फलन (गणित): Difference between revisions

Revision as of 21:21, 30 May 2023

गणित में, समुच्चय $X$ से समुच्चय $Y$ तक फलन (गणित) $X$ के प्रत्येक अवयव को $Y$ का उचित अवयव प्रदान करता है।^[1] समूह $X$ को फलन का डोमेन कहा जाता है^[2] और समूह $Y$ को फलन का कोडोमेन कहा जाता है।^[3]

फलन की धारणा के लिए सबसे पहले ज्ञात दृष्टिकोण को फारसी गणितज्ञ अल-बिरूनी के कार्यों में देखा जा सकता है।^[4] शराफ अल-दीन अल-तुसी में^[5] कार्य मूल रूप से इस बात का आदर्शीकरण थे कि कैसे भिन्न मात्रा दूसरी मात्रा पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, किसी ग्रह की स्थिति समय का फलन है। कार्य अवधारणा का इतिहास, इस अवधारणा को 17वीं शताब्दी के अंत में अतिसूक्ष्म कलन के साथ विस्तृत किया गया था, और 19वीं शताब्दी तक, जिन कार्यों पर विचार किया गया था, वे अलग-अलग कार्य थे (अर्थात, उनके पास उच्च स्तर की नियमितता थी)। 19वीं शताब्दी के अंत में समूह सिद्धांत के संदर्भ में फलन की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया था और इसने अवधारणा के अनुप्रयोग के डोमेन को बहुत बढ़ा दिया।

फलन को अधिकांशतः अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे $f$ , $g$ तथा $h$ , और फलन का मान $f$ तत्व पर $x$ इसके डोमेन का द्वारा दर्शाया गया है $f (x)$ ; किसी विशेष इनपुट मान पर फलन मूल्यांकन से उत्पन्न संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करके निरूपित किया जाता है $x$ इस मूल्य के साथ; उदाहरण के लिए, का मूल्य $f$ पर $x = 4$ द्वारा निरूपित किया जाता है $f (4)$ . जब फलन का नाम नहीं है और अभिव्यक्ति (गणित) द्वारा दर्शाया गया है $E$ , फलन का मान पर, कहते हैं, $x = 4$ द्वारा दर्शाया जा सकता है $E | x =4$ . उदाहरण के लिए, पर मान $4$ उस फलन का जो मैप करता है $x$ प्रति $(x+1)^{2}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है $\left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}$ (जिसके परिणामस्वरूप $25).$

फलन विशिष्ट रूप से सभी जोड़ी (गणित) के समूह द्वारा दर्शाया गया है $(x, f (x))$ , जिसे फलन का ग्राफ़ कहा जाता है, फलन को दर्शाने का लोकप्रिय साधन है।^{[note 1]}^[6] जब डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं के समूह होते हैं, तो ऐसी प्रत्येक जोड़ी को विमान में बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में माना जा सकता है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी और गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह कहा गया है कि गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्य जांच की केंद्रीय वस्तु हैं।^[7]

मशीन या ब्लैक बॉक्स के रूप में रूपक के रूप में वर्णित फलन का योजनाबद्ध चित्रण जो प्रत्येक इनपुट के लिए संबंधित आउटपुट देता है

लाल वक्र फलन का ग्राफ़ है, क्योंकि किसी भी लंबवत रेखा परीक्षण में वक्र के साथ ठीक क्रॉसिंग पॉइंट होता है।

फलन जो चार रंगीन आकृतियों में से किसी को भी उसके रंग से जोड़ता है।

परिभाषा

Diagram of a function, with domain

X = {1, 2, 3}

and codomain

Y = {A, B, C, D}

, which is defined by the set of ordered pairs

{(1, D), (2, C), (3, C)}

. The image/range is the set

{C, D}

.

This diagram, representing the set of pairs

{(1,D), (2,B), (2,C)}

, does not define a function. One reason is that 2 is the first element in more than one ordered pair,

(2, B)

and

(2, C)

, of this set. Two other reasons, also sufficient by themselves, is that neither 3 nor 4 are first elements (input) of any ordered pair therein.

समूह से फलन (गणित) $X$ समूह के लिए $Y$ के तत्व का असाइनमेंट है $Y$ के प्रत्येक तत्व के लिए $X$ . समूह $X$ फलन और समूह के फलन का डोमेन कहा जाता है $Y$ फलन का कोडोमेन कहा जाता है।

फलन, उसके डोमेन और उसके कोडोमेन को अंकन द्वारा घोषित किया जाता है $f : X \to Y$ , और फलन का मान $f$ तत्व पर $x$ का $X$ , द्वारा चिह्नित $f(x)$ , की प्रतिमा कहलाती है $x$ नीचे $f$ , या का मूल्य $f$ तर्क के लिए आवेदन किया $x$ .

कार्यों को मानचित्र (गणित) या मानचित्रण भी कहा जाता है, चूंकि कुछ लेखक मानचित्रों और कार्यों के मध्य कुछ अंतर करते हैं (देखें § Other terms).

दो कार्य $f$ तथा $g$ समान हैं यदि उनके डोमेन और कोडोमेन समूह समान हैं और उनके आउटपुट मान पूरे डोमेन पर सहमत हैं। अधिक औपचारिक रूप से, दिया गया $f : X \to Y$ तथा $g : X \to Y$ , अपने पास $f = g$ यदि और केवल यदि $f (x) = g (x)$ सभी के लिए $x \in X$ .^[8]^{[note 2]}

किसी फलन को परिभाषित किए जाने पर डोमेन और कोडोमेन हमेशा स्पष्ट रूप से नहीं दिए जाते हैं, और कुछ (संभवतः कठिन) संगणना के बिना, कोई केवल यह जान सकता है कि डोमेन बड़े समूह में समाहित है। सामान्यतः, यह गणितीय विश्लेषण में होता है, जहां फलन from $X$ to $Y$ " अधिकांशतः ऐसे फलन को संदर्भित करता है जिसमें उचित उपसमुच्चय हो सकता है^{[note 3]} का $X$ डोमेन के रूप में। उदाहरण के लिए, वास्तविक से वास्तविक तक फलन वास्तविक-मूल्यवान फलन का उल्लेख कर सकता है | वास्तविक चर के फलन का वास्तविक-मूल्यवान फलन। चूँकि, वास्तविक से वास्तविक तक फलन का मतलब यह नहीं है कि फलन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का पूरा समूह है, किन्तु केवल यह कि डोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है जिसमें गैर-खाली खुला अंतराल होता है। ऐसे फलन को तब आंशिक फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ ऐसा फलन है जिसमें वास्तविक संख्या डोमेन और कोडोमेन के रूप में होती है, फिर फलन मानचित्रण मान $x$ मूल्य के लिए $g(x) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/f(x)$ कार्य है $g$ वास्तविक से वास्तविक तक, जिसका क्षेत्र वास्तविक का समुच्चय है $x$ , ऐसा है कि $f (x) \neq 0$ .

किसी फलन की सीमा या किसी फलन की छवि (गणित) डोमेन में सभी तत्वों की छवि (गणित) का समूह है।^[9]^[10]^[11]^[12]

कुल, असमान संबंध

दो समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल का कोई उपसमुच्चय $X$ तथा $Y$ द्विआधारी संबंध को परिभाषित करता है $R \subseteq X \times Y$ इन दो समूहों के मध्य। यह तत्काल है कि मनमाना संबंध में जोड़े हो सकते हैं जो ऊपर दिए गए फलन के लिए आवश्यक शर्तों का उल्लंघन करते हैं।

द्विआधारी संबंध एकतरफा संबंध है (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है)।

\forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.

द्विआधारी संबंध कुल संबंध है यदि

\forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.

आंशिक कार्य द्विआधारी संबंध है जो एकतरफा है, और कार्य द्विआधारी संबंध है जो एकतरफा और कुल है।

संबंधों की भाषा में कार्यों और कार्यों की संरचना के विभिन्न गुणों को सुधारा जा सकता है।^[13] उदाहरण के लिए, फलन अंतःक्षेपी फलन है यदि इसका विलोम संबंध है $R T \subseteq Y \times X$ एकतरफा है, जहां विलोम संबंध को इस रूप में परिभाषित किया गया है $R T = {(y, x) | (x, y) \in R}.$

घातांक समूह करें

समूह से सभी कार्यों का समूह $X$ समूह के लिए $Y$ सामान्यतः के रूप में निरूपित किया जाता है

Y^{X},

जिसे पढ़ा जाता है $Y$ सत्ता को $X$ .

यह संकेतन प्रतियों के अनुक्रमित परिवार के कार्टेशियन उत्पाद के लिए संकेतन के समान है $Y$ द्वारा अनुक्रमित $X$ :

Y^{X}=\prod _{x\in X}Y.

इन दो अंकनों की पहचान इस तथ्य से प्रेरित है कि फलन $f$ कार्टेशियन उत्पाद के तत्व के साथ पहचाना जा सकता है जैसे कि सूचकांक का घटक $x$ है $f(x)$ .

कब $Y$ दो तत्व हैं, $Y^{X}$ सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है $2^{X}$ और का सत्ता स्थापित कहा जाता है $X$ . के सभी उपसमूहों के समुच्चय से इसकी पहचान की जा सकती है $X$ , एक-से-पत्राचार के माध्यम से जो प्रत्येक सबसमूह से जुड़ता है $S\subseteq X$ कार्यक्रम $f$ ऐसा है कि $f(x)=1$ यदि $x\in X$ तथा $f(x)=0$ अन्यथा।

अंकन

कार्यों को निरूपित करने के लिए विभिन्न मानक विधि हैं। सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला संकेतन कार्यात्मक संकेतन है, जो नीचे वर्णित पहला अंकन है।

कार्यात्मक अंकन

कार्यात्मक संकेतन में, फलन को तुरंत नाम दिया जाता है, जैसे $f$ , और इसकी परिभाषा किसके द्वारा दी गई है $f$ स्पष्ट तर्क करता है $x$ , के संदर्भ में सूत्र का उपयोग करना $x$ . उदाहरण के लिए, वह फलन जो वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और उस संख्या के साथ 1 को आउटपुट करता है, द्वारा निरूपित किया जाता है

f(x)=x+1

.

