काहलर मैनिफोल्ड: Difference between revisions

Latest revision as of 19:34, 21 July 2023

गणित और विशेष रूप से अवकल ज्यामिति में, काहलर मैनिफोल्ड तीन परस्पर संगत संरचनाओं वाला एक मैनिफोल्ड है, जिसमे एक सम्मिश्र संरचना, एक रीमानी संरचना, और एक समकोणिक संरचना सम्मिलित है। इस अवधारणा का अध्ययन सबसे पहले 1930 में जान अर्नोल्डस शौटेन और डेविड वान डेंजिग द्वारा किया गया था, और फिर 1933 में इसे एरिच काहलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। शब्दावली आंद्रे वेइल द्वारा तय की गई है। काहलर ज्यामिति काहलर मैनिफोल्ड्स, उनकी ज्यामिति और सांस्थिति के अध्ययन के साथ-साथ संरचनाओं और निर्माणों के अध्ययन को संदर्भित करती है जो कि काहलर मैनिफोल्ड्स पर किए जा सकते हैं, इसमें विशेष संबंधो की उपस्थिति जैसे हर्मिटियन यांग-मिल्स संबंध या विशेष मापीय जैसे केलर-आइंस्टीन मापीय का अध्ययन संम्मिलित होता है।

प्रत्येक सुचारू सम्मिश्र प्रक्षेप्य प्रकार काहलर मैनिफोल्ड है। हॉज सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति का एक केंद्रीय भाग है, जिसे काहलर मापीय का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।

परिभाषाएँ

चूंकि काहलर मैनिफोल्ड्स कई संगत संरचनाओं से प्रयुक्त हैं, इसलिए उन्हें विभिन्न दृष्टिकोणों से वर्णित किया जा सकता है,

सिम्प्लेक्टिक दृष्टिकोण

काहलर मैनिफोल्ड एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड (X, ω) है जो एक अभिन्न लगभग-सम्मिश्र संरचना J से प्रयुक्त है जो सिम्प्लेक्टिक रूप ω के साथ संगत है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि पर द्विएकघाती समघात

g(u,v)=\omega (u,Jv)

सममित और धनात्मक निश्चित (और इसलिए X पर एक रीमानी मापीय) है।^[1]

सम्मिश्र दृष्टिकोण

काहलर मैनिफोल्ड हर्मिटियन मापीय h के साथ एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड X है जिसका संबद्ध 2-रूप ω सवृत है। अधिक विस्तार से, h X के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शी समष्टि TX पर एक धनात्मक निश्चित हर्मिटियन रूप देता है, और 2-रूप ω को स्पर्श सदिश u और v के लिए

\omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)

द्वारा परिभाषित किया गया है (जहाँ i सम्मिश्र संख्या ${\sqrt {-1}}$ है)। काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, 'काहलर रूप' ω एक वास्तविक सवृत (1,1)-रूप है। काहलर मैनिफ़ोल्ड को रीमानी मैनिफ़ोल्ड के रूप में भी देखा जा सकता है, तथा रीमानी मापीय g को

g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).

द्वारा परिभाषित किया गया है। समान रूप से, काहलर मैनिफोल्ड X सम्मिश्र आयाम n का एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड है जैसे कि X के प्रत्येक बिंदु p के लिए, p के चारों ओर एक पूर्णसममितिक निर्देशांक चार्ट है जिसमें मापीय Cⁿ पर मानक मापीय के साथ p के पास 2 अनुक्रम करने के लिए सहमत है।^[2] अर्थात्, यदि चार्ट 'Cⁿ' में p से 0 लेता है, और इन निर्देशांकों में मापीय को h_ab = (∂/∂z_a, ∂/∂z_b) के रूप में लिखा जाता है, तब {1, ..., n}. में सभी a, b के लिए

h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})

होता है ।

चूंकि 2-रूप ω सवृत है, इसलिए यह डी राम सह समरूपता H²(X, R) में एक तत्व निर्धारित करता है, जिसे काहलर वर्ग के रूप में जाना जाता है।

रीमानी दृष्टिकोण

काहलर मैनिफोल्ड सम आयाम 2n का एक रीमानी मैनिफोल्ड X है जिसका समविधिता समूह एकात्मक समूह U(n) में समाहित है।^[3] समान रूप से, प्रत्येक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि पर एक सम्मिश्र संरचना J होती है (अर्थात,J² = −1 के साथ TX से स्वयं तक एक वास्तविक रेखीय मानचित्र) जैसे कि J मापीय g को सुरक्षित रखता है (जिसका अर्थ है कि g(Ju, Jv) = g(u, v)) और J को समानांतर परिवहन द्वारा संरक्षित किया जाता है।

काहलर क्षमता

एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर एक सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन ρ को पूर्णतः प्लुरिसुबरमोनिक कहा जाता है यदि वास्तविक सवृत (1,1)-रूप

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho

सधनात्मक है, जो कि काहलर रूप है। यहाँ $\partial ,{\bar {\partial }}$ डॉल्बॉल्ट प्रचालक हैं। फलन ρ को ω के लिए 'काहलर क्षमता' कहा जाता है।

इसके विपरीत, पोंकारे लेम्मा के सम्मिश्र संस्करण द्वारा, जिसे स्थानीय $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा के रूप में जाना जाता है, प्रत्येक काहलर मापीय को स्थानीय रूप से इस तरह वर्णित किया जा सकता है। अर्थात यदि (X, ω) एक काहलर मैनिफोल्ड है, तो X में प्रत्येक बिंदु p के लिए p का प्रतिवैस U और U पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन ρ है जैसे कि $\omega \vert _{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho$ ।^[4] यहां ρ को ω के लिए 'स्थानीय काहलर क्षमता' कहा जाता है। किसी एकल फलन के संदर्भ में सामान्य रीमानी मापीय का वर्णन करने का कोई तुलनीय तरीका नहीं है।

काहलर संभावनाओं का समष्टि

हालाँकि एकल काहलर क्षमता का उपयोग करके विश्व स्तर पर काहलर रूप का वर्णन करना हमेशा संभव नहीं होता है, इस तरह से दो काहलर रूपों के अंतर का वर्णन करना संभव है, बशर्ते वे एक ही डी राम सह समरूपता वर्ग में हों। यह हॉज सिद्धांत के $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा का परिणाम है।

अर्थात्, यदि $(X,\omega )$ एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है, तो सह समरूपता वर्ग $[\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)$ को काहलर वर्ग कहा जाता है। इस वर्ग का कोई अन्य प्रतिनिधि, $\omega '$ का कहना है, कि कुछ एक-रूप $\beta$ के लिए $\omega$ से $\omega '=\omega +d\beta$ से भिन्न है। $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा आगे बताता है कि यह सुचारू फलन $\varphi :X\to \mathbb {C}$ के लिए इस सटीक रूप सटीक रूप $d\beta$ को $d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ के रूप में लिखा जा सकता है। उपरोक्त स्थानीय चर्चा में, कोई स्थानीय काहलर वर्ग $[\omega ]=0$ को एक खुले उपसमुच्चय $U\subset X$ पर लेता है, और पोंकारे लेम्मा द्वारा कोई भी काहलर रूप स्थानीय रूप से शून्य के अनुरूप होगा। इस प्रकार स्थानीय काहलर क्षमता $\rho$ स्थानीय स्तर पर $[\omega ]=0$ के लिए समान $\varphi$ है।

सामान्यतः यदि $[\omega ]$ एक काहलर वर्ग है, तो ऐसे सुचारू कार्य के लिए किसी भी अन्य काहलर मापीय को $\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रपत्र स्वचालित रूप से एक धनात्मक रूप नहीं है, इसलिए वर्ग $[\omega ]$ के लिए काहलर क्षमता की समष्टि उन धनात्मक स्थितियों के रूप में परिभाषित की गई है, जिन्हें आमतौर पर ${\mathcal {K}}$ द्वारा दर्शाया जाता है,

{\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{ smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.

यदि दो काहलर क्षमताएं एक स्थिरांक से भिन्न होती हैं, तो वे एक ही काहलर मापीय को परिभाषित करते हैं, इसलिए वर्ग $[\omega ]$ में काहलर मापीय की समष्टि को भागफल ${\mathcal {K}}/\mathbb {R}$ से पहचाना जा सकता है। काहलर क्षमता की समष्टि एक संकुचन योग्य समष्टि है। इस तरह काहलर क्षमता की समष्टि किसी दिए गए वर्ग में सभी काहलर मापीय का एक साथ अध्ययन करने की अनुमति देती है, और अस्तित्व के अध्ययन में यह परिप्रेक्ष्य काहलर मापीय के लिए परिणाम देता है।

काहलर मैनिफ़ोल्ड्स और आयतन न्यूनतमीकृत

एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, X के एक सवृत सम्मिश्र उपसमष्टि की मात्रा उसके सजातीय वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है। एक अर्थ में, इसका मतलब यह है कि एक सम्मिश्र उपसमष्टि की ज्यामिति उसकी सांस्थिति के संदर्भ में सीमित है। (यह वास्तविक उपमेनिफोल्ड्स के लिए पूरी तरह से विफल रहता है।) स्पष्ट रूप से, 'विर्टिंगर का सूत्र' कहता है कि

\mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},

जहां Y एक r-आयामी सवृत सम्मिश्र उपसमष्टि है और ω काहलर रूप है।^[5] चूँकि ω सवृत है, यह समाकलन केवल H_2r(X, R) में Y के वर्ग पर निर्भर करता है। ये आयतन हमेशा धनात्मक होते हैं, जो सम्मिश्र उपसमष्टि के संबंध में H²(X, R) में काहलर वर्ग ω की एक मजबूत सकारात्मकता व्यक्त करते हैं। विशेष रूप से, सम्मिश्र आयाम n के सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, H²ⁿ(X, R)में ωⁿ शून्य नहीं है।

एक संबंधित तथ्य यह है कि सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X का प्रत्येक सवृत सम्मिश्र उपसमष्टि Y एक न्यूनतम उपमैनिफोल्ड (इसके एकवचन समुच्चय के बाहर) है। और भी अधिक, अंशांकित ज्यामिति के सिद्धांत के अनुसार, Y एक ही समरूपता वर्ग में सभी (वास्तविक) चक्रों के बीच मात्रा को न्यूनतम करता है।

काहलर की पहचान

काहलर मैनिफोल्ड पर सुचारू, सम्मिश्र और रीमानियन संरचनाओं के बीच प्रबल अन्योन्यक्रिया के परिणामस्वरूप, काहलर मैनिफोल्ड के सम्मिश्र अवकल रूपों पर विभिन्न संचालको के बीच प्राकृतिक पहचान होती है जो यादृच्छिक रूप से सम्मिश्र मैनिफोल्ड के लिए नहीं होती है। ये पहचान बाहरी व्युत्पन्न $d$ , डॉल्बॉल्ट संचालक $\partial ,{\bar {\partial }}$ और उनके सहयोगी, लाप्लासियन $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$ , और लेफ्शेट्ज़ संचालक $L:=\omega \wedge -$ और उनके सहायक, संकुचन संचालक $\Lambda =L^{*}$ से संबंधित हैं।^[6] पहचान काहलर मैनिफोल्ड्स पर विश्लेषणात्मक टूलकिट का आधार बनती है, और हॉज सिद्धांत के साथ मिलकर काहलर मैनिफोल्ड्स और उनके सह समरूपता के कई महत्वपूर्ण गुणों को सिद्ध करने में प्रमुख हैं। विशेष रूप से काहलर की पहचान नाकानो लुप्त प्रमेय, लेफ्शेट्ज़ अधिसमतल प्रमेय, हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय, हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध और हॉज सूचकांक प्रमेय को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण है।

काहलर मैनिफोल्ड पर लाप्लासियन

आयाम N के रीमानी मैनिफोल्ड पर, सुचारू r-रूप पर लाप्लासियन को $\Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d$ द्वारा परिभाषित किया गया है जहां $d$ बाहरी व्युत्पन्न है और $d^{*}=-(-1)^{Nr}\star d\star$ , जहां $\star$ हॉज स्टार संचालक है। (समान रूप से, $d^{*}$ सुसम्बद्ध समर्थन के साथ r-फॉर्म पर L² आंतरिक उत्पाद के संबंध में $d$ का सहायक है।) हर्मिटियन मैनिफोल्ड X के लिए, $d$ और $d^{*}$ को

d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},

के रूप में विघटित किया जाता है, और यहा दो अन्य लाप्लासियन को परिभाषित किया गया है,

\Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .

यदि X काहलर है, तो काहलर की पहचान से पता चलता है कि ये लाप्लासियन स्थिरांक तक सभी समान हैं, ^[7]

\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.

इन पहचानों का अर्थ है कि काहलर मैनिफोल्ड X पर,

{\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),

जहां ${\mathcal {H}}^{r}$ X पर सुसंगत r-रूपों की समष्टि है (Δα = 0 के साथ α बनता है) और ${\mathcal {H}}^{p,q}$ सुसंगत (p,q)-रूप की समष्टि है। अर्थात अवकल रूप $\alpha$ सुसंगत है यदि इसका प्रत्येक (p,q)-घटक सुसंगत है।

इसके अलावा, एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, हॉज सिद्धांत उपरोक्त विभाजन की व्याख्या देता है जो काहलर मापीय की चयन पर निर्भर नहीं करता है। अर्थात्, सम्मिश्र गुणांक वाले X की सह समरूपता H^r(X, C) कुछ सुसंगत शीफ सह समरूपता समूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजित होती है,^[8]

H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).

बाईं ओर का समूह केवल सांस्थितिक समष्टि के रूप में X पर निर्भर करता है, जबकि दाईं ओर का समूह एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के रूप में X पर निर्भर करता है। तो यह 'हॉज अपघटन प्रमेय' सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए सांस्थिति और सम्मिश्र ज्यामिति को जोड़ता है।

मान लीजिए H^p,q(X) सम्मिश्र सदिश समष्टि H^q(X, Ω^p) है, जिसे किसी दिए गए काहलर मापीय के संबंध में सुसंगत रूपों की समष्टि ${\mathcal {H}}^{p,q}(X)$ से पहचाना जा सकता है। X के हॉज नंबरों को h^p,q(X) = dim_CH^p,q(X) द्वारा परिभाषित किया गया है। हॉज अपघटन का तात्पर्य सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के हॉज नंबरों के संदर्भ में बेट्टी नंबर के अपघटन से है,

b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.

सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड के हॉज नंबर कई पहचानों को संतुष्ट करते हैं। हॉज समरूपता h^p,q = h^q,p का प्रभाव है क्योंकि लाप्लासियन $\Delta _{d}$ एक वास्तविक संचालक होता है, और इसलिए $H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}$ होता है। पहचान h^p,q = h^n−p,n−q को यह प्रयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि हॉज स्टार संचालक एक समरूपता $H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}$ देता है। यह सेरे द्वैत का भी अनुसरण करता है।

सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स की सांस्थिति

हॉज सिद्धांत का एक सरल परिणाम यह है कि कि हॉज समरूपता के अनुसार सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड की प्रत्येक विषम बेट्टी संख्या b_2a+1 सम है। यह सामान्य रूप से सुसम्बद्ध सुसम्बद्ध मैनिफोल्ड्स के लिए सच नहीं है, जैसा कि हॉपफ सतह के उदाहरण से पता चलता है, जो S¹ × S³ से भिन्न है और इसलिए इसमें b₁ = 1 है।

काहलर पैकेज, हॉज सिद्धांत पर निर्मित, सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के सह-समरूपता पर आगे के प्रतिबंधों का एक संग्रह है। परिणामों में लेफ्सचेट्ज़ हाइपरतल प्रमेय, हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय और हॉज-रीमैन बिलिनियर संबंध संम्मिलित हैं।^[9] एक संबंधित परिणाम यह है कि प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड तर्कसंगत समस्थेयता सिद्धांत के अर्थ में औपचारिक है।^[10]

यह प्रश्न कि कौन से समूह सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स के मौलिक समूह हो सकते हैं, जिन्हें काहलर समूह कहा जाता है, व्यापक रूप से खुले है। हॉज सिद्धांत संभावित काहलर समूहों पर कई प्रतिबंध देता है।^[11] सबसे सरल प्रतिबंध यह है कि काहलर समूह के अबेलियनाइजेशन की श्रेणी भी होनी चाहिए, क्योंकि सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड की बेटी संख्या बी₁ भी है। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक Z एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड का मूल समूह नहीं हो सकता है।) गैर-एबेलियन हॉज सिद्धांत जैसे सिद्धांत के विस्तार इस पर और प्रतिबंध देते हैं कि कौन से समूह काहलर समूह हो सकते हैं।

काहलर की स्थिति के बिना, स्थिति सरल है, क्लिफोर्ड टौब्स ने दिखाया कि प्रत्येक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह आयाम 3 के कुछ सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड के मूल समूह के रूप में उत्पन्न होता है।^[12] (इसके विपरीत, किसी भी सवृत मैनिफोल्ड का मूल समूह अंतिम रूप से प्रस्तुत किया जाता है।)

सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों और सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स की विशेषताएँ

कोडैरा अंत: स्थापन प्रमेय सभी सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों की विशेषता बताता है। अर्थात्, एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड X प्रक्षेप्य है यदि केवल X पर काहलर रूप ω है जिसका H²(X, R) में वर्ग पूर्ण सह समरूपता समूह H²(X, Z) की प्रतिरूप में है। (चूँकि काहलर रूप का एक धनात्मक गुणज काहलर रूप है, जो यह कहता है कि X के पास काहलर रूप है जिसका वर्ग H²(X, R) H²(X, Q) में है) समान रूप से, X प्रक्षेप्य है यदि केवल X पर एक हर्मिटियन मापीय के साथ एक पूर्णसममितिक रेखीय बंडल L है जिसका वक्रता रूप ω धनात्मक है (चूंकि ω तब एक काहलर रूप है जो H²(X, Z) में एल के पहले चेर्न वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है)। काहलर रूप ω जो इन शर्तों को पूरा करता है (अर्थात, काहलर रूप ω एक अभिन्न अंतर रूप है) जिसको हॉज रूप भी कहा जाता है, और इस समय काहलर मापीय को हॉज मापीय भी कहा जाता है। हॉज मापीय के साथ सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स को हॉज मैनिफोल्ड्स भी कहा जाता है।^[13]^[14]

काहलर मैनिफोल्ड्स के कई गुण $\partial {\bar {\partial }}$ -मैनिफोल्ड्स की थोड़ी अधिक व्यापकता में निहित हैं, जो सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स है जिनके लिए $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा संचालित करता है। विशेष रूप से बॉटल-चेर्न सह समरूपता एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के डोल्बौल्ट सह समरूपता का एक विकल्प है, और वह समरूपी हैं और यदि मैनिफोल्ड $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा को संतुष्ट करता है, तो वह तब विशेष रूप से सहमत होता हैं जब मैनिफोल्ड काहलर होता है। सामान्य तौर पर बॉटल-चेर्न सह समरूपता से लेकर डॉल्बुल्ट सह समरूपता तक के प्राकृतिक मानचित्र के कर्नेल में काहलर के मैनिफोल्ड की विफलता के बारे में जानकारी होती है।^[15]

प्रत्येक सुसम्बद्ध सम्मिश्र वक्र प्रक्षेप्य है, लेकिन कम से कम 2 सम्मिश्र आयाम में, कई सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड हैं जो प्रक्षेपीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, अधिकांश सुसम्बद्ध सम्मिश्र टोरी प्रक्षेप्य नहीं हैं। कोई यह पूछ सकता है कि क्या प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड को कम से कम (सम्मिश्र संरचना को लगातार अलग-अलग करके) एक सुचारू प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। एसतहों के वर्गीकरण पर कुनिहिको कोदैरा के काम का तात्पर्य यह है कि सम्मिश्र आयाम 2 के प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड को वास्तव में एक सुचारू प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। हालाँकि, क्लेयर वोइसिन ने पाया कि यह कम से कम 4 आयामों में विफल रहता है। उन्होंने सम्मिश्र आयाम 4 के एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड का निर्माण किया जो कि किसी भी सुचारू सम्मिश्र प्रक्षेप्य विविधता के बराबर समरूप नहीं है।^[16]

कोई भी सभी सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के बीच सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के लक्षण वर्णन के लिए भी पूछ सकता है। सम्मिश्र आयाम 2 में, कोडैरा और यम-टोंग सिउ ने दिखाया कि एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतह में काहलर मापीय होता है और केवल तभी जब इसकी पहली बेट्टी संख्या सम हो।^[17] इस परिणाम का एक वैकल्पिक प्रमाण जिसमें सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतहों के वर्गीकरण का उपयोग करके कठिन विषयानुसार अध्ययन की आवश्यकता नहीं होती है, वह बुचडाहल और लामारी द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रदान किया गया था।^[18]^[19] इस प्रकार काहलर सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतहों के लिए एक विशुद्ध रूप से सांस्थितिक गुण है। हालाँकि, हिरोनका का उदाहरण दिखाता है कि यह कम से कम 3 आयामों में विफल रहता है। अधिक विस्तार से, उदाहरण सुचारू सुसम्बद्ध सम्मिश्र 3-फोल्ड का 1-पैरामीटर परिवार है जैसे कि अधिकांश फाइबर काहलर (और यहां तक कि प्रक्षेप्य हैं ), लेकिन एक फाइबर काहलर नहीं है। इस प्रकार एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड एक गैर-काहलर सम्मिश्र मैनिफोल्ड से भिन्न हो सकता है।

काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स

काहलर मैनिफोल्ड को काहलर-आइंस्टीन कहा जाता है यदि इसमें निरंतर रिक्की वक्रता होती है। समान रूप से, रिक्की वक्रता प्रदिश मापीय प्रदिश के स्थिर λ गुना के बराबर है, जैसे रिक = λg। आइंस्टीन का संदर्भ सामान्य सापेक्षता से आता है, जो द्रव्यमान की अनुपस्थिति में दावा करता है कि समष्टि काल शून्य रिक्की वक्रता के साथ एक 4-आयामी लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड है। अधिक जानकारी के लिए आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स पर लेख देखें।

यद्यपि रिक्की वक्रता को किसी भी रीमानी मैनिफोल्ड के लिए परिभाषित किया गया है, फिर भी यह काहलर ज्यामिति में एक विशेष भूमिका निभाता है, काहलर मैनिफोल्ड X की रिक्की वक्रता को एक वास्तविक सवृत (1,1)-रूप के रूप में देखा जा सकता है जो H²(X, R) में c₁ (X) (स्पर्शरेखा बंडल का पहला चेर्न वर्ग) का प्रतिनिधित्व करता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड X में विहित बंडल KX या तो एंटी-एम्पल, समजाततः ट्रिवियल या एम्पल होना चाहिए, यह इस पर निर्भर करता है कि आइंस्टीन स्थिरांक λ सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है या नहीं। उन तीन प्रकारों के काहलर मैनिफोल्ड्स को क्रमशः फैनो ,कैलाबी-याउ, या पर्याप्त विहित बंडल (जो सामान्य प्रकार का तात्पर्य है) कहा जाता है। कोडैरा अंत: स्थापन प्रमेय के अनुसार, पर्याप्त विहित बंडल के साथ फैनो मैनिफोल्ड्स और मैनिफोल्ड्स स्वचालित रूप से प्रक्षेपीय किस्में हैं।

शिंग-तुंग याउ ने कैलाबी अनुमान को सिद्ध कर दिया, पर्याप्त विहित बंडल के साथ प्रत्येक सुचारू प्रक्षेप्य किस्म में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (निरंतर नकारात्मक रिक्की वक्रता के साथ) होता है, और प्रत्येक कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (शून्य रिक्की वक्रता के साथ) होता है। ये परिणाम बीजगणितीय किस्मों के वर्गीकरण के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिसमें पर्याप्त विहित बंडल वाली किस्मों के लिए मियाओका-याउ असमानता और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए ब्यूविल-बोगोमोलोव अपघटन जैसे अनुप्रयोग संम्मिलित हैं।^[20]

इसके विपरीत, हर सुचारू फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय (जिसमें निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता होगी) नहीं होता है। हालाँकि, ज़िउक्सियॉन्ग चेन, साइमन डोनाल्डसन और सॉन्ग सन ने याउ-तिया -डोनाल्डसन अनुमान को सिद्ध कर दिया, एक सुचारू फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय होता है और यदि यह K-स्थिर है, तो यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणित-ज्यामितीय स्थिति होती है।

ऐसी स्थितियों में जहां काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद नहीं हो सकता है, वहा निरंतर अदिश वक्रता काहलर मापीय और छोर काहलर मापीय सहित हल्के सामान्यीकरण का अध्ययन करना संभव होता है। जब काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद हो सकता है, तो ये व्यापक सामान्यीकरण स्वचालित रूप से काहलर-आइंस्टीन होता हैं।

पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता

यूक्लिडियन समष्टि पर मानक मापीय से रीमानी मैनिफोल्ड X का विचलन अनुभागीय वक्रता द्वारा मापा जाता है, जो एक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि में किसी भी वास्तविक 2-तल से जुड़ी एक वास्तविक संख्या है। उदाहरण के लिए, 'CPⁿ (के लिए n ≥ 2) पर मानक मापीय की अनुभागीय वक्रता 1/4 और 1 के बीच भिन्न होती है। एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड (उदाहरण के लिए, एक काहलर मैनिफोल्ड) के लिए, पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता का अर्थ स्पर्शी समष्टि में सम्मिश्र रेखाओं तक सीमित अनुभागीय वक्रता है। यह अधिक सरलता से व्यवहार करता है, क्योंकि CPn में 1 के बराबर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता होती है। दूसरे छोर पर, 'Cⁿ' में खुली इकाई बॉल में -1 के बराबर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता के साथ एक पूर्णता काहलर मापीय है। (इस मापीय के साथ, गेंद को 'सम्मिश्र अतिशयोक्तिपूर्ण समष्टि' भी कहा जाता है।)

पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता अंतर्निहित सम्मिश्र मैनिफोल्ड की सम्मिश्र ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। यह अहलफोर्स श्वार्ज़ लेम्मा का एक प्रारंभिक परिणाम है कि यदि $(X,\omega )$ नकारात्मक पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता (ऊपर एक नकारात्मक स्थिरांक से घिरा) के हर्मिटियन मापीय के साथ एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड है, तो यह ब्रॉडी अतिशयोक्तिपूर्ण है (अर्थात, प्रत्येक पूर्णसममितिक मानचित्र $\mathbb {C} \to X$ स्थिर है) यदि X सुसम्बद्ध होता है, तो यह मैनिफ़ोल्ड कोबायाशी अतिशयोक्तिपूर्ण होने के बराबर है।^[21]

दूसरी ओर, यदि $(X,\omega )$ धनात्मक पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता के काहलर मापीय के साथ एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है, यांग शियाओकुई ने दिखाया कि X तर्कसंगत रूप से जुड़ा हुआ है।

सम्मिश्र ज्यामिति की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड पर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता कम हो जाती है।^[22] (यही बात अधिक सामान्य अवधारणा, पूर्णसममितिक द्विभाजित वक्रता के लिए भी लागू होती है।) उदाहरण के लिए, Cⁿ के प्रत्येक सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड ('Cⁿ' से प्रेरित मापीय के साथ) में पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता ≤ 0 है।

हर्मिटियन मैनिफोल्ड्स के बीच पूर्णसममितिक मानचित्रों के लिए, पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता श्वार्ज़ लेम्मा दूसरे क्रम के अनुमान में दिखाई देने वाले लक्ष्य वक्रता शब्द को नियंत्रित करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है। इसने ज़ियाओकुई यांग और फांगयांग झेंग द्वारा प्रस्तुत 'वास्तविक द्विभाजक वक्रता' पर विचार करने को प्रेरित किया।^[23] यह सम्मिश्र वक्रता संचालक के नाम से मैन-चुन ली और जेफरी स्ट्रीट्स के काम में भी दिखाई देता है।^[24]

