पहला समरूपता प्रमेय बताता है कि एक समरूपता के तहत किसी भी समूह $G$ की छवि सदैव $G$ के भागफल के लिए समरूपी होती है। विशेष रूप से, एक समरूपता $\varphi :G\rightarrow H$ के तहत $G$ की छवि $G\,/\,\ker(\varphi )$ के लिए समरूपी होती है जहां $\varphi$ का कर्नेल को $\ker(\varphi )$ दर्शाता है

भागफल समूह की द्वैत (गणित) धारणा एक उपसमूह है, ये एक बड़े समूह से छोटे समूह बनाने के दो प्राथमिक विधि हैं। किसी भी सामान्य उपसमूह में एक संगत भागफल समूह होता है, जो उपसमूह के तत्वों के बीच अंतर को समाप्त करके बड़े समूह से बनता है। श्रेणी सिद्धांत में भागफल समूह भागफल वस्तुओं के उदाहरण हैं, जो उप-वस्तुओं के लिए दोहरे (श्रेणी सिद्धांत) हैं।

For other examples of quotient objects, see भागफल वलय, भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित), भागफल स्थान (टोपोलॉजी), and भागफल सेट.

परिभाषा और चित्रण

एक समूह $G$ और एक उपसमूह $H$, और एक तत्व $a\in G$ को देखते हुए, कोई संबंधित बाएं सहसमुच्चय पर विचार कर सकता है: $aH:=\left\{ah:h\in H\right\}$ कोसेट एक समूह के उपसमुच्चय का एक प्राकृतिक वर्ग है; उदाहरण के लिए पूर्णांकों के एबेलियन समूह जी पर विचार करें, जिसमें संचालन सामान्य जोड़ द्वारा परिभाषित होता है, और सम पूर्णांकों के उपसमूह $H$ पर विचार करें। फिर वास्तव में दो सहसमुच्चय हैं: $0+H$, जो सम पूर्णांक हैं, और $1+H$ जो विषम पूर्णांक हैं (यहां हम गुणक अंकन के अतिरिक्त बाइनरी ऑपरेशन के लिए योगात्मक अंकन का उपयोग कर रहे हैं)।

एक सामान्य उपसमूह $H$ के लिए, सभी संभावित कोसेट, $\left\{aH:a\in G\right\}$ के सेट पर एक संगत समूह ऑपरेशन को परिभाषित करना वांछनीय है। यह तभी संभव है जब $H$ एक सामान्य उपसमूह हो, नीचे देखें। समूह $G$ का एक उपसमूह $N$ सामान्य है यदि और केवल यदि कोसेट समानता $aN=Na$ सभी $a\in G$ के लिए है। $G$ के एक सामान्य उपसमूह को $N$ से दर्शाया जाता है।

परिभाषा

माना कि $N$, समूह $G$ का एक सामान्य उपसमूह है। सेट $G\,/\,N$ को $G$ में $N$ के सभी बाएं कोसेट के सेट के रूप में परिभाषित करें। अर्थात्, $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$ पहचान तत्व $e\in N$, $a\in aN$ के बाद से कोसेट के सेट, $G\,/\,N$ पर एक बाइनरी ऑपरेशन को निम्नानुसार परिभाषित करें। $bN$ में प्रत्येक $aN$ और $G\,/\,N$ के लिए, $aN$ और $bN$, $(aN)(bN)$ का गुणनफल, $(ab)N$ है। यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि $(ab)N$ प्रत्येक बाएं कोसेट, $aN$और $bN$ के प्रतिनिधियों, $a$ और $b$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इसे सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि कुछ $x,y,a,b\in G$ के लिए $xN=aN$ और $yN=bN$ हैं। तब

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि N एक सामान्य उपसमूह है। यह अभी भी दिखाया जाना शेष है कि यह स्थिति G/N. पर ऑपरेशन को परिभाषित करने के लिए न केवल पर्याप्त है किंतु आवश्यक भी है।

यह दिखाने के लिए कि यह आवश्यक है, विचार करें कि $G$ के उपसमूह $N$ के लिए, हमें दिया गया है कि ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित है। अर्थात्, सभी$xN=aN$और $yN=bN$ के लिए, $x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N$ के लिए।

होने देना $n\in N$ और $g\in G$. तब से $eN=nN$, अपने पास $gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N$.