यदि कोई फलन इस संकेतन में परिभाषित किया गया है, तब इसके डोमेन और कोडोमेन दोनों को निहित रूप से लिया जाता है $\mathbb {R}$ , वास्तविक संख्याओं का समुच्चय। यदि सूत्र का मूल्यांकन सभी वास्तविक संख्याओं पर नहीं किया जा सकता है, तब डोमेन को परोक्ष रूप से अधिकतम उपसमुच्चय के रूप में लिया जाता है $\mathbb {R}$ जिस पर सूत्र का मूल्यांकन किया जा सकता है; किसी फलन का डोमेन देखें।

अधिक जटिल उदाहरण कार्य है

f(x)=\sin(x^{2}+1)

.

इस उदाहरण में, फलन $f$ इनपुट के रूप में वास्तविक संख्या लेता है, इसका वर्ग करता है, फिर परिणाम में 1 जोड़ता है, फिर परिणाम की साइन लेता है, और आउटपुट के रूप में अंतिम परिणाम देता है।

जब फलन को दर्शाने वाले प्रतीक में अनेक वर्ण होते हैं और कोई अस्पष्टता उत्पन्न नहीं हो सकती है, कार्यात्मक संकेतन के कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, लिखना आम बात है $sin x$ के अतिरिक्त $sin(x)$ .

1734 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रथम बार कार्यात्मक संकेतन का उपयोग किया गया था।^[14] कुछ व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कार्यों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें अनेक अक्षर होते हैं (सामान्यतः दो या तीन, सामान्यतः उनके नाम का संक्षिप्त नाम)। इस स्थिति में, इसके अतिरिक्त रोमन प्रकार का उपयोग किया जाता है, जैसे कि $sin$ साइन फलन के लिए, एकल-अक्षर प्रतीकों के लिए इटैलिक फ़ॉन्ट के विपरीत।

इस संकेतन का उपयोग करते समय, अधिकांशतः अंकन के दुरुपयोग का सामना करना पड़ता है जिससे अंकन होता है $f (x)$ के मान को संदर्भित कर सकता है $f$ पर $x$ , या फलन के लिए ही। यदि चर $x$ पहले घोषित किया गया था, फिर अंकन $f (x)$ स्पष्ट रूप से का अर्थ है $f$ पर $x$ . अन्यथा, दोनों साथ होने के रूप में संकेतन को समझना उपयोगी है; यह किसी को दो कार्यों की संरचना को निरूपित करने की अनुमति देता है $f$ तथा $g$ अंकन द्वारा संक्षिप्त विधि से $f (g (x))$ .

चूँकि, भेद $f$ तथा $f (x)$ उन स्थितियों में महत्वपूर्ण हो सकता है जहां कार्य स्वयं अन्य कार्यों के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं। (किसी अन्य फलन को इनपुट के रूप में लेने वाले फलन को फलन (गणित) कहा जाता है।) फलनों को नोट करने के अन्य विधि, जिनका विवरण नीचे दिया गया है, इस समस्या से बचते हैं किन्तु सामान्यतः कम उपयोग किए जाते हैं।

तीर अंकन

एरो अंकन फलन को दिए जाने वाले नाम की आवश्यकता के बिना फलन इनलाइन के नियम को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, $x\mapsto x+1$ वह कार्य है जो वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और उस संख्या के साथ 1 को आउटपुट करता है। फिर से डोमेन और कोडोमेन $\mathbb {R}$ निहित है।

डोमेन और कोडोमेन को भी स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}

यह फलन को परिभाषित करता है $sqr$ पूर्णांकों से पूर्णांकों तक जो इसके इनपुट का वर्ग लौटाता है।

तीर संकेतन के सामान्य अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए $f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)$ दो चर में कार्य है, और हम आंशिक अनुप्रयोग का उल्लेख करना चाहते हैं $X\to Y$ मूल्य के लिए दूसरा तर्क तय करके उत्पादित $t 0$ नया फलन नाम प्रस्तुत किए बिना। विचाराधीन मानचित्र को निरूपित किया जा सकता है $x\mapsto f(x,t_{0})$ तीर संकेतन का उपयोग करना। भावाभिव्यक्ति $x\mapsto f(x,t_{0})$ (पढ़ें: नक्शा ले रहा है $x$ प्रति $f (x, t 0)$ ) केवल तर्क के साथ इस नए फलन का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि अभिव्यक्ति $f (x 0, t 0)$ फलन के मान को संदर्भित करता है $f$ पर point $(x 0, t 0)$ .

इंडेक्स अंकन

कार्यात्मक संकेतन के अतिरिक्त अधिकांशतः सूचकांक संकेतन का उपयोग किया जाता है। अर्थात् लिखने के अतिरिक्त $f (x)$ , लिखता है $f_{x}.$ यह सामान्यतः उन कार्यों के स्थिति में होता है जिनका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। इस तरह के फलन को अनुक्रम (गणित) कहा जाता है, और इस स्थिति में तत्व $f_{n}$ कहा जाता है $n$ अनुक्रम का वें तत्व।

इंडेक्स अंकन का उपयोग अधिकांशतः कुछ वेरिएबल्स को अलग करने के लिए भी किया जाता है जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है जो वास्तविक चर से होते हैं। वास्तव में, पैरामीटर विशिष्ट चर होते हैं जिन्हें किसी समस्या के अध्ययन के समय निश्चित माना जाता है। उदाहरण के लिए, नक्शा $x\mapsto f(x,t)$ (ऊपर देखें) निरूपित किया जाएगा $f_{t}$ यदि हम मानचित्रों के संग्रह को परिभाषित करते हैं, तो सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए $f_{t}$ सूत्र द्वारा $f_{t}(x)=f(x,t)$ सभी के लिए $x,t\in X$ .

डॉट अंकन

अंकन में $x\mapsto f(x),$ प्रतीक $x$ किसी भी मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, यह केवल प्लेसहोल्डर का नाम है जिसका अर्थ है कि, यदि $x$ तीर के बाईं ओर किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जाता है, इसे तीर के दाईं ओर समान मान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। इसलिए, $x$ किसी भी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अधिकांशतः इंटरपंक्चर $\cdot$ . यह फलन को अलग करने के लिए उपयोगी हो सकता है $f (\cdot)$ इसके मूल्य से $f (x)$ पर $x$ .

उदाहरण के लिए, $a(\cdot )^{2}$ फलन के लिए खड़ा हो सकता है $x\mapsto ax^{2}$ , तथा ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ वेरिएबल अपर बाउंड के साथ इंटीग्रल द्वारा परिभाषित फलन के लिए खड़ा हो सकता है: ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$ .

विशिष्ट अंकन

गणित के उप-विषयों में कार्यों के लिए अन्य विशिष्ट संकेतन हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, रैखिक रूप और वेक्टर (गणित और भौतिकी) जिन पर वे कार्य करते हैं, उन्हें अंतर्निहित द्वैत (गणित) दिखाने के लिए दोहरी जोड़ी का उपयोग करके निरूपित किया जाता है। यह क्वांटम यांत्रिकी में ब्रा-केट अंकन के उपयोग के समान है। गणितीय तर्क और संगणना के सिद्धांत में, लैम्ब्डा कैलकुलस के फलन अंकन का उपयोग फलन एब्स्ट्रेक्शन (कंप्यूटर साइंस) और फलन आवेदन की मूल धारणाओं को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत और समरूप बीजगणित में, कार्यों के नेटवर्क का वर्णन किया गया है कि कैसे वे और उनकी रचनाएँ क्रमविनिमेय आरेखों का उपयोग करते हुए दूसरे के साथ क्रमविनिमेय गुण हैं जो ऊपर वर्णित कार्यों के लिए तीर संकेतन का विस्तार और सामान्यीकरण करते हैं।

अन्य शर्तें

Term	Distinction from "फलन"
Map/Mapping	None; the terms are synonymous.^[15]
	A map can have any set as its codomain, while, in some contexts, typically in older books, the codomain of a फलन is specifically the set of real or complex numbers.^[16]
	Alternatively, a map is associated with a special structure (e.g. by explicitly specifying a structured codomain in its definition). For example, a linear map.^[17]
Homomorphism	A फलन between two structures of the same type that preserves the operations of the structure (e.g. a group homomorphism).^[18]
Morphism	A generalisation of homomorphisms to any category, even when the objects of the category are not sets (for example, a group defines a category with only one object, which has the elements of the group as morphisms; see Category (mathematics) § Examples for this example and other similar ones).^[19]

फलन को अधिकांशतः मैप या मैपिंग भी कहा जाता है, किन्तु कुछ लेखक शब्द मैप और फलन के मध्य अंतर करते हैं। उदाहरण के लिए, शब्द मानचित्र अधिकांशतः किसी प्रकार की विशेष संरचना वाले फलन के लिए आरक्षित होता है (उदाहरण के लिए मैनिफोल्ड्स के मानचित्र)। संक्षिप्तता के लिए विशेष रूप से मानचित्र का प्रयोग अधिकांशतः समरूपता के स्थान पर किया जाता है (उदाहरण के लिए, रेखीय मानचित्र या से मानचित्र) $G$ प्रति $H$ समूह समरूपता के अतिरिक्त $G$ प्रति $H$ ). कुछ लेखक^[20] उस स्थिति के लिए मैपिंग शब्द आरक्षित करें जहां कोडोमेन की संरचना स्पष्ट रूप से फलन की परिभाषा से संबंधित है।

कुछ लेखक, जैसे सर्ज लैंग,^[21] फलन का उपयोग केवल उन मानचित्रों को संदर्भित करने के लिए करें जिनके लिए कोडोमेन वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं का उपसमुच्चय है, और अधिक सामान्य कार्यों के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करें।

गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में, मानचित्र असतत-समय गतिशील प्रणाली को दर्शाता है जिसका उपयोग गतिशील प्रणाली#मानचित्र बनाने के लिए किया जाता है। पोंकारे नक्शा भी देखें।

मानचित्र की चाहे जिस भी परिभाषा का प्रयोग किया गया हो, संबंधित शब्द जैसे फलन का डोमेन, कोडोमेन, अंतःक्षेपी फलन, सतत फलन का वही अर्थ होता है जो फलन का होता है।

फलन निर्दिष्ट करना

फलन दिया $f$ , परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक तत्व के लिए $x$ फलन के डोमेन का $f$ , इसके साथ अनूठा तत्व जुड़ा हुआ है, मूल्य $f(x)$ का $f$ पर $x$ . कैसे निर्दिष्ट या वर्णन करने के अनेक विधि हैं $x$ से संबंधित है $f(x)$ , दोनों स्पष्ट रूप से और अप्रत्यक्ष रूप से। कभी-कभी, प्रमेय या अभिगृहीत कुछ गुणधर्मों वाले फलन के अस्तित्व पर जोर देता है, इसे अधिक त्रुटिहीन वर्णन किए बिना। अधिकांशतः, विनिर्देश या विवरण को फलन की परिभाषा के रूप में संदर्भित किया जाता है $f$ .