उदाहरण

मानक हर्मिटियन मापीय के साथ सम्मिश्रसमष्‍टि Cⁿ एक काहलर मैनिफोल्ड है।
एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र टोरस 'C'ⁿ/Λ (Λ एक पूर्ण जालक) 'Cⁿ' पर यूक्लिडियन मापीय से एक फ्लैट मापीय प्राप्त करता है, और इसलिए यह एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है।
उन्मुख 2-मैनिफोल्ड पर प्रत्येक रीमानी मापीय काहलर है। (वास्तव में, इसका समविधिता समूह घूर्णन समूह SO(2) में समाहित है, जो एकात्मक समूह U(1) के बराबर है।) विशेष रूप से, एक उन्मुख रीमानी 2-मैनिफोल्ड एक विहित तरीके से एक रीमैन सतह है, इसे समतापीय निर्देशांक के अस्तित्व के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रीमैन सतह काहलर है क्योंकि किसी भी हर्मिटियन मापीय का काहलर रूप आयामी कारणों से सवृत है।
सम्मिश्र प्रक्षेपीय समष्टि 'CPⁿ' फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय पर काहलर मापीय का एक मानक विकल्प है। एक विवरण में एकात्मक समूह U(n + 1), Cⁿ⁺¹ के रैखिक स्वसमाकृतिकता का समूह सम्मिलित है जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है। फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय 'CPⁿ' (एक धनात्मक गुणज तक) पर अद्वितीय रीमानी मापीय है जो CPⁿ पर U(n + 1) की प्रक्रिया के तहत अपरिवर्तनीय है। 'CPⁿ' का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण ग्रासमैनियन जैसे सुसम्बद्ध प्रकार के हर्मिटियन सममित समष्‍टि द्वारा प्रदान किया जाता है। सुसम्बद्ध प्रकार के हर्मिटियन सममित समष्‍टि पर प्राकृतिक काहलर मापीय में अनुभागीय वक्रता ≥ 0 है।
काहलर मैनिफोल्ड के सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड पर प्रेरित मापीय काहलर है। विशेष रूप से, कोई भी स्टीन मैनिफोल्ड ('Cⁿ में अंतः स्थापित) या सुचारू प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता ('CPⁿ' में अंतः स्थापित) काहलर है। यह उदाहरणों का एक बड़ा वर्ग है।
'Cⁿ' में खुली इकाई बॉल B में एक पूर्ण काहलर मापीय है जिसे बर्गमैन मापीय कहा जाता है, जिसमें पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर होती है। बॉल का प्राकृतिक सामान्यीकरण असंहत प्रकार के हर्मिटियन सममित समष्‍टि द्वारा प्रदान किया जाता है, जैसे सीगल ऊपरी आधा समष्‍टि। असंहत प्रकार का प्रत्येक हर्मिटियन सममित समष्‍टि X कुछ 'Cⁿ' में एक बंधे हुए प्रक्षेत्र के लिए समरूपीय है, और X का बर्गमैन मापीय अनुभागीय वक्रता ≤ 0 के साथ एक पूर्ण काहलर मापीय है।
प्रत्येक K3 सतह काहलर (सिउ द्वारा) है।^[17]

यह भी देखें

↑ Cannas da Silva (2001), Definition 16.1.
↑ Zheng (2000), Proposition 7.14.
↑ Kobayashi & Nomizu (1996), v. 2, p. 149.
↑ Moroianu (2007), Proposition 8.8.
↑ Zheng (2000), section 7.4.
↑ Huybrechts (2005), Section 3.1.
↑ Huybrechts (2005), Proposition 3.1.12.
↑ Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.
↑ Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2,
↑ Huybrechts (2005), Proposition 3.A.28.
↑ Amorós et al. (1996)
↑ Amorós et al. (1996), Corollary 1.66.
↑ Wells (2007) p.217 Definition 1.1
↑ Kodaira (1954)
↑ Angella, D. and Tomassini, A., 2013. On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology. Inventiones mathematicae, 192(1), pp.71-81.
↑ Voisin (2004)
↑ ^17.0 ^17.1 Barth et al. (2004), section IV.3.
↑ Buchdahl (1999)
↑ Lamari (1999)
↑ Zheng (2000), Corollary 9.8.
↑ Zheng (2000), Lemma 9.14.
↑ Kobayashi & Nomizu (1996), v. 2, Proposition IX.9.2.
↑ Yang & Zheng (2018)
↑ Lee & Streets (2021)

संदर्भ

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Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics, vol. 4, Springer, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Buchdahl, Nicholas (1999). "On compact Kähler surfaces". Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 287–302. doi:10.5802/aif.1674. MR 1688136. Zbl 0926.32025.
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Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 0507725.
Kähler, Erich (1933), "Ùber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 9: 173–186, doi:10.1007/BF02940642, JFM 58.0780.02, S2CID 122246578
Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction, Springer, ISBN 978-3-540-21290-4, MR 2093043
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Kodaira, K. (1954). "On Kahler Varieties of Restricted Type an Intrinsic Characterization of Algebraic Varieties)". Annals of Mathematics. 60 (1): 28–48. doi:10.2307/1969701. JSTOR 1969701.
Lamari, Ahcène (1999). "Courants kählériens et surfaces compactes". Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 263–285. doi:10.5802/aif.1673. MR 1688140. Zbl 0926.32026.
Lee, Man-Chun; Streets, Jeffrey (2021). "Complex Manifolds with Negative Curvature Operator". International Mathematics Research Notices. 2021 (24): 18520–18528. arXiv:1903.12645. doi:10.1093/imrn/rnz331. S2CID 88524040.
Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler Geometry, London Mathematical Society Student Texts, vol. 69, Cambridge University Press, arXiv:math/0402223, doi:10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093
Voisin, Claire (2004), "On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds", Inventiones Mathematicae, 157 (2): 329–343, arXiv:math/0312032, Bibcode:2004InMat.157..329V, doi:10.1007/s00222-003-0352-1, MR 2076925, S2CID 11984149
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Wells, Raymond O. (2007). Differential Analysis on Complex Manifolds. ISBN 9780387738925.
Zheng, Fangyang (2000), Complex Differential Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2163-3, MR 1777835

बाहरी संबंध

"Kähler manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Moroianu, Andrei (2004), Lectures on Kähler Geometry (PDF)

[1] Cannas da Silva (2001), Definition 16.1.

[2] Zheng (2000), Proposition 7.14.

[3] Kobayashi & Nomizu (1996), v. 2, p. 149.

[4] Moroianu (2007), Proposition 8.8.

[5] Zheng (2000), section 7.4.

[6] Huybrechts (2005), Section 3.1.

[7] Huybrechts (2005), Proposition 3.1.12.

[8] Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.

[9] Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2,

[10] Huybrechts (2005), Proposition 3.A.28.

[11] Amorós et al. (1996)

[12] Amorós et al. (1996), Corollary 1.66.

[13] Wells (2007) p.217 Definition 1.1

[14] Kodaira (1954)

[15] Angella, D. and Tomassini, A., 2013. On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology. Inventiones mathematicae, 192(1), pp.71-81.

[16] Voisin (2004)

[BIV3-17] 17.0 ^17.1 Barth et al. (2004), section IV.3.

[18] Buchdahl (1999)

[19] Lamari (1999)

[20] Zheng (2000), Corollary 9.8.

[21] Zheng (2000), Lemma 9.14.

[22] Kobayashi & Nomizu (1996), v. 2, Proposition IX.9.2.

[23] Yang & Zheng (2018)

[24] Lee & Streets (2021)