अब, $gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N$ और $g\in G$.

अतः $N$, $G$ का एक सामान्य उपसमूह है।

यह भी जांचा जा सकता है कि $G\,/\,N$ पर यह ऑपरेशन सदैव साहचर्य है,$G\,/\,N$ में पहचान तत्व $N$ है, और तत्व $aN$ का व्युत्क्रम सदैव $a^{-1}N$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए, सेट $G\,/\,N$,$(aN)(bN)=(ab)N$ द्वारा परिभाषित ऑपरेशन के साथ मिलकर एक समूह बनाता है,जो $G$ का भागफल समूह $N$ से है

$N$ की सामान्यता के कारण, $G$ में $N$ के बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय समान हैं, और इसलिए, $G\,/\,N$ को $G$ में $N$ के दाएँ सहसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण: जोड़ मॉड्यूल 6

उदाहरण के लिए, जोड़ मॉड्यूल 6: $G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$ वाले समूह पर विचार करें। उपसमूह $N=\left\{0,3\right\}$ पर विचार करें, जो सामान्य है क्योंकि $G$ एबेलियन है। फिर (बाएं) कोसेट का सेट आकार तीन का है:

$G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}$.

ऊपर परिभाषित बाइनरी ऑपरेशन इस सेट को एक समूह में बनाता है, जिसे भागफल समूह के रूप में जाना जाता है, जो इस स्थिति में क्रम 3 के चक्रीय समूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

नाम भागफल के लिए प्रेरणा

कारण $G\,/\,N$ को भागफल समूह कहा जाता है जो पूर्णांकों के विभाजन से आता है। 12 को 3 से विभाजित करने पर उत्तर 4 प्राप्त होता है क्योंकि कोई 12 वस्तुओं को 3 वस्तुओं के 4 उपसंग्रहों में पुनः समूहित कर सकता है। भागफल समूह एक ही विचार है, चूँकि हम अंतिम उत्तर के लिए किसी संख्या के अतिरिक्त एक समूह के साथ समाप्त होते हैं क्योंकि समूहों में वस्तुओं के इच्छानुसार संग्रह की तुलना में अधिक संरचना होती है।

विस्तृत करने के लिए, जब $G\,/\,N$ को एन के साथ $G$ के एक सामान्य उपसमूह को देखते हैं, तो समूह संरचना का उपयोग प्राकृतिक "पुनर्समूहन" बनाने के लिए किया जाता है। ये $G$ में $N$ के सहसमुच्चय हैं। क्योंकि हमने एक समूह और सामान्य उपसमूह के साथ प्रारंभ की थी, अंतिम भागफल में केवल सहसमुच्चयों की संख्या (जो कि नियमित विभाजन से प्राप्त होता है) की तुलना में अधिक जानकारी होती है, किंतु इसके अतिरिक्त एक समूह संरचना होती है।

उदाहरण

सम और विषम पूर्णांक

पूर्णांकों के समूह पर विचार करें $\mathbb {Z}$ (अतिरिक्त जोड़) और उपसमूह $2\mathbb {Z}$ सभी सम पूर्णांकों से मिलकर बना है। यह एक सामान्य उपसमूह है, क्योंकि $\mathbb {Z}$ एबेलियन समूह है. केवल दो सहसमुच्चय हैं: सम पूर्णांकों का समुच्चय और विषम पूर्णांकों का समुच्चय, और इसलिए भागफल समूह $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ दो तत्वों वाला चक्रीय समूह है। यह भागफल समूह समुच्चय के साथ समरूपी है $\left\{0,1\right\}$ अतिरिक्त मॉड्यूलो 2 के साथ; अनौपचारिक रूप से कभी-कभी ऐसा कहा जाता है $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ सेट के बराबर है $\left\{0,1\right\}$ अतिरिक्त मॉड्यूलो 2 के साथ।

उदाहरण आगे बताया गया...