फलन मानों को सूचीबद्ध करके

परिमित समूह पर, डोमेन के तत्वों से जुड़े कोडोमेन के तत्वों को सूचीबद्ध करके फलन परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $A=\{1,2,3\}$ , तब कोई फलन को परिभाषित कर सकता है $f\colon A\to \mathbb {R}$ द्वारा $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$

सूत्र द्वारा

कार्यों को अधिकांशतः बंद-रूप अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया जाता है जो अंकगणितीय संक्रियाओं और पहले परिभाषित कार्यों के संयोजन का वर्णन करता है; ऐसा सूत्र डोमेन के किसी भी तत्व के मान से फलन के मान की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में, $f$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $f(n)=n+1$ , के लिये $n\in \{1,2,3\}$ .

जब किसी फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है, तो कभी-कभी उसके प्रांत का निर्धारण कठिन हो जाता है। यदि फलन को परिभाषित करने वाले सूत्र में विभाजन होते हैं, तो वेरिएबल के मान जिसके लिए भाजक शून्य है, को डोमेन से बाहर रखा जाना चाहिए; इस प्रकार, जटिल कार्य के लिए, डोमेन का निर्धारण सहायक कार्यों के फलन के शून्य की गणना के माध्यम से गुजरता है। इसी प्रकार, यदि किसी फलन की परिभाषा में वर्गमूल होते हैं $\mathbb {R}$ प्रति $\mathbb {R} ,$ डोमेन चर के मानों के समूह में सम्मिलित है जिसके लिए वर्गमूल के तर्क गैर-नकारात्मक हैं।

उदाहरण के लिए, $f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ फलन को परिभाषित करता है $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ जिसका डोमेन है $\mathbb {R} ,$ इसलिये $1+x^{2}$ यदि हमेशा सकारात्मक होता है $x$ वास्तविक संख्या है। दूसरी ओर, $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ फलन को वास्तविक से वास्तविक तक परिभाषित करता है जिसका डोमेन अंतराल तक कम हो जाता है $[-1, 1]$ . (पुराने ग्रंथों में, ऐसे डोमेन को फलन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता था।)

कार्यों को अधिकांशतः उन सूत्रों की प्रकृति द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं:

द्विघात फलन ऐसा फलन है जिसे लिखा जा सकता है $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ कहाँ पे $a, b, c$ स्थिर हैं (गणित)।
अधिक सामान्यतः, बहुपद फलन ऐसा फलन होता है जिसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसमें गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए केवल जोड़, घटाव, गुणा और घातांक सम्मिलित होते हैं। उदाहरण के लिए, $f(x)=x^{3}-3x-1,$ तथा $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.$
परिमेय फलन वही होता है, जिसमें विभाजन की भी अनुमति होती है, जैसे $f(x)={\frac {x-1}{x+1}},$ तथा $f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.$
बीजगणितीय फलन nवें मूल के साथ समान होता है $n$ फलन के वें मूल और शून्य की भी अनुमति है।
प्राथमिक कार्य^{[note 4]} लघुगणक और चरघातांकी फलनों की अनुमति के साथ समान है।

उलटा और अंतर्निहित कार्य

फलन $f\colon X\to Y,$ डोमेन के साथ $X$ और कोडोमेन $Y$ , विशेषण है, यदि प्रत्येक के लिए $y$ में $Y$ , और केवल तत्व है $x$ में $X$ ऐसा है कि $y = f (x)$ . इस स्थिति में, का उलटा कार्य $f$ कार्य है $f^{-1}\colon Y\to X$ वह मानचित्र $y\in Y$ तत्व को $x\in X$ ऐसा है कि $y = f (x)$ . उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक धनात्मक वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं का विशेषण फलन है। इस प्रकार इसका व्युत्क्रम होता है, जिसे घातांक प्रकार्य कहा जाता है, जो वास्तविक संख्याओं को धनात्मक संख्याओं पर मैप करता है।

यदि कोई फलन $f\colon X\to Y$ वस्तुनिष्ठ नहीं है, ऐसा हो सकता है कि कोई सबसमूह का चयन कर सकता है $E\subseteq X$ तथा $F\subseteq Y$ जैसे कि फलन का प्रतिबंध $f$ प्रति $E$ से आपत्ति है $E$ प्रति $F$ , और इस प्रकार व्युत्क्रम है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को इस तरह परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, कोसाइन फलन, प्रतिबंध द्वारा, अंतराल (गणित) से आक्षेप को प्रेरित करता है $[0, π]$ अंतराल पर $[-1, 1]$ , और इसका व्युत्क्रम कार्य, जिसे कोटिकोज्या कहा जाता है, मानचित्र $[-1, 1]$ पर $[0, π]$ . अन्य व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को इसी तरह परिभाषित किया गया है।

अधिक सामान्यतः, द्विआधारी संबंध दिया $R$ दो समूह के मध्य $X$ तथा $Y$ , होने देना $E$ का उपसमुच्चय हो $X$ ऐसा है कि, हर के लिए $x\in E,$ वहां कुछ है $y\in Y$ ऐसा है कि $x R y$ . यदि किसी के पास ऐसे चयन की अनुमति देने वाला मानदंड है $y$ हरके लिए $x\in E,$ यह फलन को परिभाषित करता है $f\colon E\to Y,$ अंतर्निहित कार्य कहा जाता है, क्योंकि यह संबंध द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित होता है $R$ .

उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल का समीकरण $x^{2}+y^{2}=1$ वास्तविक संख्याओं पर संबंध को परिभाषित करता है। यदि $-1 < x < 1$ के दो संभावित मान हैं $y$ , सकारात्मक और नकारात्मक। के लिये $x = \pm 1$ , ये दोनों मान 0 के बराबर हो जाते हैं। अन्यथा, का कोई संभावित मान नहीं है $y$ . इसका अर्थ है कि समीकरण डोमेन के साथ दो निहित कार्यों को परिभाषित करता है $[-1, 1]$ और संबंधित कोडोमेन $[0, +\infty)$ तथा $(-\infty, 0]$ .

इस उदाहरण में, समीकरण को हल किया जा सकता है $y$ , दे रहा है $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$ किन्तु, अधिक जटिल उदाहरणों में, यह असंभव है। उदाहरण के लिए, संबंध $y^{5}+y+x=0$ को परिभाषित करता है $y$ के निहित कार्य के रूप में $x$ , जिसे कट्टरपंथी लाओ कहा जाता है, जिसके पास है $\mathbb {R}$ डोमेन और रेंज के रूप में। ब्रिंग रेडिकल को चार अंकगणितीय संक्रियाओं और nवें मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है $n$ वें जड़ें।

निहित कार्य प्रमेय बिंदु के पड़ोस में अस्तित्व और अंतर्निहित कार्य की विशिष्टता के लिए हल्की भिन्नता की स्थिति प्रदान करता है।

डिफरेंशियल कैलकुलस का प्रयोग

अनेक कार्यों को दूसरे फलन के प्रतिपक्षी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक लघुगणक का स्थिति है, जो का प्रतिपक्षी है $1/ x$ वह 0 के लिए है $x = 1$ . अन्य सामान्य उदाहरण त्रुटि फलन है।

अधिक सामान्यतः, अधिकांश विशेष कार्यों सहित अनेक कार्यों को अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। सबसे सरल उदाहरण संभवतः विशेष फलन है, जिसे अद्वितीय फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो इसके डेरिवेटिव के बराबर है और इसके लिए मान 1 लेता है $x = 0$ .

पावर श्रृंखला का उपयोग उस डोमेन पर कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें वे अभिसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, चरघातांकी फलन द्वारा दिया जाता है $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$ . चूँकि, जैसा कि श्रृंखला के गुणांक अधिक मनमाना होते हैं, फलन जो अभिसारी श्रृंखला का योग होता है, सामान्यतः अन्यथा परिभाषित किया जाता है, और गुणांक का क्रम किसी अन्य परिभाषा के आधार पर कुछ संगणना का परिणाम होता है। फिर, फलन के डोमेन को बढ़ाने के लिए पावर श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। सामान्यतः, यदि वास्तविक चर के लिए फलन कुछ अंतराल में टेलर श्रृंखला का योग है, तो यह शक्ति श्रृंखला तुरंत डोमेन को जटिल संख्याओं के सबसमूह में विस्तारित करने की अनुमति देती है, श्रृंखला के अभिसरण की डिस्क। फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता लगभग पूरे जटिल विमान को सम्मिलित करने के लिए डोमेन को आगे बढ़ाने की अनुमति देती है। यह प्रक्रिया वह विधि है जो सामान्यतः जटिल संख्या के लघुगणक, घातीय कार्य और त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाती है।

पुनरावृत्ति द्वारा

ऐसे कार्य जिनके डोमेन गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, जिन्हें अनुक्रम के रूप में जाना जाता है, अधिकांशतः पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा परिभाषित किए जाते हैं।

अऋणात्मक पूर्णांकों पर भाज्य फलन ( $n\mapsto n!$ ) मूल उदाहरण है, क्योंकि इसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,

और प्रारंभिक स्थिति

0!=1.