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 {{Short description|Manifold with Riemannian, complex and symplectic structure}}
-[[गणित]] और विशेष रूप से [[विभेदक ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में, काहलर[[ कई गुना | मैनिफोल्ड]] तीन परस्पर संगत संरचनाओं वाला एक मैनिफोल्ड है, जिसमे एक [[जटिल संरचना,]] एक [[रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमैनियन संरचना]], और एक [[सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड|समकोणिक संरचना]] सम्मिलत है। इस अवधारणा का अध्ययन सबसे पहले 1930 में [[जान अर्नोल्डस शौटेन]] और [[डेविड वान डेंजिग]] द्वारा किया गया था, और फिर 1933 में इसे [[एरिच काहलर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था। शब्दावली आंद्रे वेइल द्वारा तय की गई है। काहलर ज्यामिति काहलर मैनिफोल्ड्स, उनकी ज्यामिति और टोपोलॉजी के अध्ययन के साथ-साथ संरचनाओं और निर्माणों के अध्ययन को संदर्भित करती है जो कि काहलर मैनिफोल्ड्स पर किए जा सकते हैं, इसमें विशेष संबंधो की मौजूदगी जैसे [[हर्मिटियन यांग-मिल्स संबंध]] या [[विशेष मापीय  जैसे केलर-आइंस्टीन मापीय]] का अध्ययन संम्मिलित होता है।
+[[गणित]] और विशेष रूप से [[विभेदक ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में, काहलर[[ कई गुना | मैनिफोल्ड]] तीन परस्पर संगत संरचनाओं वाला एक मैनिफोल्ड है, जिसमे एक [[जटिल संरचना,|सम्मिश्र संरचना,]] एक [[रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमानी संरचना]], और एक [[सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड|समकोणिक संरचना]] सम्मिलित है। इस अवधारणा का अध्ययन सबसे पहले 1930 में [[जान अर्नोल्डस शौटेन]] और [[डेविड वान डेंजिग]] द्वारा किया गया था, और फिर 1933 में इसे [[एरिच काहलर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था। शब्दावली आंद्रे वेइल द्वारा तय की गई है। काहलर ज्यामिति काहलर मैनिफोल्ड्स, उनकी ज्यामिति और सांस्थिति के अध्ययन के साथ-साथ संरचनाओं और निर्माणों के अध्ययन को संदर्भित करती है जो कि काहलर मैनिफोल्ड्स पर किए जा सकते हैं, इसमें विशेष संबंधो की उपस्थिति जैसे [[हर्मिटियन यांग-मिल्स संबंध]] या [[विशेष मापीय  जैसे केलर-आइंस्टीन मापीय]] का अध्ययन संम्मिलित होता है।
-प्रत्येक [[सुचारू योजना]] [[जटिल संख्या|जटिल]] [[प्रक्षेप्य किस्म|प्रक्षेप्य प्रकार]] काहलर मैनिफोल्ड है। [[हॉज सिद्धांत]] [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का एक केंद्रीय हिस्सा है, जिसे काहलर मापीय का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।
+प्रत्येक [[सुचारू योजना|सुचारू]] [[जटिल संख्या|सम्मिश्र]] [[प्रक्षेप्य किस्म|प्रक्षेप्य प्रकार]] काहलर मैनिफोल्ड है। [[हॉज सिद्धांत]] [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का एक केंद्रीय भाग है, जिसे काहलर मापीय का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।
 ==परिभाषाएँ==
-चूंकि काहलर मैनिफोल्ड्स कई संगत संरचनाओं से सुसज्जित हैं, इसलिए उन्हें विभिन्न दृष्टिकोणों से वर्णित किया जा सकता है,
+चूंकि काहलर मैनिफोल्ड्स कई संगत संरचनाओं से प्रयुक्त हैं, इसलिए उन्हें विभिन्न दृष्टिकोणों से वर्णित किया जा सकता है,
-===संसुघटित दृष्टिकोण===
+===सिम्प्लेक्टिक दृष्टिकोण===
-काहलर मैनिफोल्ड एक [[संसुघटित मैनिफोल्ड]] {{nowrap|(''X'', ''ω'')}} है जो एक [[अभिन्न लगभग-जटिल संरचना]] J से सुसज्जित है जो[[ सरलीकृत रूप | संसुघटित रूप]] ω के साथ संगत है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर X  के [[स्पर्शी समष्टि]] पर [[द्विएकघाती समघात]]
+काहलर मैनिफोल्ड एक [[संसुघटित मैनिफोल्ड|सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड]] {{nowrap|(''X'', ''ω'')}} है जो एक [[अभिन्न लगभग-जटिल संरचना|अभिन्न लगभग-सम्मिश्र संरचना]] J से प्रयुक्त है जो[[ सरलीकृत रूप | सिम्प्लेक्टिक रूप]] ω के साथ संगत है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर X  के [[स्पर्शी समष्टि]] पर [[द्विएकघाती समघात]]
 :<math>g(u,v)=\omega(u,Jv)</math>
-सममित और [[सकारात्मक निश्चित]] (और इसलिए X पर एक रीमैनियन मापीय) है।<ref>{{harvtxt|Cannas da Silva |2001}}, Definition 16.1.</ref>
+सममित और [[सकारात्मक निश्चित|धनात्मक निश्चित]] (और इसलिए X पर एक रीमानी मापीय) है।<ref>{{harvtxt|Cannas da Silva |2001}}, Definition 16.1.</ref>
-===जटिल दृष्टिकोण===
+===सम्मिश्र दृष्टिकोण===
-काहलर मैनिफोल्ड [[हर्मिटियन मापीय]] h के साथ एक [[जटिल मैनिफोल्ड]] X है जिसका [[संबद्ध 2-रूप]] ω [[बंद]] है। अधिक विस्तार से, h X के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शी समष्टि TX पर एक सकारात्मक निश्चित हर्मिटियन रूप देता है, और 2-रूप ω को स्पर्श सदिश u और v के लिए
+काहलर मैनिफोल्ड [[हर्मिटियन मापीय]] h के साथ एक [[जटिल मैनिफोल्ड|सम्मिश्र मैनिफोल्ड]] X है जिसका [[संबद्ध 2-रूप]] ω [[बंद|सवृत]] है। अधिक विस्तार से, h X के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शी समष्टि TX पर एक धनात्मक निश्चित हर्मिटियन रूप देता है, और 2-रूप ω को स्पर्श सदिश u और v के लिए
 :<math>\omega(u,v)=\operatorname{Re} h(iu,v) = \operatorname{Im} h(u, v)</math>
-द्वारा परिभाषित किया गया है (जहाँ i सम्मिश्र संख्या है <math>\sqrt{-1}</math> है)। काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, 'काहलर रूप' ω एक वास्तविक बंद [[(1,1)-रूप]] है। काहलर मैनिफ़ोल्ड को रीमैनियन मैनिफ़ोल्ड के रूप में भी देखा जा सकता है, तथा रीमैनियन मापीय g को
+द्वारा परिभाषित किया गया है (जहाँ i सम्मिश्र संख्या <math>\sqrt{-1}</math> है)। काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, 'काहलर रूप' ω एक वास्तविक सवृत [[(1,1)-रूप]] है। काहलर मैनिफ़ोल्ड को रीमानी मैनिफ़ोल्ड के रूप में भी देखा जा सकता है, तथा रीमानी मापीय g को
 :<math>g(u,v)=\operatorname{Re} h(u,v).</math>
-द्वारा परिभाषित किया गया है। समान रूप से, काहलर मैनिफोल्ड X जटिल आयाम n  का एक [[हर्मिटियन मैनिफोल्ड]] है जैसे कि X के प्रत्येक बिंदु p के लिए, p के चारों ओर एक [[पूर्णसममितिक निर्देशांक चार्ट]] है जिसमें मापीय C<sup>n</sup> पर मानक मापीय के साथ p के पास 2 अनुक्रम करने के लिए सहमत है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Proposition 7.14.</ref> अर्थात्, यदि चार्ट 'C<sup>n</sup>' में p से 0 लेता है, और इन निर्देशांकों में मापीय को {{nowrap|1=''h''<sub>''ab''</sub> = ({{sfrac|∂|∂''z''<sub>''a''</sub>}}, {{sfrac|∂|∂''z''<sub>''b''</sub>}})}} के रूप में लिखा जाता है, तब {{nowrap|{1, ..., ''n''}.}} में सभी a, b के लिए
+द्वारा परिभाषित किया गया है। समान रूप से, काहलर मैनिफोल्ड X सम्मिश्र आयाम n का एक [[हर्मिटियन मैनिफोल्ड]] है जैसे कि X के प्रत्येक बिंदु p के लिए, p के चारों ओर एक [[पूर्णसममितिक निर्देशांक चार्ट]] है जिसमें मापीय C<sup>n</sup> पर मानक मापीय के साथ p के पास 2 अनुक्रम करने के लिए सहमत है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Proposition 7.14.</ref> अर्थात्, यदि चार्ट 'C<sup>n</sup>' में p से 0 लेता है, और इन निर्देशांकों में मापीय को {{nowrap|1=''h''<sub>''ab''</sub> = ({{sfrac|∂|∂''z''<sub>''a''</sub>}}, {{sfrac|∂|∂''z''<sub>''b''</sub>}})}} के रूप में लिखा जाता है, तब {{nowrap|{1, ..., ''n''}.}} में सभी a, b के लिए
 :<math>h_{ab}=\delta_{ab}+O(\|z\|^2)</math> होता है ।
-चूंकि 2-रूप ω बंद है, इसलिए यह [[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी राम सह समरूपता]] {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} में एक तत्व निर्धारित करता है, जिसे '''काहलर वर्ग''' के रूप में जाना जाता है।
+चूंकि 2-रूप ω सवृत है, इसलिए यह [[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी राम सह समरूपता]] {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} में एक तत्व निर्धारित करता है, जिसे '''काहलर वर्ग''' के रूप में जाना जाता है।
-===रीमैनियन दृष्टिकोण===
+===रीमानी दृष्टिकोण===
-काहलर मैनिफोल्ड सम आयाम 2n का एक रीमैनियन मैनिफोल्ड X है जिसका [[होलोनॉमी समूह]] [[एकात्मक समूह]] U(n) में समाहित है।<ref>{{harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996}}, v. 2, p. 149.</ref> समान रूप से, प्रत्येक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि पर एक जटिल संरचना J होती है (अर्थात, TX से स्वयं तक एक वास्तविक रैखिक मानचित्र) {{nowrap|1=''J''{{i sup|2}} = −1}}) जैसे कि J मापीय g को सुरक्षित रखता है (जिसका अर्थ है कि {{nowrap|1=''g''(''Ju'', ''Jv'') = ''g''(''u'', ''v'')}}) और J को [[समानांतर परिवहन]] द्वारा संरक्षित किया जाता है।
+काहलर मैनिफोल्ड सम आयाम 2n का एक रीमानी मैनिफोल्ड X है जिसका [[होलोनॉमी समूह|समविधिता  समूह]] [[एकात्मक समूह]] U(n) में समाहित है।<ref>{{harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996}}, v. 2, p. 149.</ref> समान रूप से, प्रत्येक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि पर एक सम्मिश्र संरचना J होती है (अर्थात,{{nowrap|1=''J''{{i sup|2}} = −1}} के साथ TX से स्वयं तक एक वास्तविक [[रेखीय मानचित्र)]] जैसे कि J मापीय g को सुरक्षित रखता है (जिसका अर्थ है कि {{nowrap|1=''g''(''Ju'', ''Jv'') = ''g''(''u'', ''v'')}}) और J को [[समानांतर परिवहन]] द्वारा संरक्षित किया जाता है।
 ==काहलर क्षमता==
-एक जटिल मैनिफोल्ड पर एक सुचारू फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन ρ को प्लुरिसुबरमोनिक फ़ंक्शन # ओका प्रमेय कहा जाता है यदि वास्तविक बंद (1,1)-रूप है
+एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर एक [[सुचारू]] वास्तविक-मूल्यवान फलन ρ को [[सख्ती से प्लुरिसुबरमोनिक|पूर्णतः प्लुरिसुबरमोनिक]] कहा जाता है यदि वास्तविक सवृत (1,1)-रूप
 :<math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho </math>
-सकारात्मक है, यानी काहलर रूप। यहाँ <math> \partial, \bar\partial </math> कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म#डॉल्बुल्ट ऑपरेटर्स हैं। फ़ंक्शन ρ को ω के लिए 'काहलर पोटेंशियल' कहा जाता है।
+सधनात्मक है, जो कि काहलर रूप है। यहाँ <math> \partial, \bar\partial </math> [[डॉल्बॉल्ट प्रचालक]] हैं। फलन ρ को ω के लिए 'काहलर क्षमता' कहा जाता है।
-इसके विपरीत, बंद और सटीक अंतर रूपों के जटिल संस्करण द्वारा#पोंकारे लेम्मा|पोंकारे लेम्मा, जिसे स्थानीय डीडीबार लेम्मा|स्थानीय के रूप में जाना जाता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, प्रत्येक काहलर मापीय को स्थानीय रूप से इस तरह वर्णित किया जा सकता है। अर्थात यदि {{nowrap|(''X'', ''ω'')}} एक काहलर मैनिफोल्ड है, तो एक्स में प्रत्येक बिंदु पी के लिए पी का पड़ोस यू और यू पर एक चिकनी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन ρ है जैसे कि <math>\omega\vert_U=(i/2)\partial\bar\partial\rho</math>.<ref>{{harvtxt|Moroianu|2007}}, Proposition 8.8.</ref> यहां ρ को ω के लिए 'स्थानीय काहलर क्षमता' कहा जाता है। किसी एकल फ़ंक्शन के संदर्भ में सामान्य रीमैनियन मापीय का वर्णन करने का कोई तुलनीय तरीका नहीं है।
+इसके विपरीत, [[पोंकारे लेम्मा]] के सम्मिश्र संस्करण द्वारा, जिसे [[स्थानीय]] <math>\partial \bar \partial</math>-[[लेम्मा]] के रूप में जाना जाता है, प्रत्येक काहलर मापीय को स्थानीय रूप से इस तरह वर्णित किया जा सकता है। अर्थात यदि {{nowrap|(''X'', ''ω'')}} एक काहलर मैनिफोल्ड है, तो X में प्रत्येक बिंदु p के लिए p का प्रतिवैस U और U पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन ρ है जैसे कि <math>\omega\vert_U=(i/2)\partial\bar\partial\rho</math>।<ref>{{harvtxt|Moroianu|2007}}, Proposition 8.8.</ref> यहां ρ को ω के लिए 'स्थानीय काहलर क्षमता' कहा जाता है। किसी एकल फलन के संदर्भ में सामान्य रीमानी मापीय का वर्णन करने का कोई तुलनीय तरीका नहीं है।
-===काहलर विभवों का स्थान===
+===काहलर संभावनाओं का समष्टि ===
-हालाँकि विश्व स्तर पर एकल काहलर क्षमता का उपयोग करके काहलर रूप का वर्णन करना हमेशा संभव नहीं होता है, इस तरह से दो काहलर रूपों के अंतर का वर्णन करना संभव है, बशर्ते वे एक ही डी राम कोहोमोलॉजी वर्ग में हों। यह ddbar लेम्मा| का परिणाम है<math>\partial \bar \partial</math>-हॉज सिद्धांत से लेम्मा।
+हालाँकि एकल काहलर क्षमता का उपयोग करके विश्व स्तर पर काहलर रूप का वर्णन करना हमेशा संभव नहीं होता है, इस तरह से दो काहलर रूपों के अंतर का वर्णन करना संभव है, बशर्ते वे एक ही [[डी राम सह समरूपता]] वर्ग में हों। यह [[हॉज सिद्धांत]] के <math>\partial \bar \partial</math>-[[लेम्मा]] का परिणाम है।
-अर्थात्, यदि <math>(X,\omega)</math> एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, फिर कोहोमोलॉजी क्लास <math>[\omega]\in H_{\text{dR}}^2(X)</math> काहलर वर्ग कहलाता है। इस वर्ग का कोई अन्य प्रतिनिधि, <math>\omega'</math> कहते हैं, से भिन्न है <math>\omega</math> द्वारा <math>\omega' = \omega + d\beta</math> किसी एक रूप के लिए <math>\beta</math>. <math>\partial \bar \partial</math>वें>-लेम्मा आगे बताता है कि यह सटीक रूप है <math>d\beta</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>d\beta = i \partial \bar \partial \varphi</math> सुचारू कार्य के लिए <math>\varphi: X\to \mathbb{C}</math>. उपरोक्त स्थानीय चर्चा में, कोई स्थानीय काहलर वर्ग लेता है <math>[\omega]=0</math> एक खुले उपसमुच्चय पर <math>U\subset X</math>, और पोंकारे लेम्मा के अनुसार कोई भी काहलर रूप स्थानीय रूप से शून्य के अनुरूप होगा। इस प्रकार स्थानीय काहलर क्षमता <math>\rho</math> एक ही है <math>\varphi</math> के लिए <math>[\omega]=0</math> स्थानीय स्तर पर.
