निलपोटेंट समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, एक निलपोटेंट समूह G एक समूह (गणित) है जिसमें एक ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला होती है जो G के साथ समाप्त होती है। समतुल्य रूप से, इसकी केंद्रीय श्रृंखला परिमित लंबाई की है या इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला {1} के साथ समाप्त होती है।

सहज रूप से, एक नीलपोटेंट समूह एक ऐसा समूह है जो लगभग एबेलियन समूह है। यह विचार इस तथ्य से प्रेरित है कि नाइलपोटेंट समूह हल करने योग्य समूह हैं, और परिमित निलपोटेंट समूहों के लिए, अपेक्षाकृत प्रमुख क्रम वाले दो तत्वों को अवश्य ही कम्यूट करना चाहिए। यह भी सच है कि परिमित निलपोटेंट समूह सुपरसाल्वेबल समूह हैं। इस अवधारणा को 1930 के दशक में रूसी गणितज्ञ सर्गेई चेर्निकोव द्वारा काम करने का श्रेय दिया जाता है।

गैलोज़ सिद्धांत के साथ-साथ समूहों के वर्गीकरण में निलपोटेंट समूह उत्पन्न होते हैं। वे झूठ समूह के वर्गीकरण में भी प्रमुखता से दिखाई देते हैं।

लाई बीजगणित (वेक्टर क्षेत्र के लाई ब्रैकेट का उपयोग करके) के लिए समान शब्दों का उपयोग किया जाता है, जिसमें निलपोटेंट लाई बीजगणित, निचला केंद्रीय श्रृंखला और ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला सम्मिलित है।

परिभाषा

परिभाषा समूह के लिए केंद्रीय श्रृंखला के विचार का उपयोग करती है। निलपोटेंट समूह G के लिए निम्नलिखित समान परिभाषाएँ हैं :

• Gकी परिमित लंबाई की central series जिससे सामान्य उपसमूहों की एक श्रृंखला

  $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$

  जहाँ $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$, या समकक्ष $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$.
• G की एक निचली केंद्रीय श्रृंखला है जो छोटे उपसमूह में बहुत से चरणों के बाद समाप्त होती है। यानी सामान्य उपसमूहों की एक श्रृंखला

  $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$

  where $G_{i+1}=[G_{i},G]$.
• Gकी एक ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला है जो पूरे समूह में बहुत से चरणों के बाद समाप्त होती है। यानी सामान्य उपसमूहों की एक श्रृंखला

  $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$

  जहाँ $Z_{1}=Z(G)$ and $Z_{i+1}$ ऐसा उपसमूह है कि $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$.

एक निलपोटेंट समूह के लिए, सबसे छोटा n जैसे कि G की लंबाई n की एक केंद्रीय श्रृंखला है जिसे G की निलपोटेंसी वर्ग कहलाती है; और G को वर्ग n का निलपोटेंट कहा जाता है . (परिभाषा के अनुसार, लंबाई n है तो यदि श्रृंखला में $n+1$ विभिन्न उपसमूह है जिसमे, तुच्छ उपसमूह और पूरे समूह सम्मिलित है ।)

समान रूप से, G की शून्यता वर्ग निचली केंद्रीय श्रृंखला या ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला की लंबाई के सामान होती है। यदि किसी समूह में सबसे अधिक n शून्यता वर्ग है , तो इसे कभी-कभी शून्य n समूह। कहा जाता है-

यह निलपोटेंसी की परिभाषा के उपरोक्त रूपों में से किसी से तुरंत अनुसरण करता है, कि तुच्छ समूह निलपोटेंसी वर्ग 0 का अनूठा समूह है, और शून्यता वर्ग 1 के समूह वास्तव में गैर-तुच्छ एबेलियन समूह हैं।

उदाहरण

File:HeisenbergCayleyGraph.png

असतत हाइजेनबर्ग समूह के केली ग्राफ का एक हिस्सा, एक प्रसिद्ध निलपोटेंट समूह।

* जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रत्येक एबेलियन समूह शून्य है।

• एक छोटे गैर-अबेलियन उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक समूह Q₈पर विचार करें, जो सबसे छोटा नॉन-एबेलियन p-समूह है। इसका केंद्र क्रम 2 का {1, -1} है, और इसकी ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला {1}, {1, -1}, Q₈ है; इसलिए यह कक्षा 2 का शून्य है।
• दो निलपोटेंट समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद निलपोटेंट है।
• सभी परिमित p-समूह p-समूह वास्तव में निलपोटेंट ( p-समूह या गैर-तुच्छ केंद्र) हैं। क्रम pⁿ के समूह का अधिकतम वर्ग n है (उदाहरण के लिए, क्रम 2 का कोई भी समूह कक्षा 1 का शून्य है)। अधिकतम वर्ग के 2-समूह सामान्यीकृत चतुर्धातुक समूह, डायहेड्रल समूह और सेमीडायहेड्रल समूह हैं।
• इसके अतिरिक्त , प्रत्येक परिमित निलपोटेंट समूह p-समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।* किसी भी क्षेत्र एफ पर ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह या यूनिट्रिएंगुलर आव्यूह n × n आव्यूह का गुणक समूह निलपोटेंसी वर्ग n - 1 का एक यूनिपोटेंट बीजगणितीय समूह है। विशेष रूप से, n = 3 लेने से हाइजेनबर्ग समूह H उत्पन्न होता है, गैर का एक उदाहरण- एबेलियन अनंत निलपोटेंट समूह। इसमें केंद्रीय श्रृंखला 1, Z(H), H के साथ शून्यता वर्ग 2 है।
• क्षेत्र F पर बोरेल उपसमूह n × n आव्यूहों का गुणक समूह सामान्य रूप से शून्य नहीं है, किन्तु हल करने योग्य समूह है।
• कोई भी गैर-अबेलियन समूह G जैसे कि G/Z(G) एबेलियन है, उसकी केंद्रीय श्रृंखला {1}, Z(G), G के साथ निलपोटेंसी वर्ग 2 है।

प्राकृतिक संख्याएँ k जिसके लिए k कोटि का कोई भी समूह निलपोटेंट है, को अभिलक्षित किया गया है (sequence A056867 in the OEIS).

शब्द की व्याख्या

निलपोटेंट समूह इसलिए कहलाते हैं क्योंकि किसी भी तत्व की "संलग्न क्रिया" निलपोटेंट है, जिसका अर्थ है कि निलपोटेंस डिग्री $n$ के एक निलपोटेंट समूह $G$और एक तत्व $g$ के लिए, कार्य $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ द्वारा परिभाषित $$