फलन का प्रतिनिधित्व करना

किसी फलन का ग्राफ़ सामान्यतः किसी फलन की सहज तस्वीर देने के लिए उपयोग किया जाता है। किसी फलन को समझने में ग्राफ़ कैसे मदद करता है, इसके उदाहरण के रूप में, इसके ग्राफ़ से यह देखना आसान है कि कोई फलन बढ़ रहा है या घट रहा है। कुछ कार्यों को बार चार्ट द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है।

रेखांकन और प्लॉट

फलन मैपिंग प्रत्येक वर्ष इसकी यूएस मोटर वाहन मृत्यु गणना के लिए, पंक्ति चार्ट के रूप में दिखाया गया है

समान कार्य, बार चार्ट के रूप में दिखाया गया है

फलन दिया $f\colon X\to Y,$ इसका ग्राफ, औपचारिक रूप से, समूह है

G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.

अधिकांशतः स्थिति में जहां $X$ तथा $Y$ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय हैं (या ऐसे उपसमुच्चयों से पहचाने जा सकते हैं, जैसे अंतराल (गणित)), तत्व $(x,y)\in G$ निर्देशांक वाले बिंदु से पहचाना जा सकता है $x, y$ द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, उदा। कार्टेशियन विमान। इसके भाग प्लॉट (ग्राफिक्स) बना सकते हैं जो फलन (भागों) का प्रतिनिधित्व करता है। प्लॉट्स का उपयोग इतना सर्वव्यापी है कि उन्हें भी फंक्शन का ग्राफ कहा जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में कार्यों का ग्राफिक प्रतिनिधित्व भी संभव है। उदाहरण के लिए, वर्ग फलन का ग्राफ़

x\mapsto x^{2},

निर्देशांक के साथ सभी बिंदुओं से मिलकर $(x,x^{2})$ के लिये $x\in \mathbb {R} ,$ उपज, जब कार्टेशियन निर्देशांक में चित्रित किया जाता है, तो प्रसिद्ध परवलय यदि समान द्विघात कार्य $x\mapsto x^{2},$ ही औपचारिक ग्राफ के साथ, संख्याओं के जोड़े से मिलकर, ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉट किया जाता है $(r,\theta )=(x,x^{2}),$ प्राप्त प्लॉट फ़र्मेट का सर्पिल है।

टेबल्स

फलन को मानों की तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि किसी फलन का प्रांत परिमित है, तो फलन को इस प्रकार पूर्णतया निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुणन फलन $f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है $f(x,y)=xy$ परिचित गुणन तालिका द्वारा दर्शाया जा सकता है

$y$ $x$	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

दूसरी ओर, यदि किसी फलन का डोमेन निरंतर है, तो तालिका डोमेन के विशिष्ट मानों पर फलन के मान दे सकती है। यदि मध्यवर्ती मान की आवश्यकता है, तो फलन के मान का अनुमान लगाने के लिए प्रक्षेप का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साइन फलन के लिए तालिका का भाग निम्नानुसार दिया जा सकता है, जिसमें 6 दशमलव स्थानों पर मान होते हैं:

$x$	$sin x$
1.289	0.960557
1.290	0.960835
1.291	0.961112
1.292	0.961387
1.293	0.961662

हैंडहेल्ड कैलकुलेटर और पर्सनल कंप्यूटर के आगमन से पहले, ऐसी तालिकाओं को अधिकांशतः लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों जैसे कार्यों के लिए संकलित और प्रकाशित किया जाता था।

बार चार्ट

बार चार्ट का उपयोग अधिकांशतः उन कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिनका डोमेन परिमित समूह, प्राकृतिक संख्या या पूर्णांक है। इस स्थिति में, तत्व $x$ डोमेन का अंतराल (गणित) द्वारा दर्शाया गया है $x$ -अक्ष, और फलन का संगत मान, $f (x)$ , आयत द्वारा दर्शाया गया है जिसका आधार अंतराल के अनुरूप है $x$ और किसकी ऊंचाई है $f (x)$ (संभवतः ऋणात्मक, जिस स्थिति में बार नीचे विस्तारित होता है $x$ -एक्सिस)।

सामान्य गुण

यह खंड कार्यों के सामान्य गुणों का वर्णन करता है, जो डोमेन और कोडोमेन के विशिष्ट गुणों से स्वतंत्र हैं।

मानक कार्य

अनेक मानक कार्य हैं जो अधिकांशतः होते हैं:

हर समूह के लिए $X$ , अनूठा कार्य है, जिसे कहा जाता हैempty function, या खाली नक्शा, खाली समूह से तक $X$ . खाली फलन का ग्राफ़ खाली समूह है।^{[note 5]} सिद्धांत की सुसंगतता और अनेक कथनों में खाली समूह से संबंधित अपवादों से बचने के लिए खाली कार्यों के अस्तित्व की आवश्यकता है। टपल (या समतुल्य वाले) के रूप में फलन की सामान्य समूह-सैद्धांतिक परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक समूह के लिए बिल्कुल खाली फलन होता है, इस प्रकार खाली फलन $\varnothing \mapsto X$ के बराबर नहीं है $\varnothing \mapsto Y$ यदि और केवल यदि $X\neq Y$ , चूंकि उनका ग्राफ दोनों खाली समूह हैं।
हर समूह के लिए $X$ और हर सिंगलटन समूह ${s}$ , से अनूठा कार्य है $X$ प्रति ${s}$ , जो हर तत्व को मैप करता है $X$ प्रति $s$ . यह अनुमान है (नीचे देखें) जब तक $X$ खाली समूह है।
फलन दिया $f\colon X\to Y,$ का विहित अनुमान $f$ इसकी छवि पर $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ से फलन है $X$ प्रति $f (X)$ वह मानचित्र $x$ प्रति $f (x)$ .
प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A$ समूह का $X$ , का समावेशन मानचित्र $A$ में $X$ इंजेक्शन (नीचे देखें) फलन है जो प्रत्येक तत्व को मैप करता है $A$ खुद को।
समूह पर पहचान फलन $X$ , अधिकांशतः द्वारा निरूपित $id X$ , का समावेश है $X$ अपने आप में।

फलन संरचना

दो कार्य दिए गए $f\colon X\to Y$ तथा $g\colon Y\to Z$ ऐसा है कि का डोमेन $g$ का कोडोमेन है $f$ , उनकी रचना कार्य है $g\circ f\colon X\rightarrow Z$ द्वारा परिभाषित

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

अर्थात् का मूल्य $g\circ f$ प्रथम आवेदन करने पर प्राप्त होता है $f$ प्रति $x$ प्राप्त करने के लिए $y = f (x)$ और फिर आवेदन करना $g$ परिणाम के लिए $y$ प्राप्त करने के लिए $g (y) = g (f (x))$ . अंकन में जो फलन पहले लागू होता है उसे हमेशा दाईं ओर लिखा जाता है।

रचना $g\circ f$ कार्यों पर ऑपरेशन (गणित) है जिसे केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब पहले फलन का कोडोमेन दूसरे का डोमेन हो। यहां तक कि जब दोनों $g\circ f$ तथा $f\circ g$ इन शर्तों को पूरा करते हैं, संरचना अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय संपत्ति नहीं है, अर्थात, कार्य $g\circ f$ तथा $f\circ g$ समान होना आवश्यक नहीं है, किन्तु ही तर्क के लिए अलग-अलग मान प्रदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, चलो $f (x) = x 2$ तथा $g (x) = x + 1$ , फिर $g(f(x))=x^{2}+1$ तथा $f(g(x))=(x+1)^{2}$ के लिए ही सहमत हैं $x=0.$ फलन रचना इस अर्थ में साहचर्य संपत्ति है कि, यदि कोई है $(h\circ g)\circ f$ तथा $h\circ (g\circ f)$ परिभाषित है, तो दूसरा भी परिभाषित है, और वे बराबर हैं। इस प्रकार, कोई लिखता है

h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).

पहचान कार्य करती है $\operatorname {id} _{X}$ तथा $\operatorname {id} _{Y}$ से कार्यों के लिए क्रमशः सही पहचान और बाईं पहचान हैं $X$ प्रति $Y$ . अर्थात् यदि $f$ डोमेन के साथ कार्य है $X$ , और कोडोमेन $Y$ , किसी के पास $f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.$

A composite function g(f(x)) can be visualized as the combination of two "machines".
A simple example of a function composition
Another composition. In this example, $(g \circ f)(c) = #$ .

इमेज और प्रीइमेज

होने देना $f\colon X\to Y.$ नीचे की छवि $f$ तत्व का $x$ डोमेन का $X$ है $f (x)$ .^[9]यदि $A$ का कोई उपसमुच्चय है $X$ , फिर की छवि $A$ नीचे $f$ , निरूपित $f (A)$ , कोडोमेन का सबसमूह है $Y$ के तत्वों की सभी छवियों से मिलकर $A$ ,^[9]वह है,

f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.

की छवि $f$ संपूर्ण डोमेन की छवि है, अर्थात, $f (X)$ .^[22] इसे के फलन की श्रेणी भी कहते हैं $f$ ,^[9]^[10]^[11]^[12] चूंकि टर्म रेंज कोडोमेन को भी संदर्भित कर सकता है।^[12]^[22]^[23] दूसरी ओर, उलटा छवि या preimage के अनुसार $f$ तत्व का $y$ कोडोमेन का $Y$ डोमेन के सभी तत्वों का समूह है $X$ जिनकी इमेज के नीचे $f$ बराबर $y$ .^[9]प्रतीकों में, की प्रधानता $y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $f^{-1}(y)$ और समीकरण द्वारा दिया गया है

f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.

इसी तरह, उपसमुच्चय की पूर्वकल्पना $B$ कोडोमेन का $Y$ के तत्वों की पूर्वकल्पनाओं का समुच्चय है $B$ , अर्थात यह डोमेन का सबसमूह है $X$ के सभी तत्वों से मिलकर बनता है $X$ जिनकी छवियां हैं $B$ .^[9]द्वारा निरूपित किया जाता है $f^{-1}(B)$ और समीकरण द्वारा दिया गया है

f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.

उदाहरण के लिए, की पूर्वकल्पना $\{4,9\}$ स्क्वायर फलन के अनुसार समूह है $\{-3,-2,2,3\}$ .