+अर्थात्, यदि <math>(X,\omega)</math> एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है, तो सह समरूपता वर्ग <math>[\omega]\in H_{\text{dR}}^2(X)</math>को काहलर वर्ग कहा जाता है। इस वर्ग का कोई अन्य प्रतिनिधि, <math>\omega'</math> का कहना है, कि कुछ एक-रूप <math>\beta</math> के लिए  <math>\omega</math> से  <math>\omega' = \omega + d\beta</math> से भिन्न है। <math>\partial \bar \partial</math> -लेम्मा आगे बताता है कि यह सुचारू फलन <math>\varphi: X\to \mathbb{C}</math> के लिए इस सटीक रूप  सटीक रूप <math>d\beta</math> को  <math>d\beta = i \partial \bar \partial \varphi</math> के रूप में लिखा जा सकता है। उपरोक्त स्थानीय चर्चा में, कोई स्थानीय काहलर वर्ग <math>[\omega]=0</math> को एक खुले उपसमुच्चय  <math>U\subset X</math> पर लेता है, और पोंकारे लेम्मा द्वारा कोई भी काहलर रूप स्थानीय रूप से शून्य के अनुरूप होगा। इस प्रकार स्थानीय काहलर क्षमता <math>\rho</math> स्थानीय स्तर पर <math>[\omega]=0</math> के लिए समान <math>\varphi</math> है।
-सामान्यतः यदि <math>[\omega]</math> एक काहलर वर्ग है, तो किसी भी अन्य काहलर मापीय को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>\omega_\varphi = \omega + i \partial \bar \partial \varphi</math> ऐसे सुचारु कार्य के लिए. यह प्रपत्र स्वचालित रूप से एक सकारात्मक रूप नहीं है, इसलिए काहलर का स्थान वर्ग के लिए संभावित है <math>[\omega]</math> उन सकारात्मक मामलों के रूप में परिभाषित किया गया है, और आमतौर पर इसे दर्शाया जाता है <math>\mathcal{K}</math>:
+सामान्यतः यदि <math>[\omega]</math> एक काहलर वर्ग है,  तो ऐसे सुचारू कार्य के लिए किसी भी अन्य काहलर मापीय को <math>\omega_\varphi = \omega + i \partial \bar \partial \varphi</math> के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रपत्र स्वचालित रूप से एक धनात्मक रूप नहीं है, इसलिए वर्ग <math>[\omega]</math> के लिए काहलर क्षमता की समष्टि उन धनात्मक स्थितियों के रूप में परिभाषित की गई है, जिन्हें आमतौर पर <math>\mathcal{K}</math> द्वारा दर्शाया जाता है,
 :<math>\mathcal{K}_{[\omega]} := \{ \varphi: X \to \mathbb{R} \text{ smooth} \mid \omega + i \partial \bar \partial \varphi>0 \}.</math>
-यदि दो काहलर क्षमताएं एक स्थिरांक से भिन्न होती हैं, तो वे एक ही काहलर मापीय को परिभाषित करते हैं, इसलिए कक्षा में काहलर मापीय का स्थान <math>[\omega]</math> भागफल से पहचाना जा सकता है <math>\mathcal{K}/\mathbb{R}</math>. काहलर क्षमता का स्थान एक [[संकुचन योग्य स्थान]] है। इस तरह काहलर क्षमता का स्थान किसी दिए गए वर्ग में सभी काहलर मापीय का एक साथ अध्ययन करने की अनुमति देता है, और अस्तित्व के अध्ययन में यह परिप्रेक्ष्य काहलर मापीय के लिए परिणाम देता है।
+यदि दो काहलर क्षमताएं एक स्थिरांक से भिन्न होती हैं, तो वे एक ही काहलर मापीय को परिभाषित करते हैं, इसलिए वर्ग <math>[\omega]</math> में काहलर मापीय की समष्टि को भागफल <math>\mathcal{K}/\mathbb{R}</math> से पहचाना जा सकता है। काहलर क्षमता की समष्टि एक [[संकुचन योग्य स्थान|संकुचन योग्य समष्टि]] है। इस तरह काहलर क्षमता की समष्टि किसी दिए गए वर्ग में सभी काहलर मापीय का एक साथ अध्ययन करने की अनुमति देती है, और अस्तित्व के अध्ययन में यह परिप्रेक्ष्य काहलर मापीय के लिए परिणाम देता है।
-==काहलर मैनिफ़ोल्ड्स और वॉल्यूम मिनिमाइज़र==
+==काहलर मैनिफ़ोल्ड्स और आयतन न्यूनतमीकृत==
-एक [[ सघन स्थान ]] केहलर मैनिफोल्ड एक्स के लिए, एक्स के एक [[बंद सेट]] जटिल जटिल विश्लेषणात्मक स्पेस की मात्रा उसके विलक्षण होमोलॉजी वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है। एक अर्थ में, इसका मतलब यह है कि एक जटिल उप-स्थान की ज्यामिति उसकी टोपोलॉजी के संदर्भ में सीमित है। (यह वास्तविक उपमानों के लिए पूरी तरह से विफल रहता है।) स्पष्ट रूप से, 'विर्टिंगर का सूत्र' कहता है कि
+एक [[ सघन स्थान |सुसम्बद्ध]] काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, X के एक [[बंद सेट|सवृत]] सम्मिश्र [[उपसमष्टि]] की मात्रा उसके [[सजातीय]] वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है। एक अर्थ में, इसका मतलब यह है कि एक सम्मिश्र उपसमष्टि की ज्यामिति उसकी सांस्थिति के संदर्भ में सीमित है। (यह वास्तविक उपमेनिफोल्ड्स के लिए पूरी तरह से विफल रहता है।) स्पष्ट रूप से, 'विर्टिंगर का सूत्र' कहता है कि
 :<math>\mathrm{vol}(Y)=\frac{1}{r!}\int_Y \omega^r,</math>
-जहां Y एक r-आयामी बंद जटिल उप-स्थान है और ω काहलर रूप है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, section 7.4.</ref> चूँकि ω बंद है, यह समाकलन केवल Y के वर्ग पर निर्भर करता है {{nowrap|''H''<sub>2''r''</sub>(''X'', '''R''')}}. ये खंड हमेशा सकारात्मक होते हैं, जो काहलर वर्ग ω की एक मजबूत सकारात्मकता को व्यक्त करता है {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} जटिल उप-स्थानों के संबंध में। विशेष रूप से, ω<sup>n</sup>शून्य नहीं है {{nowrap|''H''{{i sup|2''n''}}(''X'', '''R''')}}, जटिल आयाम n के एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड X के लिए।
+जहां Y एक r-आयामी सवृत सम्मिश्र उपसमष्टि है और ω काहलर रूप है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, section 7.4.</ref> चूँकि ω सवृत है, यह समाकलन केवल {{nowrap|''H''<sub>2''r''</sub>(''X'', '''R''')}} में Y के वर्ग पर निर्भर करता है। ये आयतन हमेशा धनात्मक होते हैं, जो सम्मिश्र उपसमष्टि के संबंध में {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} में काहलर वर्ग ω की एक मजबूत सकारात्मकता व्यक्त करते हैं। विशेष रूप से, सम्मिश्र आयाम n के सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, {{nowrap|''H''{{i sup|2''n''}}(''X'', '''R''')}}में  ω<sup>n</sup> शून्य नहीं है।
-एक संबंधित तथ्य यह है कि कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड एक्स का प्रत्येक बंद जटिल उप-स्थान Y एक [[न्यूनतम सबमैनिफोल्ड]] (इसके एकवचन सेट के बाहर) है। और भी अधिक: [[कैलिब्रेटेड ज्यामिति]] के सिद्धांत के अनुसार, Y एक ही समरूपता वर्ग में सभी (वास्तविक) चक्रों के बीच मात्रा को न्यूनतम करता है।
+एक संबंधित तथ्य यह है कि सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X का प्रत्येक सवृत सम्मिश्र उपसमष्टि Y एक [[न्यूनतम सबमैनिफोल्ड|न्यूनतम उपमैनिफोल्ड]] (इसके एकवचन समुच्चय के बाहर) है। और भी अधिक, [[कैलिब्रेटेड ज्यामिति|अंशांकित ज्यामिति]] के सिद्धांत के अनुसार, Y एक ही समरूपता वर्ग में सभी (वास्तविक) चक्रों के बीच मात्रा को न्यूनतम करता है।
 == काहलर की पहचान ==
-{{Main articles|Kähler identities}}
+{{Main articles|काहलर की पहचान}}
-काहलर मैनिफोल्ड पर चिकनी, जटिल और रीमानियन संरचनाओं के बीच मजबूत बातचीत के परिणामस्वरूप, काहलर मैनिफोल्ड के जटिल अंतर रूप पर विभिन्न ऑपरेटरों के बीच प्राकृतिक पहचान होती है जो मनमाने ढंग से जटिल मैनिफोल्ड के लिए नहीं होती है। ये पहचान बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित हैं <math>d</math>, [[डॉल्बॉल्ट संचालक]] <math>\partial, \bar \partial</math> और उनके सहयोगी, लाप्लासियन <math>\Delta_d, \Delta_{\partial}, \Delta_{\bar \partial}</math>, और लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर <math>L := \omega \wedge -</math> और इसका सहायक, संकुचन संचालक <math>\Lambda = L^*</math>.<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Section 3.1.</ref> पहचान काहलर मैनिफोल्ड्स पर विश्लेषणात्मक टूलकिट का आधार बनती है, और हॉज सिद्धांत के साथ मिलकर काहलर मैनिफोल्ड्स और उनके कोहोलॉजी के कई महत्वपूर्ण गुणों को साबित करने में मौलिक हैं। विशेष रूप से [[कोडैरा लुप्त प्रमेय]] और [[नाकानो लुप्त प्रमेय]], [[लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय]], हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय, [[हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध]] और [[हॉज सूचकांक प्रमेय]] को साबित करने में काहलर की पहचान महत्वपूर्ण है।
-==काहलर मैनिफोल्ड पर [[लाप्लासियन]]==
+काहलर मैनिफोल्ड पर सुचारू, सम्मिश्र और रीमानियन संरचनाओं के बीच प्रबल अन्योन्यक्रिया के परिणामस्वरूप, काहलर मैनिफोल्ड के [[जटिल अवकल रूपों|सम्मिश्र अवकल रूपों]] पर विभिन्न संचालको के बीच प्राकृतिक पहचान होती है जो यादृच्छिक रूप से सम्मिश्र मैनिफोल्ड के लिए नहीं होती है। ये पहचान बाहरी व्युत्पन्न <math>d</math> , [[डॉल्बॉल्ट संचालक]] <math>\partial, \bar \partial</math> और उनके सहयोगी, लाप्लासियन <math>\Delta_d, \Delta_{\partial}, \Delta_{\bar \partial}</math>, और लेफ्शेट्ज़ संचालक <math>L := \omega \wedge -</math> और उनके सहायक, संकुचन संचालक <math>\Lambda = L^*</math> से संबंधित हैं।<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Section 3.1.</ref> पहचान काहलर मैनिफोल्ड्स पर विश्लेषणात्मक टूलकिट का आधार बनती है, और हॉज सिद्धांत के साथ मिलकर काहलर मैनिफोल्ड्स और उनके सह समरूपता के कई महत्वपूर्ण गुणों को सिद्ध करने में प्रमुख हैं। विशेष रूप से काहलर की पहचान [[नाकानो लुप्त प्रमेय]], [[लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय|लेफ्शेट्ज़ अधिसमतल प्रमेय]], [[हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय,]] [[हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध]] और [[हॉज सूचकांक प्रमेय]] को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण है।
-आयाम एन के रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, चिकने आर-रूप पर लाप्लासियन को परिभाषित किया गया है
-<math>\Delta_d=dd^*+d^*d</math>
+==काहलर मैनिफोल्ड पर लाप्लासियन==
-कहाँ <math>d</math> बाहरी व्युत्पन्न है और <math>d^*=-(-1)^{Nr}\star d\star</math>, कहाँ <math>\star</math> [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] है. (समान रूप से, <math>d^*</math> का सहायक संचालक है <math>d</math> L2 स्पेस|L के संबंध में<sup>कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ आर-रूप पर 2</sup>आंतरिक उत्पाद।) हर्मिटियन मैनिफोल्ड एक्स के लिए, <math>d</math> और <math>d^*</math> के रूप में विघटित होते हैं
+आयाम N के रीमानी मैनिफोल्ड पर, सुचारू r-रूप पर लाप्लासियन को <math>\Delta_d=dd^*+d^*d</math> द्वारा परिभाषित किया गया है जहां <math>d</math> बाहरी व्युत्पन्न है और <math>d^*=-(-1)^{Nr}\star d\star</math>, जहां <math>\star</math> [[हॉज स्टार ऑपरेटर|हॉज स्टार संचालक]] है। (समान रूप से, <math>d^*</math> सुसम्बद्ध समर्थन के साथ r-फॉर्म पर [[L2 आंतरिक उत्पाद|L<sup>2</sup> आंतरिक उत्पाद]] के संबंध में <math>d</math> का सहायक है।) हर्मिटियन मैनिफोल्ड X के लिए, <math>d</math> और <math>d^*</math> को
 :<math>d=\partial+\bar{\partial},\ \ \ \ d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*,</math>
-और दो अन्य लाप्लासियन परिभाषित हैं:
+के रूप में विघटित किया जाता है, और यहा दो अन्य लाप्लासियन को परिभाषित किया गया है,
 :<math>\Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\ \ \ \ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial.</math>
-यदि<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Proposition 3.1.12.</ref>
+यदि X काहलर है, तो [[काहलर की पहचान]] से पता चलता है कि ये लाप्लासियन स्थिरांक तक सभी समान हैं, <ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Proposition 3.1.12.</ref>
 :<math>\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}}=2\Delta_\partial .</math>
-इन पहचानों का अर्थ है कि काहलर मैनिफोल्ड एक्स पर,
+इन पहचानों का अर्थ है कि काहलर मैनिफोल्ड X पर,
 :<math>\mathcal H^r(X)=\bigoplus_{p+q=r}\mathcal H^{p,q}(X),</math>
-कहाँ <math>\mathcal H^r</math> ''X'' पर हार्मोनिक ''r''-रूपों का स्थान है (साथ में ''α'' बनता है {{nowrap|1=Δ''α'' = 0}}) और <math>\mathcal H^{p,q}</math> हार्मोनिक जटिल विभेदक रूप का स्थान है|(p,q)-रूप। अर्थात विभेदक रूप <math>\alpha</math> हार्मोनिक है यदि और केवल यदि इसका प्रत्येक (p,q)-घटक हार्मोनिक है।
+जहां <math>\mathcal H^r</math> ''X'' पर सुसंगत ''r''-रूपों की समष्टि है ({{nowrap|1=Δ''α'' = 0}} के साथ ''α'' बनता है) और <math>\mathcal H^{p,q}</math> सुसंगत [[(p,q)-रूप]] की समष्टि है। अर्थात अवकल रूप <math>\alpha</math> सुसंगत है यदि इसका प्रत्येक (p,q)-घटक सुसंगत है।
-इसके अलावा, एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड एक्स के लिए, हॉज सिद्धांत उपरोक्त विभाजन की व्याख्या देता है जो काहलर मापीय की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। अर्थात्, [[ सह-समरूपता ]] {{nowrap|''H''{{i sup|''r''}}(''X'', '''C''')}जटिल गुणांक वाले X का } कुछ सुसंगत शीफ कोहोलॉजी समूहों के [[प्रत्यक्ष योग]] के रूप में विभाजित होता है:<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Corollary 3.2.12.</ref>
+इसके अलावा, एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के लिए, [[हॉज सिद्धांत]] उपरोक्त विभाजन की व्याख्या देता है जो काहलर मापीय की चयन पर निर्भर नहीं करता है। अर्थात्, सम्मिश्र गुणांक वाले X की [[सह समरूपता]] ''H''{{i sup|''r''}}(''X'', '''C''') कुछ [[सुसंगत शीफ सह समरूपता]] समूहों के [[प्रत्यक्ष योग]] के रूप में विभाजित होती है,<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Corollary 3.2.12.</ref>
 :<math>H^r(X,\mathbf{C})\cong\bigoplus_{p+q=r}H^q(X,\Omega^p).</math>
-बाईं ओर का समूह केवल टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में एक्स पर निर्भर करता है, जबकि दाईं ओर का समूह एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में एक्स पर निर्भर करता है। तो यह 'हॉज अपघटन प्रमेय' कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए टोपोलॉजी और जटिल ज्यामिति को जोड़ता है।