होने देना $\gamma (m)$ के अवशेष हो $m\in \mathbb {Z}$ से विभाजित करते समय $2$. तब, $\gamma (m)=0$ कब $m$ सम है और $\gamma (m)=1$ कब $m$ अजीब है।

की परिभाषा के अनुसार $\gamma$, का कर्नेल $\gamma$, $\ker(\gamma )$ $=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}$, सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है।

होने देना $H=$ $\ker(\gamma )$. तब, $H$ एक उपसमूह है, क्योंकि पहचान में $\mathbb {Z}$, जो है $0$, में है $H$, दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है और इसलिए यदि $m$ और $n$ में हैं $H$, $m+n$ में है $H$ (बंद) और यदि $m$ सम है, $-m$ सम और वैसा भी है $H$ इसके व्युत्क्रम शामिल हैं।

परिभाषित करना $\mu :\mathbb {Z} /H\to \mathbb {Z} _{2}$ जैसा $\mu (aH)=\gamma (a)$ के लिए $a\in \mathbb {Z}$ और $\mathbb {Z} /H$ बाएँ सहसमुच्चय का भागफल समूह है; $\mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}$.

ध्यान दें कि हमने परिभाषित किया है $\mu$, $\mu (aH)$ है $1$ अगर $a$ अजीब है और $0$ अगर $a$ सम है।

इस प्रकार, $\mu$ से एक समरूपता है $\mathbb {Z} /H$ को $\mathbb {Z} _{2}$.

पूर्णांक विभाजन के शेषफल

पिछले उदाहरण का थोड़ा सामान्यीकरण. एक बार फिर पूर्णांकों के समूह पर विचार करें$\mathbb {Z}$जोड़ के अंतर्गत. मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है। हम उपसमूह पर विचार करेंगे $n\mathbb {Z}$ का$\mathbb {Z}$ के सभी गुणजों से मिलकर बना है$n$. फिर एक बार $n\mathbb {Z}$ में सामान्य है$\mathbb {Z}$क्योंकि$\mathbb {Z}$एबेलियन है. कोसेट संग्रह हैं $\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$. पूर्णांक$k$कोसेट का है $r+n\mathbb {Z}$, कहाँ$r$विभाजित करने पर शेषफल होता है$k$द्वारा$n$. भागफल $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ शेष मॉड्यूलो के समूह के रूप में सोचा जा सकता है $n$. यह क्रम का चक्रीय समूह है$n$.

1 का जटिल पूर्णांक मूल

एकता N की चौथी जड़ों के सहसमुच्चय, एकता G की बारहवीं जड़ों में।

एकता की बारहवीं जड़ें, जो जटिल संख्या इकाई सर्कल पर बिंदु हैं, एक गुणात्मक एबेलियन समूह बनाती हैं$G$, दाईं ओर चित्र में रंगीन गेंदों के रूप में दिखाया गया है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर संख्या अपना जटिल तर्क देती है। इसके उपसमूह पर विचार करें$N$एकता की चौथी जड़ों से बना, लाल गेंदों के रूप में दिखाया गया है। यह सामान्य उपसमूह समूह को तीन कोसेट में विभाजित करता है, जो लाल, हरे और नीले रंग में दिखाया गया है। कोई यह जाँच सकता है कि सहसमुच्चय तीन तत्वों का एक समूह बनाते हैं (नीले तत्व के साथ लाल तत्व का गुणनफल नीला है, नीले तत्व का व्युत्क्रम हरा है, आदि)। इस प्रकार, भागफल समूह$G\,/\,N$तीन रंगों का समूह है, जो तीन तत्वों वाला चक्रीय समूह बन जाता है।

वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों को मापती हैं

वास्तविक संख्याओं के समूह पर विचार करें$\mathbb {R}$जोड़ के अंतर्गत, और उपसमूह$\mathbb {Z}$पूर्णांकों का. का प्रत्येक कोसेट$\mathbb {Z}$में$\mathbb {R}$फॉर्म का एक सेट है $a+\mathbb {Z}$, कहाँ $a$ एक वास्तविक संख्या है. तब से $a_{1}+\mathbb {Z}$ और $a_{2}+\mathbb {Z}$ समान सेट होते हैं जब गैर-पूर्णांक भाग होते हैं$a_{1}$और$a_{2}$समान हैं, कोई प्रतिबंध लगा सकता है $0\leq a<1$ बिना अर्थ बदले. ऐसे सहसमुच्चयों को जोड़ने का कार्य संगत वास्तविक संख्याओं को जोड़कर किया जाता है, और यदि परिणाम 1 से अधिक या उसके बराबर है तो 1 घटाकर किया जाता है। भागफल समूह $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ वृत्त समूह के लिए समरूपी है, गुणन के तहत पूर्ण मान 1 की जटिल संख्याओं का समूह, या तदनुसार, मूल के बारे में 2 डी में घूर्णन का समूह, यानी विशेष ऑर्थोगोनल समूह ${\mbox{SO}}(2)$. एक समरूपता द्वारा दिया जाता है $f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)$ (यूलर की पहचान देखें)।

वास्तविक संख्याओं के आव्यूह

अगर$G$व्युत्क्रमणीय का समूह है $3\times 3$ वास्तविक मैट्रिक्स (गणित), और$N$का उपसमूह है $3\times 3$ तब सारणिक 1 के साथ वास्तविक आव्यूह$N$में सामान्य है$G$(चूँकि यह निर्धारक समूह समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) है)। के कोसेट$N$किसी दिए गए निर्धारक के साथ मैट्रिक्स के सेट हैं, और इसलिए$G\,/\,N$गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के गुणक समूह के लिए समरूपी है। समूह$N$विशेष रैखिक समूह के रूप में जाना जाता है ${\mbox{SL}}(3)$.

पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित

एबेलियन समूह पर विचार करें $\mathbb {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z}$ (अर्थात सेट $\left\{0,1,2,3\right\}$ मॉड्यूलर अंकगणित 4), और इसके उपसमूह के साथ $\left\{0,2\right\}$. भागफल समूह $\mathbb {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}$ है $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$. यह पहचान तत्व वाला समूह है $\left\{0,2\right\}$, और समूह संचालन जैसे $\left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}$. दोनों उपसमूह $\left\{0,2\right\}$ और भागफल समूह $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ के साथ समरूपी हैं $\mathbb {Z} _{2}$.

पूर्णांक गुणन

गुणक समूह पर विचार करें $G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }$. सेट$N$का $n$वें अवशेष एक गुणक उपसमूह समरूपी है $(\mathbb {Z} _{n})^{\times }$. तब$N$में सामान्य है$G$और कारक समूह$G\,/\,N$सहसमुच्चय है $N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N$. पेलियर क्रिप्टोसिस्टम इस अनुमान पर आधारित है कि किसी यादृच्छिक तत्व के कोसेट को निर्धारित करना मुश्किल है$G$के गुणनखंडन को जाने बिना$n$.

गुण

भागफल समूह $G\,/\,G$ तुच्छ समूह (एक तत्व वाला समूह) के लिए समूह समरूपता है, और $G\,/\,\left\{e\right\}$ के लिए समरूपी है$G$.

का समूह क्रम$G\,/\,N$, परिभाषा के अनुसार तत्वों की संख्या, के बराबर है $\vert G:N\vert$, के एक उपसमूह का सूचकांक$N$में$G$. अगर$G$परिमित है, सूचकांक भी के क्रम के बराबर है$G$के क्रम से विभाजित किया गया है$N$. सेट$G\,/\,N$परिमित हो सकता है, यद्यपि दोनों$G$और$N$अनंत हैं (उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$).

एक प्राकृतिक विशेषण समूह समरूपता है $\pi :G\rightarrow G\,/\,N$, प्रत्येक तत्व भेज रहा है $g$ का$G$के कोसेट तक$N$किसको$g$संबंधित है, वह है: $\pi (g)=gN$. मानचित्रण $\pi$ कभी-कभी इसे विहित प्रक्षेपण भी कहा जाता है $G$ पर $G\,/\,N$. इसका कर्नेल (बीजगणित) है$N$.