किसी फलन की परिभाषा के अनुसार, किसी तत्व की छवि $x$ डोमेन का हमेशा कोडोमेन का तत्व होता है। चूंकि, प्रीइमेज $f^{-1}(y)$ तत्व का $y$ कोडोमेन का खाली समूह हो सकता है या इसमें तत्वों की संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ पूर्णांकों से स्वयं तक का कार्य है जो प्रत्येक पूर्णांक को 0 पर मैप करता है, फिर $f^{-1}(0)=\mathbb {Z}$ .

यदि $f\colon X\to Y$ फलन है, $A$ तथा $B$ के उपसमुच्चय हैं $X$ , तथा $C$ तथा $D$ के उपसमुच्चय हैं $Y$ , तब किसी के पास निम्नलिखित गुण होते हैं:

$A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$
$C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$
$A\subseteq f^{-1}(f(A))$
$C\supseteq f(f^{-1}(C))$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$
$f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$

द्वारा प्रीइमेज $f$ तत्व का $y$ कोडोमेन को कभी-कभी, कुछ संदर्भों में, का फाइबर (गणित) कहा जाता है $y$ नीचे $f$ .

यदि कोई फलन $f$ व्युत्क्रम है (नीचे देखें), इस व्युत्क्रम को निरूपित किया गया है $f^{-1}.$ इस स्थिति में $f^{-1}(C)$ द्वारा या तो छवि को निरूपित कर सकते हैं $f^{-1}$ या द्वारा प्रीइमेज $f$ का $C$ . यह कोई समस्या नहीं है, क्योंकि ये समूह बराबर हैं। अंकन $f(A)$ तथा $f^{-1}(C)$ समूह के स्थिति में अस्पष्ट हो सकता है जिसमें कुछ उपसमुच्चय तत्वों के रूप में होते हैं, जैसे $\{x,\{x\}\}.$ इस स्थिति में, कुछ देखभाल की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, वर्गाकार कोष्ठकों का उपयोग करके $f[A],f^{-1}[C]$ छवियों और तत्वों की छवियों और छवियों के लिए उपसमुच्चय और साधारण कोष्ठकों की पूर्व-छवियों के लिए।

विशेषण, विशेषण और विशेषण कार्य

होने देना $f\colon X\to Y$ फलन हो।

कार्यक्रम $f$ इंजेक्शन फलन है (या एक-से-एक, या इंजेक्शन है) यदि $f (a) \neq f (b)$ किसी भी दो अलग-अलग तत्वों के लिए $a$ तथा $b$ का $X$ .^[22]^[24] समान रूप से, $f$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि, किसी के लिए $y\in Y,$ पूर्व चित्र $f^{-1}(y)$ अधिकतम तत्व सम्मिलित है। खाली कार्य हमेशा इंजेक्शन होता है। यदि $X$ तब खाली समुच्चय नहीं है $f$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि कोई फलन उपस्तिथ है $g\colon Y\to X$ ऐसा है कि $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ वह है, यदि $f$ बायां उलटा कार्य है।^[24]सबूत: यदि $f$ इंजेक्शन है, परिभाषित करने के लिए $g$ , कोई तत्व चुनता है $x_{0}$ में $X$ (जो के रूप में उपस्तिथ है $X$ गैर-खाली माना जाता है),^{[note 6]} और परिभाषित करता है $g$ द्वारा $g(y)=x$ यदि $y=f(x)$ तथा $g(y)=x_{0}$ यदि $y\not \in f(X).$ इसके विपरीत यदि $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ तथा $y=f(x),$ फिर $x=g(y),$ और इस तरह $f^{-1}(y)=\{x\}.$ कार्यक्रम $f$ आच्छादक है (या आच्छादक, या आक्षेप है) यदि इसकी सीमा है $f(X)$ इसके कोडोमेन के बराबर है $Y$ , अर्थात, यदि, प्रत्येक तत्व के लिए $y$ कोडोमेन का, कुछ तत्व उपस्तिथ है $x$ डोमेन का ऐसा है $f(x)=y$ (दूसरे शब्दों में, प्रीइमेज $f^{-1}(y)$ हरेक का $y\in Y$ खाली नहीं है)।^[22]^[25] यदि, हमेशा की तरह, आधुनिक गणित में, पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाता है, तो $f$ विशेषण है यदि और केवल यदि कोई कार्य उपस्तिथ है $g\colon Y\to X$ ऐसा है कि $f\circ g=\operatorname {id} _{Y},$ वह है, यदि $f$ सही उलटा कार्य है।^[25]पसंद के स्वयंसिद्ध की जरूरत है, क्योंकि, यदि $f$ विशेषण है, परिभाषित करता है $g$ द्वारा $g(y)=x,$ कहाँ पे $x$ का मनमाने ढंग से चुना गया तत्व है $f^{-1}(y).$ कार्यक्रम $f$ विशेषण है (या आक्षेप या एक-से-पत्राचार है) यदि यह अंतःक्षेपी और विशेषण दोनों है।^[22]^[26] वह है, $f$ विशेषण है यदि, किसी के लिए $y\in Y,$ पूर्व चित्र $f^{-1}(y)$ ठीक तत्व होता है। कार्यक्रम $f$ विशेषण है यदि और केवल यदि यह व्युत्क्रम फलन को स्वीकार करता है, जो कि फलन है $g\colon Y\to X$ ऐसा है कि $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ तथा $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.$ ^[26](विपरीत अनुमानों के स्थिति में, इसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है; प्रमाण सीधा है)।

हर फलन $f\colon X\to Y$ रचना के रूप में गुणनखंड हो सकता है $i\circ s$ अनुमान के बाद इंजेक्शन, जहां $s$ का विहित अनुमान है $X$ पर $f (X)$ तथा $i$ का विहित इंजेक्शन है $f (X)$ में $Y$ . यह का विहित गुणनखंडन है $f$ .

एक-से-और पर ऐसे शब्द हैं जो पुराने अंग्रेजी भाषा के साहित्य में अधिक सामान्य थे; विशेषण, विशेषण, और विशेषण मूल रूप से 20 वीं शताब्दी की दूसरी तिमाही में निकोलस बोरबाकी द्वारा फ्रांसीसी शब्द के रूप में गढ़े गए थे और अंग्रेजी में आयात किए गए थे।^{[citation needed]} सावधानी के शब्द के रूप में, एक-से-फलन वह है जो इंजेक्शन है, जबकि एक-से-पत्राचार विशेषण फलन को संदर्भित करता है। साथ ही, कथन $f$  एमएपीएस  $X$  पर  $Y$ से भिन्न है $f$  एमएपीएस  $X$  में  $B$ , इसमें पूर्व का तात्पर्य है  $f$  विशेषण है, जबकि उत्तरार्द्ध की प्रकृति के बारे में कोई प्रामाणित नहीं करता है  $f$ . जटिल तर्क में, अक्षर का अंतर आसानी से छूट सकता है। इस पुरानी शब्दावली की भ्रामक प्रकृति के कारण, इन शब्दों की लोकप्रियता बॉर्बकियन शब्दों के सापेक्ष कम हो गई है, जिन्हें अधिक सममित होने का लाभ भी है।

प्रतिबंध और विस्तार

यदि $f\colon X\to Y$ फलन है और S, X का उपसमुच्चय है, तो का प्रतिबंध $f$ एस के लिए, निरूपित $f|_{S}$ , S से Y तक का कार्य परिभाषित है

f|_{S}(x)=f(x)

एस में सभी एक्स के लिए। आंशिक उलटा कार्यों को परिभाषित करने के लिए प्रतिबंधों का उपयोग किया जा सकता है: यदि किसी फलन के डोमेन का सबसमूह एस है $f$ ऐसा है कि $f|_{S}$ अंतःक्षेपी है, तो का विहित अनुमान $f|_{S}$ इसकी छवि पर $f|_{S}(S)=f(S)$ आक्षेप है, और इस प्रकार से उलटा कार्य है $f(S)$ एस के लिए। आवेदन व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा है। उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) तक सीमित होने पर कोज्या फलन इंजेक्शन होता है $[0, π]$ . इस प्रतिबंध की छवि अंतराल है $[-1, 1]$ , और इस प्रकार प्रतिबंध का उलटा कार्य होता है $[-1, 1]$ प्रति $[0, π]$ , जिसे आर्ककोसाइन कहा जाता है और निरूपित किया जाता है $arccos$ .

फलन प्रतिबंध का उपयोग साथ ग्लूइंग फलनों के लिए भी किया जा सकता है। होने देना ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ का अपघटन हो $X$ सबसमूह के संघ स्थापित करें के रूप में, और मान लीजिए कि फलन $f_{i}\colon U_{i}\to Y$ प्रत्येक पर परिभाषित किया गया है $U_{i}$ ऐसा कि प्रत्येक जोड़ी के लिए $i,j$ सूचकांकों की, के प्रतिबंध $f_{i}$ तथा $f_{j}$ प्रति $U_{i}\cap U_{j}$ बराबर हैं। फिर यह अद्वितीय कार्य को परिभाषित करता है $f\colon X\to Y$ ऐसा है कि $f|_{U_{i}}=f_{i}$ सभी के लिए $i$ . यह वह विधि है जिससे विविध पर कार्य परिभाषित किए जाते हैं।

फलन का विस्तार $f$ कार्य है $g$ ऐसा है कि $f$ का प्रतिबंध है $g$ . इस अवधारणा का विशिष्ट उपयोग विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया है, जो उन कार्यों को विस्तारित करने की अनुमति देता है जिनके डोमेन जटिल विमान का छोटा सा हिस्सा है, जिसका डोमेन लगभग संपूर्ण जटिल विमान है।

वास्तविक रेखा के होमोग्राफी का अध्ययन करते समय सामने आने वाले फलन एक्सटेंशन का और मौलिक उदाहरण यहां दिया गया है। होमोग्राफी फंक्शन है $h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ ऐसा है कि $ad - bc \neq 0$ . इसका प्रांत, से भिन्न सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है $-d/c,$ और इसका प्रतिबिम्ब भिन्न सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है $a/c.$ यदि कोई वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा तक सम्मिलित करके बढ़ाता है $\infty$ , कोई विस्तार कर सकता है $h$ समूहिंग द्वारा विस्तारित वास्तविक रेखा से स्वयं के लिए आक्षेप के लिए $h(\infty )=a/c$ तथा $h(-d/c)=\infty$ .