+बाईं ओर का समूह केवल सांस्थितिक समष्टि के रूप में X पर निर्भर करता है, जबकि दाईं ओर का समूह एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के रूप में X पर निर्भर करता है। तो यह '''<nowiki/>'हॉज अपघटन प्रमेय'''<nowiki/>' सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए सांस्थिति और सम्मिश्र ज्यामिति को जोड़ता है।
-चलो एच{{i sup|''p'',''q''}}(X) सम्मिश्र सदिश समष्टि हो {{nowrap|''H''{{i sup|''q''}}(''X'', Ω<sup>''p''</sup>)}}, जिसे अंतरिक्ष से पहचाना जा सकता है <math>\mathcal H^{p,q}(X)</math> किसी दिए गए काहलर मापीय के संबंध में हार्मोनिक रूपों का। ''X'' के हॉज नंबरों को परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup>(''X'') = dim<sub>'''C'''</sub>''H''{{i sup|''p'',''q''}}(''X'')}}. हॉज अपघटन का तात्पर्य कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड एक्स के हॉज नंबरों के संदर्भ में [[बेटी नंबर]] के अपघटन से है:
+मान लीजिए H{{i sup|''p'',''q''}}(X) सम्मिश्र सदिश समष्टि {{nowrap|''H''{{i sup|''q''}}(''X'', Ω<sup>''p''</sup>)}} है, जिसे किसी दिए गए काहलर मापीय   के संबंध में सुसंगत रूपों की समष्टि <math>\mathcal H^{p,q}(X)</math> से पहचाना जा सकता है। ''X'' के हॉज नंबरों को  {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup>(''X'') = dim<sub>'''C'''</sub>''H''{{i sup|''p'',''q''}}(''X'')}} द्वारा परिभाषित किया गया है। हॉज अपघटन का तात्पर्य सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड X के हॉज नंबरों के संदर्भ में [[बेटी नंबर|बेट्टी नंबर]] के अपघटन से है,
 :<math>b_r=\sum_{p+q=r}h^{p,q}.</math>
-कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड के हॉज नंबर कई पहचानों को संतुष्ट करते हैं। हॉज समरूपता {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''q'',''p''</sup>}} लाप्लासियन के रूप में धारण करता है <math>\Delta_d</math> एक वास्तविक ऑपरेटर है, इत्यादि <math>H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}</math>. पहचान {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''n''−''p'',''n''−''q''</sup>}} इसका उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि हॉज स्टार ऑपरेटर एक समरूपता देता है <math>H^{p,q}\cong \overline{H^{n-p,n-q}}</math>. यह [[सेरे द्वैत]] से भी अनुसरण करता है।
+सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड के हॉज नंबर कई पहचानों को संतुष्ट करते हैं। हॉज समरूपता {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''q'',''p''</sup>}} का प्रभाव है क्योंकि लाप्लासियन <math>\Delta_d</math> एक वास्तविक संचालक होता है, और इसलिए <math>H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}</math> होता है। पहचान {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''n''−''p'',''n''−''q''</sup>}} को यह प्रयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि हॉज स्टार संचालक एक समरूपता <math>H^{p,q}\cong \overline{H^{n-p,n-q}}</math> देता है। यह [[सेरे द्वैत]] का भी अनुसरण करता है।
+==सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स की सांस्थिति==
+हॉज सिद्धांत का एक सरल परिणाम यह है कि कि हॉज समरूपता के अनुसार सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड की प्रत्येक विषम बेट्टी संख्या b<sub>2''a''+1</sub> सम है। यह सामान्य रूप से सुसम्बद्ध सुसम्बद्ध  मैनिफोल्ड्स के लिए सच नहीं है, जैसा कि [[हॉपफ सतह]] के उदाहरण से पता चलता है, जो {{nowrap|''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>3</sup>}} से [[भिन्न]] है और इसलिए इसमें {{nowrap|1=''b''<sub>1</sub> = 1}} है।
+काहलर पैकेज, हॉज सिद्धांत पर निर्मित, सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के सह-समरूपता पर आगे के प्रतिबंधों का एक संग्रह है। परिणामों में [[लेफ्सचेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय|लेफ्सचेट्ज़ हाइपरतल प्रमेय]], [[हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय]] और [[हॉज-रीमैन बिलिनियर संबंध]] संम्मिलित हैं।<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, sections 3.3 and 5.2,</ref> एक संबंधित परिणाम यह है कि प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड तर्कसंगत समस्थेयता सिद्धांत के अर्थ में [[औपचारिक]] है।<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Proposition 3.A.28.</ref>
-==कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी==
+यह प्रश्न कि कौन से समूह सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स के [[मौलिक समूह]] हो सकते हैं, जिन्हें काहलर समूह कहा जाता है, व्यापक रूप से खुले है। हॉज सिद्धांत संभावित काहलर समूहों पर कई प्रतिबंध देता है।<ref>{{harvtxt|Amorós|Burger|Corlette|Kotschick|Toledo|1996}}</ref> सबसे सरल प्रतिबंध यह है कि काहलर समूह के [[अबेलियनाइजेशन]] की श्रेणी भी होनी चाहिए, क्योंकि सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड की बेटी संख्या बी<sub>1</sub> भी है। (उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]] Z एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड का मूल समूह नहीं हो सकता है।) [[गैर-एबेलियन हॉज]] सिद्धांत जैसे सिद्धांत के विस्तार इस पर और प्रतिबंध देते हैं कि कौन से समूह काहलर समूह हो सकते हैं।
-हॉज सिद्धांत का एक सरल परिणाम यह है कि प्रत्येक विषम बेट्टी संख्या बी<sub>2''a''+1</sub> हॉज समरूपता द्वारा एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड सम है। यह सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के लिए सच नहीं है, जैसा कि [[हॉपफ सतह]] के उदाहरण से पता चलता है, जो कि भिन्न है {{nowrap|''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>3</sup>}} और इसलिए है {{nowrap|1=''b''<sub>1</sub> = 1}}.
-काहलर पैकेज, हॉज सिद्धांत पर आधारित, कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के सह-संगति विज्ञान पर आगे के प्रतिबंधों का एक संग्रह है। परिणामों में लेफ्सचेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय, हार्ड लेफ्सचेट्ज़ प्रमेय और हॉज-रीमैन बिलिनियर संबंध संम्मिलित हैं।<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, sections 3.3 and 5.2,</ref> एक संबंधित परिणाम यह है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड तर्कसंगत होमोटॉपी सिद्धांत # तर्कसंगत होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में औपचारिक स्थान है।<ref>{{harvtxt|Huybrechts|2005}}, Proposition 3.A.28.</ref>
+काहलर की स्थिति के बिना, स्थिति सरल है, [[क्लिफोर्ड टौब्स]] ने दिखाया कि प्रत्येक [[परिमित रूप से प्रस्तुत समूह]] आयाम 3 के कुछ सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड के मूल समूह के रूप में उत्पन्न होता है।<ref>{{harvtxt|Amorós|Burger|Corlette|Kotschick|Toledo|1996}}, Corollary 1.66.</ref> (इसके विपरीत, किसी भी [[बंद मैनिफोल्ड|सवृत मैनिफोल्ड]] का मूल समूह अंतिम रूप से प्रस्तुत किया जाता है।)
-यह प्रश्न कि कौन से समूह कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफ़ोल्ड्स के [[मौलिक समूह]] हो सकते हैं, जिन्हें काहलर समूह कहा जाता है, व्यापक रूप से खुला है। हॉज सिद्धांत संभावित काहलर समूहों पर कई प्रतिबंध देता है।<ref>{{harvtxt|Amorós|Burger|Corlette|Kotschick|Toledo|1996}}</ref> सबसे सरल प्रतिबंध यह है कि काहलर समूह के [[अबेलियनाइजेशन]] की रैंक भी होनी चाहिए, क्योंकि बेट्टी संख्या बी<sub>1</sub> एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड सम है। (उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]] Z एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड का मूल समूह नहीं हो सकता है।) [[सिम्पसन पत्राचार]] | गैर-एबेलियन हॉज सिद्धांत जैसे सिद्धांत के विस्तार इस पर और प्रतिबंध देते हैं कि कौन से समूह काहलर समूह हो सकते हैं।
-काहलर की स्थिति के बिना, स्थिति सरल है: [[क्लिफोर्ड टौब्स]] ने दिखाया कि प्रत्येक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह आयाम 3 के कुछ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के मूल समूह के रूप में उत्पन्न होता है।<ref>{{harvtxt|Amorós|Burger|Corlette|Kotschick|Toledo|1996}}, Corollary 1.66.</ref> (इसके विपरीत, किसी भी बंद मैनिफोल्ड का मूल समूह अंतिम रूप से प्रस्तुत किया जाता है।)
+==सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों और सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स की विशेषताएँ==
+[[कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय|कोडैरा अंत: स्थापन प्रमेय]] सभी सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों की विशेषता बताता है। अर्थात्, एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड X प्रक्षेप्य है यदि केवल X पर काहलर रूप ω है जिसका {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}}  में वर्ग पूर्ण सह समरूपता समूह {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Z''')}} की प्रतिरूप में है। (चूँकि काहलर रूप का एक धनात्मक गुणज काहलर रूप है, जो यह कहता है  कि X के पास काहलर रूप है जिसका वर्ग {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Q''')}} में है) समान रूप से, X  प्रक्षेप्य है यदि केवल X पर एक हर्मिटियन मापीय के साथ एक [[पूर्णसममितिक रेखीय बंडल]] L है जिसका वक्रता रूप ω धनात्मक है (चूंकि ω तब एक काहलर रूप है जो {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Z''')}} में एल के पहले [[चेर्न वर्ग]] का प्रतिनिधित्व करता है)। काहलर रूप ω जो इन शर्तों को पूरा करता है (अर्थात, काहलर रूप ω एक अभिन्न अंतर रूप है) जिसको हॉज रूप भी कहा जाता है, और इस समय काहलर मापीय को हॉज मापीय भी कहा जाता है। हॉज मापीय के साथ सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स को हॉज मैनिफोल्ड्स भी कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Wells|2007}} p.217 Definition 1.1</ref><ref>{{harvtxt|Kodaira|1954}}</ref>
-==जटिल प्रक्षेप्य किस्मों और कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफ़ोल्ड्स की विशेषताएँ==
+काहलर मैनिफोल्ड्स के कई गुण <math>\partial \bar \partial</math>-मैनिफोल्ड्स की थोड़ी अधिक व्यापकता में निहित हैं, जो सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स है जिनके लिए <math>\partial \bar \partial</math>-[[लेम्मा]] संचालित करता है। विशेष रूप से बॉटल-चेर्न सह समरूपता एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी|डोल्बौल्ट सह समरूपता]] का एक विकल्प है, और वह समरूपी हैं और यदि मैनिफोल्ड <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा को संतुष्ट करता है, तो वह तब विशेष रूप से सहमत होता हैं जब मैनिफोल्ड काहलर होता है। सामान्य तौर पर बॉटल-चेर्न सह समरूपता से लेकर डॉल्बुल्ट सह समरूपता तक के प्राकृतिक मानचित्र के कर्नेल में काहलर के मैनिफोल्ड की विफलता के बारे में जानकारी होती है।<ref>Angella, D. and Tomassini, A., 2013. On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology. ''Inventiones mathematicae'', ''192''(1), pp.71-81.</ref>
-[[कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय]] सभी कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के बीच चिकनी जटिल प्रक्षेप्य किस्मों की विशेषता बताता है। अर्थात्, एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड एक्स प्रक्षेप्य है यदि और केवल तभी जब {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} इंटीग्रल कोहोमोलॉजी समूह की छवि में है {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Z''')}}. (चूँकि काहलर रूप का एक धनात्मक गुणज काहलर रूप है, यह कहने के बराबर है कि एक्स के पास काहलर रूप है जिसका वर्ग {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} में है {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Q''')}}.) समान रूप से, {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''Z''')}}). काहलर रूप ω जो इन शर्तों को पूरा करता है (अर्थात, काहलर रूप ω एक अभिन्न अंतर रूप है) को हॉज रूप भी कहा जाता है, और इस समय काहलर मापीय को हॉज मापीय कहा जाता है। हॉज मेट्रिक के साथ कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स को हॉज मैनिफोल्ड्स भी कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Wells|2007}} p.217 Definition 1.1</ref><ref>{{harvtxt|Kodaira|1954}}</ref>
-काहलर मैनिफोल्ड्स के कई गुण थोड़ी अधिक व्यापकता में हैं <math>\partial \bar \partial</math>-मैनिफोल्ड्स, वह कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स है जिसके लिए Ddbar लेम्मा|<math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा रखती है। विशेष रूप से बॉटल-चेर्न कोहोमोलॉजी एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी]] का एक विकल्प है, और वे आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल यदि मैनिफोल्ड संतुष्ट करता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, और विशेष रूप से सहमत हैं जब मैनिफोल्ड काहलर है। सामान्य तौर पर बॉटल-चेर्न कोहोमोलॉजी से लेकर डॉल्बुल्ट कोहोमोलॉजी तक के प्राकृतिक मानचित्र के कर्नेल में काहलर के मैनिफोल्ड की विफलता के बारे में जानकारी होती है।<ref>Angella, D. and Tomassini, A., 2013. On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology. ''Inventiones mathematicae'', ''192''(1), pp.71-81.</ref>
