अनुभागीय वक्रता

रीमैनियन ज्यामिति में, अनुभागीय वक्रता, रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का वर्णन करने के विधियों में से एक है। अनुभागीय वक्रता K(σ_p) मैनिफोल्ड्स के एक बिंदु p पर स्पर्शरेखा स्थान के द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान σ_p पर निर्भर करता है। इसे ज्यामितीय रूप से सतह (टोपोलॉजी) के गॉसियन वक्रता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें p पर एक स्पर्शरेखा विमान के रूप में समतल σ_p है, जो जियोडेसिक्स से प्राप्त होता है जो σ_p (दूसरे शब्दों में, σ की छवि_p घातीय माप (रीमैनियन ज्यामिति) के अनुसार p पर) की दिशाओं में p से प्रारंभ होता है। अनुभागीय वक्रता मैनिफोल्ड्स अधिक ग्रासमानियन फाइबर बंडल पर वास्तविक-मूल्यवान फलन है।

अनुभागीय वक्रता रीमैन वक्रता टेन्सर को पूरी तरह से निर्धारित करती है।

परिभाषा

एक रीमैनियन मैनिफोल्ड और एक ही बिंदु u और v पर दो रैखिक रूप से स्वतंत्र स्पर्शरेखा सदिशों को देखते हुए हम परिभाषित कर सकते हैं

$K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}$

यहाँ R रीमैन वक्रता टेन्सर है, जिसे यहाँ परिपाटी $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$ द्वारा परिभाषित किया गया है कुछ स्रोत विपरीत परिपाटी $R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,$ का उपयोग करते हैं, किस स्थिति में K(u,v) को अंश में$\langle R(u,v)v,u\rangle$ के अतिरिक्त $\langle R(u,v)u,v\rangle$ से परिभाषित किया जाना चाहिए।

ध्यान दें कि u और v की रैखिक स्वतंत्रता उपरोक्त व्यंजक में भाजक को अशून्य होने के लिए बाध्य करती है, जिससे K(u,v) अच्छी तरह से परिभाषित हो। विशेष रूप से, यदि u और v ऑर्थोनॉर्मल हैं, तो परिभाषा सरल रूप लेती है

$K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .$

यह जांचना सीधा है कि यदि $u,v\in T_{p}M$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और स्पर्शरेखा स्थान $T_{p}M$ के समान द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान को $x,y\in T_{p}M$ के रूप में फैलाते हैं,तब $K(u,v)=K(x,y)$ है। तो कोई विभागीय वक्रता को वास्तविक-मूल्यवान फलन के रूप में मान सकता है जिसका इनपुट स्पर्शरेखा स्थान का द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान है।

वैकल्पिक परिभाषाएं

वैकल्पिक रूप से, अनुभागीय वक्रता को छोटे वृत्तों की परिधि द्वारा चित्रित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $P$, $T_{x}M$ में एक द्विविम तल है। मान लो $C_{P}(r)$ पर्याप्त रूप से छोटे $r>0$ के लिए $p$ में इकाई वृत के $p$ पर घातीय माप के अनुसार छवि को दर्शाता है और $l_{P}(r)$ की लंबाई को $C_{P}(r)$ दर्शाता है तभी यह सिद्ध हो सकता है

$l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),$ कुछ संख्या ${\displaystyle }$