बहुभिन्नरूपी कार्य

thumb|बाइनरी ऑपरेशन बिवरिएट फलन का विशिष्ट उदाहरण है जो प्रत्येक जोड़ी को असाइन करता है $(x,y)$ परिणाम $x\circ y$ .|link=|alt={\displaystyle (x,y)}बहुभिन्नरूपी कार्य, या अनेक चर का कार्य ऐसा कार्य है जो अनेक तर्कों पर निर्भर करता है। इस तरह के कार्यों का अधिकांशतः सामना करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, सड़क पर कार की स्थिति तय किए गए समय और उसकी औसत गति पर निर्भर करती है।

अधिक औपचारिक रूप से, का कार्य $n$ चर ऐसा कार्य है जिसका डोमेन समूह है $n$ -टुपल्स। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का गुणन दो चरों का फलन है, या द्विभाजित फलन है, जिसका डोमेन पूर्णांकों के सभी युग्मों (2-टुपल्स) का समुच्चय है, और जिसका कोडोमेन पूर्णांकों का समुच्चय है। हर बाइनरी ऑपरेशन के लिए भी यही सच है। अधिक सामान्य रूप से, प्रत्येक गणितीय संक्रिया को बहुभिन्नरूपी फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

कार्टेशियन उत्पाद $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ का $n$ समूह $X_{1},\ldots ,X_{n}$ सभी का समूह है $n$ -टुपल्स $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ऐसा है कि $x_{i}\in X_{i}$ हरके लिए $i$ साथ $1\leq i\leq n$ . इसलिए, का कार्य $n$ चर कार्य है

f\colon U\to Y,

जहां डोमेन $U$ रूप है

U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.

फलन अंकन का उपयोग करते समय, सामान्यतः ट्यूपल्स, लेखन के आसपास के कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है $f(x_{1},x_{2})$ के अतिरिक्त $f((x_{1},x_{2})).$ ऐसे स्थिति में जहां सभी $X_{i}$ समूह के बराबर हैं $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं में, के पास अनेक वास्तविक चरों का फलन होता है। यदि $X_{i}$ समूह के बराबर हैं $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याओं में, किसी के पास अनेक सम्मिश्र चरों का फलन होता है।

उन कार्यों पर भी विचार करना आम है जिनका कोडोमेन समूह का उत्पाद है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन हर जोड़ी को मैप करता है $(a, b)$ के साथ पूर्णांकों की $b \neq 0$ भागफल कहे जाने वाले पूर्णांकों के जोड़े और शेषफल:

{\begin{aligned}{\text{Euclidean division}}\colon \quad \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})&\to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\(a,b)&\mapsto (\operatorname {quotient} (a,b),\operatorname {remainder} (a,b)).\end{aligned}}

कोडोमेन सदिश स्थान भी हो सकता है। इस स्थिति में, वेक्टर-वैल्यू फलन की बात करता है। यदि डोमेन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में निहित है, या अधिक सामान्यतः अनेक गुना है, तो वेक्टर-मूल्यवान फलन को अधिकांशतः वेक्टर क्षेत्र कहा जाता है।

कलन में

17वीं सदी से प्रारंभ होकर फलन का विचार नए अतिसूक्ष्म कलन के लिए मौलिक था। उस समय, केवल वास्तविक-मूल्य वाले फलन | वास्तविक चर के फलन के वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों पर विचार किया गया था, और सभी कार्यों को सुचारू कार्य माना गया था। किन्तु परिभाषा को जल्द ही #Multivariate फलन और जटिल चर के फलनों तक बढ़ा दिया गया। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, फलन की गणितीय रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तुत की गई थी, और मनमाना डोमेन और कोडोमेन वाले फलन परिभाषित किए गए थे।

गणित के सभी क्षेत्रों में अब कार्यों का उपयोग किया जाता है। परिचयात्मक गणना में, जब शब्द फलन का उपयोग योग्यता के बिना किया जाता है, तो इसका अर्थ है वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन। फलन की अधिक सामान्य परिभाषा सामान्यतः दूसरे या तीसरे वर्ष के कॉलेज के छात्रों के लिए STEM प्रमुखता के साथ प्रस्तुत की जाती है, और उनके वरिष्ठ वर्ष में उन्हें वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण जैसे पाठ्यक्रमों में बड़े, अधिक कठोर समूहिंग में कैलकुलस से परिचित कराया जाता है।

वास्तविक कार्य

रैखिक फलन का ग्राफ

बहुपद फलन का ग्राफ, यहाँ द्विघात फलन।

दो त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ: साइन और कोसाइन।

वास्तविक फलन वास्तविक-मूल्यवान फलन है। वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन, अर्थात्, ऐसा फलन जिसका कोडोमेन वास्तविक संख्या है और जिसका प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसमें अंतराल (गणित) होता है। इस खंड में, इन कार्यों को केवल कार्य कहा जाता है।

गणित और इसके अनुप्रयोगों में जिन कार्यों पर सबसे अधिक विचार किया जाता है, उनमें कुछ नियमितता होती है, अर्थात् वे निरंतर कार्य, अवकलनीय कार्य और यहां तक कि विश्लेषणात्मक कार्य भी हैं। यह नियमितता सुनिश्चित करती है कि इन कार्यों को उनके #Graph और भूखंडों द्वारा देखा जा सकता है। इस खंड में, कुछ अंतराल में सभी कार्य अलग-अलग होते हैं।

फलनों बिंदुवार संचालन का आनंद लेते हैं, अर्थात् यदि $f$ तथा $g$ कार्य हैं, उनका योग, अंतर और उत्पाद द्वारा परिभाषित कार्य हैं

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.

परिणामी कार्यों के डोमेन के डोमेन के समूह चौराहे हैं $f$ तथा $g$ . दो फलनों के भागफल को इसी प्रकार परिभाषित किया जाता है

{\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},

किन्तु परिणामी फलन का डोमेन फलन के शून्य को हटाकर प्राप्त किया जाता है $g$ के डोमेन के चौराहे से $f$ तथा $g$ .

बहुपद फलनों को बहुपदों द्वारा परिभाषित किया जाता है, और उनका क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय होता है। इनमें निरंतर कार्य, रैखिक कार्य और द्विघात कार्य सम्मिलित हैं। परिमेय फलन दो बहुपद फलन के भागफल होते हैं, और उनका प्रांत वास्तविक संख्या होती है जिसमें शून्य से विभाजन से बचने के लिए उनमें से परिमित संख्या को हटा दिया जाता है। सबसे सरल तर्कसंगत कार्य कार्य है $x\mapsto {\frac {1}{x}},$ जिसका ग्राफ अतिशयोक्ति है, और जिसका डोमेन 0 को छोड़कर पूरी वास्तविक रेखा है।

वास्तविक भिन्न फलन का व्युत्पन्न वास्तविक फलन होता है। निरंतर वास्तविक कार्य का प्रतिपक्षी वास्तविक कार्य है जिसका मूल कार्य व्युत्पन्न के रूप में होता है। उदाहरण के लिए, फलन $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर निरंतर और यहां तक कि अवकलनीय है। इस प्रकार प्रतिपक्षी, जो शून्य के लिए मान लेता है $x = 1$ , अवकलनीय फलन है जिसे प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है।

वास्तविक कार्य $f$ अंतराल में monotonic फलन यदि का संकेत है ${\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $x$ तथा $y$ अंतराल में। यदि फलन अंतराल में अलग-अलग होता है, तो व्युत्पन्न का संकेत अंतराल में स्थिर होता है, तो यह मोनोटोनिक होता है। यदि वास्तविक कार्य $f$ अंतराल में मोनोटोनिक है $I$ , इसका व्युत्क्रम फलन है, जो प्रांत के साथ वास्तविक फलन है $f (I)$ और छवि $I$ . इस प्रकार त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित किया जाता है, जहां त्रिकोणमितीय कार्य मोनोटोनिक होते हैं। अन्य उदाहरण: प्राकृतिक लघुगणक धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकदिष्ट है, और इसकी छवि संपूर्ण वास्तविक रेखा है; इसलिए इसका व्युत्क्रम फलन है जो वास्तविक संख्याओं और धनात्मक वास्तविक संख्याओं के मध्य आक्षेप है। यह व्युत्क्रम चरघातांकी फलन है।

अनेक अन्य वास्तविक कार्यों को या तो अंतर्निहित कार्य प्रमेय (उलटा कार्य विशेष उदाहरण है) या अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, ज्या और कोज्या फलन रैखिक अवकल समीकरण के हल हैं

y''+y=0

ऐसा है कि

\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.