+प्रत्येक सुसम्बद्ध सम्मिश्र वक्र प्रक्षेप्य है, लेकिन कम से कम 2 सम्मिश्र आयाम में, कई सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड हैं जो प्रक्षेपीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, अधिकांश [[सुसम्बद्ध]] [[जटिल टोरस|सम्मिश्र]] [[टोरी]] प्रक्षेप्य नहीं हैं। कोई यह पूछ सकता है कि क्या प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड को कम से कम (सम्मिश्र संरचना को लगातार अलग-अलग करके) एक सुचारू प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। [[एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण|एसतहों के वर्गीकरण]] पर [[कुनिहिको कोदैरा]] के काम का तात्पर्य यह है कि सम्मिश्र आयाम 2 के प्रत्येक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड को वास्तव में एक सुचारू प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। हालाँकि,[[ क्लेयर पड़ोसी | क्लेयर वोइसिन]] ने पाया कि यह कम से कम 4 आयामों में विफल रहता है। उन्होंने सम्मिश्र आयाम 4 के एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड का निर्माण किया जो कि किसी भी सुचारू सम्मिश्र प्रक्षेप्य विविधता के बराबर [[समरूप]] नहीं है।<ref>{{harvtxt|Voisin|2004}}</ref>
-प्रत्येक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स वक्र प्रक्षेप्य है, लेकिन कम से कम 2 जटिल आयाम में, कई कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफ़ोल्ड हैं जो प्रोजेक्टिव नहीं हैं; उदाहरण के लिए, अधिकांश [[जटिल टोरस]] प्रक्षेप्य नहीं होते हैं। कोई यह पूछ सकता है कि क्या प्रत्येक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड को कम से कम (जटिल संरचना को लगातार अलग-अलग करके) एक चिकनी प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। [[एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण]] पर [[कुनिहिको कोदैरा]] के काम का तात्पर्य है कि जटिल आयाम 2 के प्रत्येक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड को वास्तव में एक चिकनी प्रक्षेप्य विविधता में विकृत किया जा सकता है। हालाँकि, [[ क्लेयर पड़ोसी ]] ने पाया कि यह कम से कम 4 आयामों में विफल रहता है। उसने जटिल आयाम 4 के एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड का निर्माण किया जो कि किसी भी चिकनी जटिल प्रक्षेप्य विविधता के बराबर भी होमोटॉपी नहीं है।<ref>{{harvtxt|Voisin|2004}}</ref>
-कोई भी सभी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के बीच कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के लक्षण वर्णन के लिए भी पूछ सकता है। जटिल आयाम 2 में, कोडैरा और [[यम-टोंग सिउ]] ने दिखाया कि एक कॉम्पैक्ट जटिल सतह में काहलर मापीय होता है यदि और केवल तभी जब इसकी पहली बेट्टी संख्या सम हो।<ref name="BIV3">{{harvtxt|Barth|Hulek|Peters|Van de Ven|2004}}, section IV.3.</ref> इस परिणाम का एक वैकल्पिक प्रमाण जिसमें कॉम्पैक्ट जटिल सतहों के वर्गीकरण का उपयोग करके कठिन केस-दर-केस अध्ययन की आवश्यकता नहीं होती है, बुचडाहल और लामारी द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रदान किया गया था।<ref>{{harvtxt|Buchdahl|1999}}</ref><ref>{{harvtxt|Lamari|1999}}</ref> इस प्रकार काहलर कॉम्पैक्ट जटिल सतहों के लिए एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल संपत्ति है। हिरोनका%27s_example#A_deformation_of_Kähler_manifolds_that_is_not_a_Kähler_manifold|हालाँकि, हिरोनका का उदाहरण दिखाता है कि यह कम से कम 3 आयामों में विफल रहता है। अधिक विस्तार से, उदाहरण चिकनी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स 3-फोल्ड का 1-पैरामीटर परिवार है जैसे कि अधिकांश फाइबर काहलर (और यहां तक कि प्रक्षेप्य) हैं ), लेकिन एक फाइबर काहलर नहीं है। इस प्रकार एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड एक गैर-काहलर कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड से भिन्न हो सकता है।
+कोई भी सभी सुसम्बद्ध सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के बीच सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स के लक्षण वर्णन के लिए भी पूछ सकता है। सम्मिश्र आयाम 2 में, कोडैरा और [[यम-टोंग सिउ]] ने दिखाया कि एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतह में काहलर मापीय होता है और केवल तभी जब इसकी पहली बेट्टी संख्या सम हो।<ref name="BIV3">{{harvtxt|Barth|Hulek|Peters|Van de Ven|2004}}, section IV.3.</ref> इस परिणाम का एक वैकल्पिक प्रमाण जिसमें सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतहों के वर्गीकरण का उपयोग करके कठिन विषयानुसार अध्ययन की आवश्यकता नहीं होती है, वह बुचडाहल और लामारी द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रदान किया गया था।<ref>{{harvtxt|Buchdahl|1999}}</ref><ref>{{harvtxt|Lamari|1999}}</ref> इस प्रकार काहलर सुसम्बद्ध सम्मिश्र सतहों के लिए एक विशुद्ध रूप से सांस्थितिक गुण है। हालाँकि, [[हिरोनका का उदाहरण]] दिखाता है कि यह कम से कम 3 आयामों में विफल रहता है। अधिक विस्तार से, उदाहरण सुचारू सुसम्बद्ध सम्मिश्र 3-फोल्ड का 1-पैरामीटर परिवार है जैसे कि अधिकांश फाइबर काहलर (और यहां तक कि प्रक्षेप्य हैं ), लेकिन एक फाइबर काहलर नहीं है। इस प्रकार एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड एक गैर-काहलर सम्मिश्र मैनिफोल्ड से भिन्न हो सकता है।
 ==काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स==
-{{main|Kähler–Einstein metric}}
+{{main|काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स}}
-काहलर मैनिफोल्ड को काहलर-आइंस्टीन कहा जाता है यदि इसमें निरंतर रिक्की वक्रता होती है। समान रूप से, रिक्की वक्रता टेंसर [[मीट्रिक टेंसर|मापीय टेंसर]] के स्थिर λ गुना के बराबर है, रिक = ''λg''। आइंस्टीन का संदर्भ [[सामान्य सापेक्षता]] से आता है, जो द्रव्यमान की अनुपस्थिति में दावा करता है कि स्पेसटाइम शून्य रिक्की वक्रता के साथ एक 4-आयामी [[लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]] है। अधिक जानकारी के लिए [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]]्स पर लेख देखें।
-यद्यपि रिक्की वक्रता को किसी भी रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए परिभाषित किया गया है, यह काहलर ज्यामिति में एक विशेष भूमिका निभाता है: काहलर मैनिफोल्ड ''एक्स'' की रिक्की वक्रता को एक वास्तविक बंद (1,1)-रूप के रूप में देखा जा सकता है जो ''सी'' का प्रतिनिधित्व करता है ''<sub>1</sub>(एक्स) ([[स्पर्शरेखा बंडल]] का पहला चेर्न वर्ग) में {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}}. यह इस प्रकार है कि एक कॉम्पैक्ट काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड एक्स में [[ विहित बंडल ]] K होना चाहिए<sub>''X'' या तो एंटी-एम्पल, होमोलॉजिकली ट्रिवियल, या [[ पर्याप्त लाइन बंडल ]], यह इस पर निर्भर करता है कि आइंस्टीन स्थिरांक λ सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है या नहीं। उन तीन प्रकारों के काहलर मैनिफोल्ड्स को क्रमशः [[फैनो किस्म]], कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड|कैलाबी-याउ, या पर्याप्त कैनोनिकल बंडल (जो [[सामान्य प्रकार]] का तात्पर्य है) के साथ कहा जाता है। कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय के अनुसार, पर्याप्त कैनोनिकल बंडल के साथ फैनो मैनिफोल्ड्स और मैनिफोल्ड्स स्वचालित रूप से प्रोजेक्टिव किस्में हैं।''
+काहलर मैनिफोल्ड को [[काहलर-आइंस्टीन]] कहा जाता है यदि इसमें निरंतर [[रिक्की वक्रता]] होती है। समान रूप से, रिक्की वक्रता प्रदिश [[मीट्रिक टेंसर|मापीय प्रदिश]] के स्थिर λ गुना के बराबर है, जैसे रिक = ''λg''। आइंस्टीन का संदर्भ [[सामान्य सापेक्षता]] से आता है, जो द्रव्यमान की अनुपस्थिति में दावा करता है कि समष्टि काल शून्य रिक्की वक्रता के साथ एक 4-आयामी [[लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]] है। अधिक जानकारी के लिए [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड|आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स]] पर लेख देखें।
-[[शिंग-तुंग याउ]] ने [[कैलाबी अनुमान]] को साबित कर दिया: पर्याप्त विहित बंडल के साथ प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य किस्म में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (निरंतर नकारात्मक रिक्की वक्रता के साथ) होता है, और प्रत्येक कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (शून्य रिक्की वक्रता के साथ) होता है। ये परिणाम बीजगणितीय किस्मों के वर्गीकरण के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिसमें पर्याप्त विहित बंडल वाली किस्मों के लिए मियाओका-याउ असमानता और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए ब्यूविल-बोगोमोलोव अपघटन जैसे अनुप्रयोग संम्मिलित हैं।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Corollary 9.8.</ref>
+यद्यपि रिक्की वक्रता को किसी भी रीमानी मैनिफोल्ड के लिए परिभाषित किया गया है, फिर भी यह काहलर ज्यामिति में एक विशेष भूमिका निभाता है, काहलर मैनिफोल्ड X की रिक्की वक्रता को एक वास्तविक सवृत (1,1)-रूप के रूप में देखा जा सकता है जो  {{nowrap|''H''{{i sup|2}}(''X'', '''R''')}} में c<sub>1</sub> (X)'' ([[स्पर्शरेखा बंडल]] का पहला चेर्न वर्ग) का प्रतिनिधित्व करता है। यह इस प्रकार है कि एक  सम्मिश्र काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड X में [[कैनोनिकल बंडल|विहित बंडल]] KX या तो एंटी-एम्पल, समजाततः ट्रिवियल या [[एम्पल]] होना चाहिए, यह इस पर निर्भर करता है कि आइंस्टीन स्थिरांक  λ सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है या नहीं। उन तीन प्रकारों के काहलर मैनिफोल्ड्स को क्रमशः [[फैनो किस्म|फैनो]] ,[[कैलाबी-याउ]], या पर्याप्त विहित बंडल (जो [[सामान्य प्रकार]] का तात्पर्य है) कहा जाता है। कोडैरा अंत: स्थापन प्रमेय के अनुसार, पर्याप्त विहित बंडल के साथ फैनो मैनिफोल्ड्स और मैनिफोल्ड्स स्वचालित रूप से प्रक्षेपीय किस्में हैं।''
-इसके विपरीत, हर चिकनी फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय नहीं होता है (जिसमें निरंतर सकारात्मक रिक्की वक्रता होगी)। हालाँकि, ज़िउक्सियॉन्ग चेन, [[साइमन डोनाल्डसन]] और सॉन्ग सन ने याउ-[[ गिरोह टीआई प्रेस ]]-डोनाल्डसन अनुमान को साबित कर दिया: एक चिकनी फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय होता है यदि और केवल अगर यह [[के-स्थिर]] है, एक विशुद्ध रूप से बीजगणित-ज्यामितीय स्थिति है।
-ऐसी स्थितियों में जहां काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद नहीं हो सकता है, निरंतर स्केलर वक्रता काहलर मापीय और चरम काहलर मापीय सहित हल्के सामान्यीकरण का अध्ययन करना संभव है। जब काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद हो सकता है, तो ये व्यापक सामान्यीकरण स्वचालित रूप से काहलर-आइंस्टीन हैं।
+[[शिंग-तुंग याउ]] ने [[कैलाबी अनुमान]] को सिद्ध कर दिया, पर्याप्त विहित बंडल के साथ प्रत्येक सुचारू प्रक्षेप्य किस्म में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (निरंतर नकारात्मक रिक्की वक्रता के साथ) होता है, और प्रत्येक कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड में एक काहलर-आइंस्टीन मापीय (शून्य रिक्की वक्रता के साथ) होता है। ये परिणाम बीजगणितीय किस्मों के वर्गीकरण के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिसमें पर्याप्त विहित बंडल वाली किस्मों के लिए [[मियाओका-याउ असमानता]] और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए ब्यूविल-बोगोमोलोव अपघटन जैसे अनुप्रयोग संम्मिलित हैं।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Corollary 9.8.</ref>
-==होलोमोर्फिक [[अनुभागीय वक्रता]]==
+इसके विपरीत, हर सुचारू फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय (जिसमें निरंतर धनात्मक रिक्की वक्रता होगी) नहीं होता है। हालाँकि, ज़िउक्सियॉन्ग चेन, [[साइमन डोनाल्डसन]] और सॉन्ग सन ने याउ-[[ गिरोह टीआई प्रेस |तिया]] -डोनाल्डसन अनुमान को सिद्ध कर दिया, एक सुचारू फ़ानो किस्म में काहलर-आइंस्टीन मापीय होता है और यदि यह [[के-स्थिर|K-स्थिर]] है, तो यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणित-ज्यामितीय स्थिति होती है।
-यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर मानक मापीय से रीमैनियन मैनिफोल्ड एक्स का विचलन अनुभागीय वक्रता द्वारा मापा जाता है, जो एक बिंदु पर एक्स के स्पर्शी समष्टि में किसी भी वास्तविक 2-प्लेन से जुड़ी एक वास्तविक संख्या है। उदाहरण के लिए, 'सीपी' पर मानक मापीय की अनुभागीय वक्रता<sup>n</sup> (के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 2}}) 1/4 और 1 के बीच भिन्न होता है। एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड (उदाहरण के लिए, एक काहलर मैनिफोल्ड) के लिए, होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता का मतलब स्पर्शी समष्टि में जटिल रेखाओं तक सीमित अनुभागीय वक्रता है। यह उस सीपी में अधिक सरलता से व्यवहार करता है<sup>n</sup> में 1 के बराबर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता है। दूसरे चरम पर, 'सी' में खुली इकाई [[गेंद (गणित)]]<sup>n</sup> में -1 के बराबर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता के साथ एक रीमैनियन मैनिफोल्ड#जियोडेसिक पूर्णता काहलर मापीय है। (इस मापीय के साथ, गेंद को 'कॉम्प्लेक्स हाइपरबोलिक स्पेस' भी कहा जाता है।)
-होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता अंतर्निहित जटिल मैनिफोल्ड की जटिल ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। यह अहलफोर्स श्वार्ज़ लेम्मा का एक प्रारंभिक परिणाम है कि यदि <math>(X,\omega)</math> नकारात्मक होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता (ऊपर एक नकारात्मक स्थिरांक से घिरा) के हर्मिटियन मापीय के साथ एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड है, तो यह ब्रॉडी हाइपरबोलिक है (यानी, प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\mathbb{C}\to X</math> स्थिर है) यदि एक्स कॉम्पैक्ट होता है, तो यह [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी]] मापीय के मैनिफोल्ड के बराबर है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Lemma 9.14.</ref>
+ऐसी स्थितियों में जहां काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद नहीं हो सकता है, वहा [[निरंतर अदिश वक्रता काहलर मापीय]] और [[चरम काहलर मापीय|छोर काहलर मापीय]] सहित हल्के सामान्यीकरण का अध्ययन करना संभव होता है। जब काहलर-आइंस्टीन मापीय मौजूद हो सकता है, तो ये व्यापक सामान्यीकरण स्वचालित रूप से काहलर-आइंस्टीन होता हैं।