के उपसमूहों के बीच एक विशेषणात्मक पत्राचार होता है$G$जिसमें शामिल है$N$और के उपसमूह$G\,/\,N$; अगर $H$ का एक उपसमूह है$G$युक्त$N$, फिर संबंधित उपसमूह$G\,/\,N$है $\pi (H)$. यह पत्राचार सामान्य उपसमूहों के लिए है$G$और$G\,/\,N$साथ ही, और जाली प्रमेय में औपचारिक रूप दिया गया है।

भागफल समूहों के कई महत्वपूर्ण गुण समरूपता और समरूपता प्रमेय पर मौलिक प्रमेय में दर्ज किए गए हैं।

अगर$G$एबेलियन समूह, निलपोटेंट समूह, हल करने योग्य समूह, चक्रीय समूह या समूह का जनक समूह है, तो ऐसा है$G\,/\,N$.

अगर$H$एक परिमित समूह में एक उपसमूह है$G$, और का क्रम$H$के क्रम का आधा भाग है$G$, तब$H$एक सामान्य उपसमूह होने की गारंटी है, इसलिए$G\,/\,H$मौजूद है और समरूपी है $C_{2}$. इस परिणाम को इस प्रकार भी कहा जा सकता है कि सूचकांक 2 का कोई भी उपसमूह सामान्य है, और इस रूप में यह अनंत समूहों पर भी लागू होता है। इसके अलावा, यदि $p$ किसी परिमित समूह के क्रम को विभाजित करने वाली सबसे छोटी अभाज्य संख्या है,$G$, तो अगर$G\,/\,H$आदेश है$p$,$H$का एक सामान्य उपसमूह होना चाहिए$G$. दिया गया$G$और एक सामान्य उपसमूह$N$, तब$G$का एक समूह विस्तार है$G\,/\,N$द्वारा$N$. कोई पूछ सकता है कि क्या यह विस्तार तुच्छ है या विभाजित है; दूसरे शब्दों में, कोई यह पूछ सकता है कि क्या$G$समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है या अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है$N$और$G\,/\,N$. यह विस्तार समस्या का एक विशेष मामला है. एक उदाहरण जहां एक्सटेंशन विभाजित नहीं है वह इस प्रकार है: Let $G=\mathbb {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}$, और $N=\left\{0,2\right\}$, जो कि समरूपी है $\mathbb {Z} _{2}$. तब$G\,/\,N$के लिए समरूपी भी है $\mathbb {Z} _{2}$. लेकिन $\mathbb {Z} _{2}$ केवल तुच्छ स्वचालितता है, इसलिए इसका एकमात्र अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है$N$और$G\,/\,N$प्रत्यक्ष उत्पाद है. तब से $\mathbb {Z} _{4}$ से भिन्न $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$G$का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है$N$और$G\,/\,N$.

झूठ समूहों के भाग

अगर$G$एक झूठ समूह है और$N$एक सामान्य और बंद (शब्द के बीजगणितीय अर्थ के अतिरिक्त टोपोलॉजिकल में) झूठ उपसमूह है$G$, भागफल $G$ / $N$ भी एक झूठ समूह है. इस स्थिति में, मूल समूह$G$इसमें फाइबर बंडल की संरचना होती है (विशेष रूप से, एक प्रिंसिपल बंडल|प्रिंसिपल)।$N$-बंडल), बेस स्पेस के साथ $G$ / $N$ और फाइबर$N$. का आयाम $G$ / $N$ बराबर है $\dim G-\dim N$. ध्यान दें कि शर्त यह है कि$N$बंद होना आवश्यक है. वास्तव में, यदि$N$बंद नहीं है तो भागफल स्थान T1-स्थान नहीं है (क्योंकि भागफल में एक सहसमुच्चय है जिसे खुले समुच्चय द्वारा पहचान से अलग नहीं किया जा सकता है), और इस प्रकार हॉसडॉर्फ स्थान नहीं है।

एक गैर-सामान्य झूठ उपसमूह के लिए$N$, अंतरिक्ष $G\,/\,N$ बाएँ सहसमुच्चय का एक समूह नहीं है, किंतु यह केवल एक भिन्नात्मक मैनिफोल्ड है जिस पर$G$कार्य करता है. परिणाम को एक सजातीय स्थान के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• समूह विस्तार
• भागफल श्रेणी
• संक्षिप्त स्पष्ट क्रम

संदर्भ

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X