वेक्टर-मूल्यवान फलन

जब किसी फलन के कोडोमेन के तत्व वेक्टर (गणित और भौतिकी) होते हैं, तो फलन को वेक्टर-मूल्यवान फलन कहा जाता है। ये कार्य अनुप्रयोगों में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए भौतिक गुण मॉडलिंग। उदाहरण के लिए, वह फलन जो द्रव के प्रत्येक बिंदु से उसका वेग सदिश जोड़ता है, सदिश-मूल्यवान फलन है।

कुछ सदिश-मूल्यवान कार्यों को सबसमूह पर परिभाषित किया गया है $\mathbb {R} ^{n}$ या अन्य स्थान जो ज्यामितीय या सांस्थितिक गुणों को साझा करते हैं $\mathbb {R} ^{n}$ , जैसे अनेक गुना। इन सदिश-मूल्यवान कार्यों को सदिश क्षेत्र नाम दिया गया है।

फंक्शन स्पेस

गणितीय विश्लेषण में, और विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, फलन स्पेस अदिश-मूल्यवान फलन का समूह है | स्केलर-वैल्यू या वेक्टर-वैल्यू फलन, जो विशिष्ट संपत्ति साझा करते हैं और टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बनाते हैं। उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वास्तविक सुचारू कार्य (अर्थात, वे कुछ कॉम्पैक्ट समूह के बाहर शून्य हैं) फलन स्पेस बनाते हैं जो वितरण के सिद्धांत (गणित) के आधार पर है।

फलन के गुणों का अध्ययन करने के लिए उनके बीजगणितीय और टोपोलॉजी गुणों के उपयोग की अनुमति देकर, फलन रिक्त स्थान उन्नत गणितीय विश्लेषण में मौलिक भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, अस्तित्व के सभी प्रमेय और सामान्य अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण के समाधान की विशिष्टता फलन रिक्त स्थान के अध्ययन का परिणाम है।

बहु-मूल्यवान कार्य

साथ में, सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के दो वर्गमूल चिकनी वक्र बनाते हैं।

वास्तविक या जटिल चर के कार्यों को निर्दिष्ट करने के लिए अनेक विधि फलन की स्थानीय परिभाषा से बिंदु पर या बिंदु के पड़ोस (गणित) से प्रारंभ होते हैं, और फिर निरंतरता द्वारा फलन को बहुत बड़े डोमेन तक विस्तारित करते हैं। अधिकांशतः, प्रारंभिक बिंदु के लिए $x_{0},$ फलन के लिए अनेक संभावित प्रारंभिक मान हैं।

उदाहरण के लिए, किसी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए वर्गमूल को वर्ग फलन के व्युत्क्रम फलन के रूप में परिभाषित करने में $x_{0},$ वर्गमूल के मान के लिए दो विकल्प हैं, जिनमें से सकारात्मक और निरूपित है ${\sqrt {x_{0}}},$ और दूसरा जो नकारात्मक और निरूपित है $-{\sqrt {x_{0}}}.$ ये विकल्प दो निरंतर कार्यों को परिभाषित करते हैं, दोनों में डोमेन के रूप में गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं, और छवियों के रूप में या तो गैर-नकारात्मक या गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं। जब इन कार्यों के ग्राफ़ को देखते हैं, तो कोई यह देख सकता है कि, साथ, वे चिकनी वक्र बनाते हैं। इसलिए अधिकांशतः इन दो वर्गमूल कार्यों को ऐसे कार्य के रूप में मानना उपयोगी होता है जिसमें सकारात्मक के लिए दो मान होते हैं $x$ , 0 के लिए मान और ऋणात्मक के लिए कोई मान नहीं $x$ .

पिछले उदाहरण में, विकल्प, सकारात्मक वर्गमूल, दूसरे की तुलना में अधिक स्वाभाविक है। सामान्यतः ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, मैप किए गए अंतर्निहित फलन पर विचार करें $y$ फलन की जड़ के लिए $x$ का $x^{3}-3x-y=0$ (दाईं ओर की आकृति देखें)। के लिये $y = 0$ कोई भी चुन सकता है $0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}$ के लिये $x$ . अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, प्रत्येक विकल्प फलन को परिभाषित करता है; पहले वाले के लिए, (अधिकतम) डोमेन अंतराल है $[-2, 2]$ और छवि है $[-1, 1]$ ; दूसरे के लिए, डोमेन है $[-2, \infty)$ और छवि है $[1, \infty)$ ; पिछले के लिए, डोमेन है $(-\infty, 2]$ और छवि है $(-\infty, -1]$ . जैसा कि तीन ग्राफ़ साथ चिकनी वक्र बनाते हैं, और विकल्प को प्राथमिकता देने का कोई कारण नहीं है, इन तीन कार्यों को अधिकांशतः एकल बहु-मूल्यवान फलन के रूप में माना जाता है $y$ जिसके लिए तीन मान हैं $-2 < y < 2$ , और के लिए केवल मान $y \leq -2$ तथा $y \geq -2$ .

जटिल कार्यों, सामान्यतः विश्लेषणात्मक कार्यों पर विचार करते समय बहु-मूल्यवान कार्यों की अवधारणा की उपयोगिता स्पष्ट होती है। डोमेन जिसमें विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा जटिल कार्य बढ़ाया जा सकता है, सामान्यतः लगभग पूरे जटिल विमान होते हैं। चूंकि, जब डोमेन को दो अलग-अलग रास्तों से बढ़ाया जाता है, तो अधिकांशतः अलग-अलग मान मिलते हैं। उदाहरण के लिए, वर्गमूल फलन के क्षेत्र का विस्तार करते समय, सकारात्मक काल्पनिक भागों के साथ जटिल संख्याओं के पथ के साथ, व्यक्ति को मिलता है $i$ -1 के वर्गमूल के लिए; जबकि, नकारात्मक काल्पनिक भागों के साथ जटिल संख्याओं के माध्यम से विस्तार करने पर, मिलता है $- i$ . समस्या को हल करने के सामान्यतः दो विधि होते हैं। ऐसे कार्य को परिभाषित कर सकता है जो किसी वक्र के साथ निरंतर कार्य नहीं करता है, जिसे शाखा कट कहा जाता है। ऐसे फलन को फलन का मुख्य मान कहते हैं। दूसरा विधि यह विचार करना है कि किसी के पास बहु-मूल्यवान कार्य है, जो अलग-अलग विलक्षणताओं को छोड़कर हर जगह विश्लेषणात्मक है, किन्तु यदि कोई विलक्षणता के चारों ओर बंद लूप का अनुसरण करता है, तो उसका मूल्य बढ़ सकता है। इस छलांग को मोनोड्रोमी कहा जाता है।

गणित और समुच्चय सिद्धांत की नींव में

इस आलेख में दी गई फलन की परिभाषा के लिए समूह (गणित) की अवधारणा की आवश्यकता होती है, क्योंकि किसी फलन का डोमेन और कोडोमेन समूह होना चाहिए। यह सामान्य गणित में कोई समस्या नहीं है, क्योंकि केवल उन कार्यों पर विचार करना जटिल नहीं है जिनके डोमेन और कोडोमेन समूह हैं, जो अच्छी तरह से परिभाषित हैं, यदि डोमेन स्पष्ट रूप से परिभाषित न हो। चूंकि, कभी-कभी अधिक सामान्य कार्यों पर विचार करना उपयोगी होता है।

उदाहरण के लिए, सिंगलटन समूह को फंक्शन माना जा सकता है $x\mapsto \{x\}.$ इसके डोमेन में सभी समूह सम्मिलित होंगे, और इसलिए यह समूह नहीं होगा। सामान्य गणित में, डोमेन निर्दिष्ट करके इस तरह की समस्या से बचा जाता है, जिसका अर्थ है कि किसी के पास अनेक सिंगलटन फलन हैं। चूंकि, गणित की नींव स्थापित करते समय, किसी को ऐसे कार्यों का उपयोग करना पड़ सकता है जिनके डोमेन, कोडोमेन या दोनों निर्दिष्ट नहीं हैं, और कुछ लेखक, अधिकांशतः तार्किक, इन कमजोर निर्दिष्ट कार्यों के लिए त्रुटिहीन परिभाषा देते हैं।^[27] गणित की नींव की औपचारिकता के विकास में ये सामान्यीकृत कार्य महत्वपूर्ण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समूह सिद्धांत, समूह सिद्धांत का विस्तार है जिसमें सभी समूहों का संग्रह वर्ग (समूह सिद्धांत) है। इस सिद्धांत में वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समूह सिद्धांत # एनबीजी का प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है, जिसे इस प्रकार कहा जा सकता है: यदि $X$ समूह है और $F$ फलन है, तो $F [X]$ समूह है।

कंप्यूटर विज्ञान में

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, फलन (प्रोग्रामिंग) सामान्य रूप से कंप्यूटर प्रोग्राम का टुकड़ा है, जो फलन की अमूर्त अवधारणा को लागू करता है। अर्थात यह प्रोग्राम यूनिट है जो प्रत्येक इनपुट के लिए आउटपुट उत्पन्न करती है। चूँकि, अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में प्रत्येक सबरूटीन को फलन कहा जाता है, तब भी जब कोई आउटपुट नहीं होता है, और जब कार्यक्षमता में स्मृति में कुछ डेटा को संशोधित करना सम्मिलित होता है।

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग प्रोग्रामिंग प्रतिमान है जिसमें गणितीय कार्यों की तरह व्यवहार करने वाले सबरूटीन्स का उपयोग करके प्रोग्राम बनाना सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, if_then_else ऐसा फलन है जो तीन फलन को तर्क के रूप में लेता है, और, पहले फलन (सही या गलत) के परिणाम के आधार पर, दूसरे या तीसरे फलन का परिणाम लौटाता है। कार्यात्मक प्रोग्रामिंग का महत्वपूर्ण लाभ यह है कि यह अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत, लैम्ब्डा कैलकुलस (नीचे देखें) पर आधारित होने के कारण कार्यक्रम प्रमाण को आसान बनाता है।

कंप्यूटर-भाषा शब्दावली को छोड़कर, फलन का कंप्यूटर विज्ञान में सामान्य गणितीय अर्थ है। इस क्षेत्र में, प्रमुख रुचि का गुण किसी फलन का संगणनीय फलन है। इस अवधारणा को त्रुटिहीन अर्थ देने के लिए, और कलन विधि की संबंधित अवधारणा के लिए, संगणना के अनेक मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं, पुराने μ-रिकर्सिव फलनों, लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीन हैं। संगणनीयता सिद्धांत का मौलिक प्रमेय यह है कि संगणना के ये तीन मॉडल संगणनीय कार्यों के ही समूह को परिभाषित करते हैं, और संगणना के अन्य सभी मॉडल जो कभी प्रस्तावित किए गए हैं, संगणनीय कार्यों के समान समूह या छोटे को परिभाषित करते हैं। चर्च-ट्यूरिंग थीसिस का प्रामाणित है कि संगणनीय कार्य की दार्शनिक रूप से स्वीकार्य परिभाषा भी समान कार्यों को परिभाषित करती है।

सामान्य पुनरावर्ती कार्य पूर्णांकों से पूर्णांकों तक आंशिक कार्य होते हैं जिन्हें परिभाषित किया जा सकता है