-दूसरी ओर, यदि <math>(X,\omega)</math> सकारात्मक होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता के काहलर मापीय के साथ एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, यांग शियाओकुई ने दिखाया कि एक्स तर्कसंगत रूप से जुड़ा हुआ है।
-जटिल ज्यामिति की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि जटिल उपमानों पर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता कम हो जाती है।<ref>{{harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996}}, v. 2, Proposition IX.9.2.</ref> (यही बात अधिक सामान्य अवधारणा, होलोमोर्फिक द्विभाजित वक्रता के लिए भी लागू होती है।) उदाहरण के लिए, C का प्रत्येक जटिल उपमान<sup>n</sup> ('सी' से प्रेरित मापीय के साथ)<sup>n</sup>) में होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता ≤ 0 है।
+==पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता==
+यूक्लिडियन समष्टि पर मानक मापीय से रीमानी मैनिफोल्ड X का विचलन [[अनुभागीय वक्रता]] द्वारा मापा जाता है, जो एक बिंदु पर X के स्पर्शी समष्टि में किसी भी वास्तविक 2-तल से जुड़ी एक वास्तविक संख्या है। उदाहरण के लिए, 'CP<sup>n</sup> (के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 2}}) पर मानक मापीय की अनुभागीय वक्रता 1/4 और 1 के बीच भिन्न होती है। एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड (उदाहरण के लिए, एक काहलर मैनिफोल्ड) के लिए, पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता का अर्थ स्पर्शी समष्टि में सम्मिश्र रेखाओं तक सीमित अनुभागीय वक्रता है। यह अधिक सरलता से व्यवहार करता है, क्योंकि CPn में 1 के बराबर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता होती है। दूसरे छोर पर, 'C<sup>n</sup>' में खुली इकाई [[गेंद (गणित)|बॉल]] में -1 के बराबर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता के साथ एक [[पूर्णता]] काहलर मापीय है। (इस मापीय के साथ, गेंद को ''''सम्मिश्र अतिशयोक्तिपूर्ण समष्टि'''<nowiki/>' भी कहा जाता है।)
-हर्मिटियन मैनिफोल्ड्स के बीच होलोमोर्फिक मानचित्रों के लिए, होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता श्वार्ज़ लेम्मा दूसरे क्रम के अनुमान में दिखाई देने वाले लक्ष्य वक्रता शब्द को नियंत्रित करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है। इसने ज़ियाओकुई यांग और फांगयांग झेंग द्वारा प्रस्तुत 'वास्तविक द्विभाजक वक्रता' पर विचार करने को प्रेरित किया।<ref>{{harvtxt|Yang|Zheng|2018}}</ref> यह कॉम्प्लेक्स कर्वेचर ऑपरेटर के नाम से मैन-चुन ली और जेफरी स्ट्रीट्स के काम में भी दिखाई देता है।<ref>{{harvtxt|Lee|Streets|2021}}</ref> <!-- This was later refined by Kyle Broder, where he introduces the '''second Schwarz bisectional curvature''', a technical refinement of the real bisectional curvature.<ref> Broder, K., The Schwarz Lemma in Kähler and non-Kähler geometry https://arxiv.org/pdf/2109.06331.pdf </ref> <ref> Broder, K., The Schwarz Lemma: An Odyssey, https://arxiv.org/pdf/2110.04989.pdf </ref>
+पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता अंतर्निहित सम्मिश्र मैनिफोल्ड की सम्मिश्र ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। यह अहलफोर्स श्वार्ज़ लेम्मा का एक प्रारंभिक परिणाम है कि यदि <math>(X,\omega)</math> नकारात्मक पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता (ऊपर एक नकारात्मक स्थिरांक से घिरा) के हर्मिटियन मापीय के साथ एक हर्मिटियन मैनिफोल्ड है, तो यह ब्रॉडी अतिशयोक्तिपूर्ण है (अर्थात, प्रत्येक पूर्णसममितिक मानचित्र <math>\mathbb{C}\to X</math> स्थिर है) यदि X सुसम्बद्ध होता है, तो यह मैनिफ़ोल्ड [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी]] [[अतिशयोक्तिपूर्ण]] होने के बराबर है।<ref>{{harvtxt|Zheng|2000}}, Lemma 9.14.</ref>
- -->
+दूसरी ओर, यदि <math>(X,\omega)</math> धनात्मक पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता के काहलर मापीय के साथ एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है, यांग शियाओकुई ने दिखाया कि X तर्कसंगत रूप से जुड़ा हुआ है।
+सम्मिश्र ज्यामिति की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड पर पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता कम हो जाती है।<ref>{{harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996}}, v. 2, Proposition IX.9.2.</ref> (यही बात अधिक सामान्य अवधारणा, पूर्णसममितिक द्विभाजित वक्रता के लिए भी लागू होती है।) उदाहरण के लिए, C<sup>n</sup> के प्रत्येक सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड ('C<sup>n</sup>' से प्रेरित मापीय के साथ) में पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता ≤ 0 है।
+हर्मिटियन मैनिफोल्ड्स के बीच पूर्णसममितिक मानचित्रों के लिए, पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता श्वार्ज़ लेम्मा दूसरे क्रम के अनुमान में दिखाई देने वाले लक्ष्य वक्रता शब्द को नियंत्रित करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है। इसने ज़ियाओकुई यांग और फांगयांग झेंग द्वारा प्रस्तुत 'वास्तविक द्विभाजक वक्रता' पर विचार करने को प्रेरित किया।<ref>{{harvtxt|Yang|Zheng|2018}}</ref> यह सम्मिश्र वक्रता संचालक के नाम से मैन-चुन ली और जेफरी स्ट्रीट्स के काम में भी दिखाई देता है।<ref>{{harvtxt|Lee|Streets|2021}}</ref>
 ==उदाहरण==
-#कॉम्प्लेक्स समन्वय स्थान सी<sup>n</sup>मानक हर्मिटियन मापीय के साथ काहलर मैनिफोल्ड है।
+#मानक हर्मिटियन मापीय के साथ [[सम्मिश्रसमष्‍टि]] C<sup>n</sup> एक काहलर मैनिफोल्ड है।
-#एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरस 'सी'<sup>n</sup>/Λ (Λ एक पूर्ण [[जाली (समूह)]]) 'सी' पर यूक्लिडियन मापीय से एक फ्लैट मापीय प्राप्त करता है<sup>n</sup>, और इसलिए यह एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है।
+#एक सुसम्बद्ध सम्मिश्र टोरस 'C'<sup>n</sup>/Λ (Λ एक पूर्ण [[जाली (समूह)|जालक]]) 'C<sup>n</sup>' पर यूक्लिडियन मापीय से एक फ्लैट मापीय प्राप्त करता है, और इसलिए यह एक सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड है।
-#[[ उन्मुखी ]] 2-मैनिफोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मापीय काहलर है। (वास्तव में, इसका होलोनॉमी समूह रोटेशन समूह SO(2) में समाहित है, जो एकात्मक समूह U(1) के बराबर है।) विशेष रूप से, एक उन्मुख रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड एक विहित तरीके से एक [[रीमैन सतह]] है; इसे इज़ोटेर्मल निर्देशांक के अस्तित्व के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रीमैन सतह काहलर है क्योंकि किसी भी हर्मिटियन मापीय का काहलर रूप आयामी कारणों से बंद है।
+#[[ उन्मुखी | उन्मुख]] 2-मैनिफोल्ड पर प्रत्येक रीमानी मापीय काहलर है। (वास्तव में, इसका समविधिता समूह [[घूर्णन समूह]] SO(2) में समाहित है, जो एकात्मक समूह U(1) के बराबर है।) विशेष रूप से, एक उन्मुख रीमानी 2-मैनिफोल्ड एक विहित तरीके से एक [[रीमैन सतह]] है, इसे [[समतापीय निर्देशांक]] के अस्तित्व के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रीमैन सतह काहलर है क्योंकि किसी भी हर्मिटियन मापीय का काहलर रूप आयामी कारणों से सवृत है।
-#[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] 'सीपी' पर काहलर मापीय का एक मानक विकल्प है<sup>n</sup>, फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक। एक विवरण में एकात्मक समूह संम्मिलित है {{nowrap|U(''n'' + 1)}}, सी के रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह<sup>n+1</sup> जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है। फ़ुबिनी-स्टडी मापीय 'सीपी' पर अद्वितीय रीमैनियन मापीय है<sup>n</sup> (एक धनात्मक गुणज तक) जो कि क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है {{nowrap|U(''n'' + 1)}}सीपी पर<sup>n</sup>. 'सीपी' का एक स्वाभाविक सामान्यीकरण<sup>n</sup>[[ग्रासमैनियन]] जैसे कॉम्पैक्ट प्रकार के [[हर्मिटियन सममित स्थान]]ों द्वारा प्रदान किया जाता है। कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थान पर प्राकृतिक काहलर मापीय में अनुभागीय वक्रता ≥ 0 है।
+#[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|सम्मिश्र प्रक्षेपीय समष्टि]] ''''CP'''<sup>n</sup>'  [[फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय]] पर काहलर मापीय का एक मानक विकल्प है। एक विवरण में [[एकात्मक समू]]ह {{nowrap|U(''n'' + 1)}}, C<sup>n+1</sup> के रैखिक स्वसमाकृतिकता का समूह सम्मिलित है जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है। फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय 'CP<sup>n</sup>' (एक धनात्मक गुणज तक) पर अद्वितीय रीमानी मापीय है जो CP<sup>n</sup>  पर {{nowrap|U(''n'' + 1)}} की प्रक्रिया के तहत अपरिवर्तनीय है। 'CP<sup>n</sup>' का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण [[ग्रासमैनियन]] जैसे सुसम्बद्ध प्रकार के [[हर्मिटियन सममित स्थान|हर्मिटियन सममित समष्‍टि]] द्वारा प्रदान किया जाता है। सुसम्बद्ध प्रकार के हर्मिटियन सममित समष्‍टि पर प्राकृतिक काहलर मापीय में अनुभागीय वक्रता ≥ 0 है।
-# काहलर मैनिफोल्ड के जटिल सबमैनिफोल्ड पर प्रेरित मापीय काहलर है। विशेष रूप से, कोई भी [[स्टीन मैनिफोल्ड]] ('सी' में एंबेडेड)<sup>n</sup>) या चिकनी प्रक्षेप्य [[बीजगणितीय विविधता]] ('सीपी' में एम्बेडेड)<sup>n</sup>) काहलर है. यह उदाहरणों का एक बड़ा वर्ग है.
+# काहलर मैनिफोल्ड के [[जटिल उपमैनिफोल्ड|सम्मिश्र उपमैनिफोल्ड]] पर प्रेरित मापीय काहलर है। विशेष रूप से, कोई भी [[स्टीन मैनिफोल्ड]] ('C<sup>n</sup> में अंतः स्थापित) या सुचारू प्रक्षेप्य [[बीजगणितीय विविधता]] ('CP<sup>n</sup>' में अंतः स्थापित) काहलर है। यह उदाहरणों का एक बड़ा वर्ग है।
-#'सी' में ओपन यूनिट बॉल 'बी'<sup>n</sup> में एक पूर्ण काहलर मापीय है जिसे [[बर्गमैन मीट्रिक|बर्गमैन]] मापीय कहा जाता है, जिसमें होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर होती है। गेंद का प्राकृतिक सामान्यीकरण गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के हर्मिटियन सममित स्थानों द्वारा प्रदान किया जाता है, जैसे [[सीगल ऊपरी आधा स्थान]]। गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार का प्रत्येक हर्मिटियन सममित स्थान X कुछ 'सी' में एक बंधे हुए डोमेन के लिए आइसोमोर्फिक है<sup>n</sup>, और X का बर्गमैन मापीय अनुभागीय वक्रता ≤ 0 के साथ एक पूर्ण काहलर मापीय है।
+#'C<sup>n</sup>' में खुली इकाई बॉल B में एक पूर्ण काहलर मापीय है जिसे [[बर्गमैन मीट्रिक|बर्गमैन]] [[मापीय]] कहा जाता है, जिसमें पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर होती है। बॉल का प्राकृतिक सामान्यीकरण असंहत प्रकार के [[हर्मिटियन सममित समष्‍टि]] द्वारा प्रदान किया जाता है, जैसे [[सीगल ऊपरी आधा स्थान|सीगल ऊपरी आधा समष्‍टि]]। असंहत प्रकार का प्रत्येक हर्मिटियन सममित समष्‍टि X कुछ 'C<sup>n</sup>' में एक बंधे हुए प्रक्षेत्र के लिए समरूपीय है, और X का बर्गमैन मापीय अनुभागीय वक्रता ≤ 0 के साथ एक पूर्ण काहलर मापीय है।
-#प्रत्येक [[K3 सतह]] Kähler (Siu द्वारा) है।<ref name = "BIV3" />
+#प्रत्येक [[K3 सतह]] काहलर ([[सिउ]] द्वारा) है।<ref name = "BIV3" />
 ==यह भी देखें==
-*[[लगभग जटिल विविधता]]
+*[[लगभग जटिल विविधता|लगभग सम्मिश्र विविधता]]
-*हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड
+*[[हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड]]
-*क्वाटरनियन-काहलर मैनिफोल्ड
+*[[चतुष्क-काहलर मैनिफोल्ड]]
-*[[के-ऊर्जा कार्यात्मक]]
+*[[के-ऊर्जा कार्यात्मक|K-ऊर्जा कार्यात्मक]]
 ==टिप्पणियाँ==
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 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Kahler manifold}}[[Category: रीमैनियन मैनिफोल्ड्स]] [[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]] [[Category: जटिल अनेक गुना]] [[Category: सिंपलेक्टिक ज्यामिति]]
+{{DEFAULTSORT:Kahler manifold}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Kahler manifold]]
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+[[Category:रीमैनियन मैनिफोल्ड्स|Kahler manifold]]
+[[Category:सिंपलेक्टिक ज्यामिति|Kahler manifold]]

v t e String theory
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
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Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
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Latest revision as of 19:34, 21 July 2023

Contents

परिभाषाएँ

सिम्प्लेक्टिक दृष्टिकोण

सम्मिश्र दृष्टिकोण

रीमानी दृष्टिकोण

काहलर क्षमता

काहलर संभावनाओं का समष्टि

काहलर मैनिफ़ोल्ड्स और आयतन न्यूनतमीकृत

काहलर की पहचान

काहलर मैनिफोल्ड पर लाप्लासियन

सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स की सांस्थिति

सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों और सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स की विशेषताएँ

काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स

पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता

उदाहरण

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रीमानी दृष्टिकोण

काहलर क्षमता

काहलर संभावनाओं का समष्टि

काहलर मैनिफ़ोल्ड्स और आयतन न्यूनतमीकृत

काहलर की पहचान

काहलर मैनिफोल्ड पर लाप्लासियन

सुसम्बद्ध काहलर मैनिफोल्ड्स की सांस्थिति

सम्मिश्र प्रक्षेप्य किस्मों और सुसम्बद्ध काहलर मैनिफ़ोल्ड्स की विशेषताएँ

काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स

पूर्णसममितिक अनुभागीय वक्रता

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