भागफल वलय

रिंग सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा एक भागफल वलय, जिसे कारक वलय, अंतर वलय के रूप में भी जाना जाता है या अवशिष्ट वर्ग वलय, समूह सिद्धांत में भागफल समूह और रेखीय बीजगणित में भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के समान एक निर्माण है। यह भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) का एक विशिष्ट उदाहरण है, जैसा कि सार्वभौमिक बीजगणित की सामान्य सेटिंग से देखा जाता है। R में एक वलय R और एक दो तरफा आदर्श I से प्रारंभ होकर, एक नई वलय, भागफल वलय R / I का निर्माण किया जाता है, जिसके तत्व R में I के सहसमुच्चय हैं जो विशेष + और ⋅ संचालन के अधीन हैं। (केवल अंश स्लैश "/" का उपयोग कोयंटेंट रिंग नोटेशन में किया जाता है, क्षैतिज अंश बार नहीं।)

भागफल के वलय एक अभिन्न डोमेन के साथ-साथ एक रिंग के स्थानीयकरण द्वारा प्राप्त उद्धरण के अधिक सामान्य रिंग से तथाकथित भागफल क्षेत्र, या अंशों के क्षेत्र से अलग हैं।

औपचारिक भागफल वलय निर्माण

$R$ में एक वलय $R$ और दो तरफा आदर्श $I$ दिए जाने पर, हम $R$ पर एक तुल्यता संबंध $\sim$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$a\sim b$ यदि और केवल यदि $a-b$ , $I$ में है

आदर्श गुणों का उपयोग करके, यह जाँचना कठिन नहीं है $\sim$ एक संगति संबंध है। $a\sim b$ के स्थिति में, हम कहते हैं कि $a$ और $b$ सर्वांगसम मॉड्यूल $I$ हैं। $R$ में तत्व $a$ का तुल्यता वर्ग द्वारा दिया गया है

$[a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}$.

इस तुल्यता वर्ग को कभी-कभी $a{\bmod {I}}$ के रूप में भी लिखा जाता है और इसे $a$ "मॉड्यूल $I$ का अवशेष वर्ग" कहा जाता है।

ऐसे सभी तुल्यता वर्गों के समुच्चय को $R/I$ द्वारा निरूपित किया जाता है ;यदि कोई परिभाषित करता है तो यह एक वलय, कारक वलय या $R$ मोडुलो $I$ का भागफल वलय बन जाता है

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$;
• $(a+I)(b+I)=(ab)+I$.

(यहाँ किसी को यह जाँचना है कि ये परिभाषाएँ अच्छी तरह से परिभाषित हैं। सहसमुच्चय और भागफल समूह की तुलना करें।) $R/I$ का शून्य-तत्व ${\bar {0}}=(0+I)=I$ है, और गुणक तत्समक ${\bar {1}}=(1+I)$ है .

$p(a)=a+I$ द्वारा परिभाषित $R$ से $R/I$ तक मानचित्र $p$