निरंतर कार्य,
उत्तराधिकारी कार्य, और
प्रक्षेपण फलन कार्य करता है

ऑपरेटरों के माध्यम से

#फंक्शन रचना,
आदिम पुनरावर्तन, और
μ ऑपरेटर।

चूँकि केवल पूर्णांक से पूर्णांक तक के कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है, वे निम्नलिखित गुणों के परिणामस्वरूप किसी भी गणना योग्य कार्य को मॉडल कर सकते हैं:

गणना प्रतीकों के परिमित अनुक्रमों (संख्याओं के अंक, सूत्र, ...) का हेरफेर है,
प्रतीकों के प्रत्येक क्रम को काटा्स के अनुक्रम के रूप में कोडित किया जा सकता है,
बिट अनुक्रम को पूर्णांक के बाइनरी प्रतिनिधित्व के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

लैम्ब्डा कैलकुस सिद्धांत है जो समूह सिद्धांत का उपयोग किये बिना संगणनीय कार्यों को परिभाषित करता है, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग की सैद्धांतिक पृष्ठभूमि है। इसमें ऐसे शब्द होते हैं जो या तो चर होते हैं, फलन परिभाषाएँ (𝜆-शर्तें), या शर्तों के कार्यों के अनुप्रयोग। कुछ नियमों के माध्यम से शर्तों में हेरफेर किया जाता है, ( $α$ -तुल्यता, द $β$ -कमी, और $η$ -रूपांतरण), जो सिद्धांत के स्वयंसिद्ध हैं और गणना के नियमों के रूप में व्याख्या किए जा सकते हैं।

अपने मूल रूप में, लैम्ब्डा कैलकुस में किसी फलन के डोमेन और कोडोमेन की अवधारणाओं को सम्मिलित नहीं किया गया है। मोटे तौर पर, उन्हें टाइप लैम्ब्डा कैलकुस में टाइप के नाम से थ्योरी में प्रस्तुत किया गया है। अधिकांश प्रकार के टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुली अनटाइप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस की तुलना में कम कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं।

यह भी देखें

उपपृष्ठ

कार्यों के प्रकारों की सूची
कार्यों की सूची
फंक्शन फिटिंग
अंतर्निहित कार्य

सामान्यीकरण

↑ This definition of "graph" refers to a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable to functions from the real numbers to themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
↑ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to be handled with care; see, for example, "When do two functions become equal?". Stack Exchange. August 19, 2015.
↑ called the domain of definition by some authors, notably computer science
↑ Here "elementary" has not exactly its common sense: although most functions that are encountered in elementary courses of mathematics are elementary in this sense, some elementary functions are not elementary for the common sense, for example, those that involve roots of polynomials of high degree.
↑ By definition, the graph of the empty function to $X$ is a subset of the Cartesian product $\emptyset \times X$ , and this product is empty.
↑ The axiom of choice is not needed here, as the choice is done in a single set.

संदर्भ

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स्रोत

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इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

समूह (गणित)
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किसी फलन का डोमेन
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अलग करने योग्य फलन
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बंद रूप अभिव्यक्ति
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द्विघात फंक्शन
स्थिर (गणित)
बहुपदीय फलन
तर्कसंगत कार्य
बीजगणितीय कार्य
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लोगारित्म
घातीय कार्य
द्विभाजित
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उलटा त्रिकोणमितीय कार्य
निहित फलन
अंतर्निहित कार्य प्रमेय
अवकलनीयता
antiderivative
त्रुटि फलन
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त्रिकोणमितीय फलन
कारख़ाने का
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गणितीय कार्य
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अनेक जटिल चर का कार्य
सदिश स्थल
जटिल चर के कार्य
चिकना फलन
उन लोगों के
चौराहा समूह करें
रैखिक प्रकार्य
यौगिक
मोनोटोनिक फलन
द्विभाजन
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वेग वेक्टर
संस्थानिक
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आंशिक विभेदक समीकरण
प्रमुख मूल्य
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उत्तराधिकारी फलन
द्विआधारी प्रतिनिधित्व
गणना योग्य फलन
कार्यों के प्रकार की सूची
आकारिता
साहचर्य सरणी
फलन समूह करें

बाहरी संबंध

"Function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
The Wolfram फलनs Site gives formulae and visualizations of many mathematical फलनs.
NIST Digital Library of Mathematical फलनs

[6] This definition of "graph" refers to a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable to functions from the real numbers to themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).

[10] This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to be handled with care; see, for example, "When do two functions become equal?". Stack Exchange. August 19, 2015.

[11] the domain of definition by some authors, notably computer science

[25] Here "elementary" has not exactly its common sense: although most functions that are encountered in elementary courses of mathematics are elementary in this sense, some elementary functions are not elementary for the common sense, for example, those that involve roots of polynomials of high degree.

[26] By definition, the graph of the empty function to $X$ is a subset of the Cartesian product $\emptyset \times X$ , and this product is empty.

[30] The axiom of choice is not needed here, as the choice is done in a single set.

[halmos-1] Halmos 1970, p. 30; the words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously.

[2] Halmos 1970

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[4] Medvedev, F. A. (2012-12-06). वास्तविक कार्यों के इतिहास से दृश्य (in English). Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8660-4.

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 {{Functions}}
-गणित में, समुच्चय से फलन (गणित) {{Mvar|X}} समूह के लिए {{Mvar|Y}} के प्रत्येक तत्व को असाइन करता है {{Mvar|X}} का तत्व {{Mvar|Y}}.<ref name=halmos>{{harvnb |Halmos |1970 |p=30}}; the words '''map''', '''mapping''', '''transformation''', '''correspondence''', and '''operator''' are often used synonymously.</ref> समूह {{Mvar|X}} फलन के फलन का डोमेन कहा जाता है<ref>{{harvnb|Halmos|1970}}</ref> और समूह {{Mvar|Y}} फलन का [[कोडोमेन]] कहा जाता है।<ref name=codomain>Codomain ''Encyclopedia of Mathematics'' [http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Codomain&oldid=35690 Codomain. ''Encyclopedia of Mathematics'']</ref>
+गणित में, समुच्चय {{Mvar|X}} से समुच्चय {{Mvar|Y}} तक फलन (गणित) {{Mvar|X}} के प्रत्येक अवयव को {{Mvar|Y}} का उचित अवयव प्रदान करता है।<ref name="halmos">{{harvnb |Halmos |1970 |p=30}}; the words '''map''', '''mapping''', '''transformation''', '''correspondence''', and '''operator''' are often used synonymously.</ref> समूह {{Mvar|X}} को फलन का डोमेन कहा जाता है<ref>{{harvnb|Halmos|1970}}</ref> और समूह {{Mvar|Y}} को फलन का [[कोडोमेन]] कहा जाता है।<ref name=codomain>Codomain ''Encyclopedia of Mathematics'' [http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Codomain&oldid=35690 Codomain. ''Encyclopedia of Mathematics'']</ref>
-फलन की धारणा के लिए सबसे पहले ज्ञात दृष्टिकोण को फारसी गणितज्ञ अल-बिरूनी के कार्यों में देखा जा सकता है।<ref>{{Cite book |last=Medvedev |first=F. A. |url=https://books.google.com/books?id=rqmABwAAQBAJ&dq=al+biruni+first+to+study+mathematical+function&pg=PA30 |title=वास्तविक कार्यों के इतिहास से दृश्य|date=2012-12-06 |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-0348-8660-4 |language=en}}</ref> [[शराफ अल-दीन अल-तुसी]] में।<ref>{{Cite journal |last1=Katz |first1=V. |last2=Barton |first2=B. |date=2007 |title=शिक्षण के लिए निहितार्थ के साथ बीजगणित के इतिहास में चरण|journal=Educational Studies in Mathematics |volume=66 |issue=2 |pages=185–201 |url=https://www.semanticscholar.org/paper/Stages-in-the-History-of-Algebra-with-Implications-Katz-Barton/dc525a55b020e13a65595d19e3db9f3a808d98d1 |doi=10.1007/S10649-006-9023-7|s2cid=120363574 }}</ref> कार्य मूल रूप से इस बात का आदर्शीकरण थे कि कैसे भिन्न मात्रा दूसरी मात्रा पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, किसी [[ग्रह]] की स्थिति समय का फलन है। कार्य अवधारणा का इतिहास, इस अवधारणा को 17वीं शताब्दी के अंत में [[अतिसूक्ष्म कलन]] के साथ विस्तृत किया गया था, और 19वीं शताब्दी तक, जिन कार्यों पर विचार किया गया था, वे अलग-अलग कार्य थे (अर्थात, उनके पास उच्च स्तर की नियमितता थी)। 19वीं शताब्दी के अंत में समूह सिद्धांत के संदर्भ में फलन की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया था, और इसने अवधारणा के अनुप्रयोग के डोमेन को बहुत बढ़ा दिया।
+फलन की धारणा के लिए सबसे पहले ज्ञात दृष्टिकोण को फारसी गणितज्ञ अल-बिरूनी के कार्यों में देखा जा सकता है।<ref>{{Cite book |last=Medvedev |first=F. A. |url=https://books.google.com/books?id=rqmABwAAQBAJ&dq=al+biruni+first+to+study+mathematical+function&pg=PA30 |title=वास्तविक कार्यों के इतिहास से दृश्य|date=2012-12-06 |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-0348-8660-4 |language=en}}</ref> [[शराफ अल-दीन अल-तुसी]] में<ref>{{Cite journal |last1=Katz |first1=V. |last2=Barton |first2=B. |date=2007 |title=शिक्षण के लिए निहितार्थ के साथ बीजगणित के इतिहास में चरण|journal=Educational Studies in Mathematics |volume=66 |issue=2 |pages=185–201 |url=https://www.semanticscholar.org/paper/Stages-in-the-History-of-Algebra-with-Implications-Katz-Barton/dc525a55b020e13a65595d19e3db9f3a808d98d1 |doi=10.1007/S10649-006-9023-7|s2cid=120363574 }}</ref> कार्य मूल रूप से इस बात का आदर्शीकरण थे कि कैसे भिन्न मात्रा दूसरी मात्रा पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, किसी [[ग्रह]] की स्थिति समय का फलन है। कार्य अवधारणा का इतिहास, इस अवधारणा को 17वीं शताब्दी के अंत में [[अतिसूक्ष्म कलन]] के साथ विस्तृत किया गया था, और 19वीं शताब्दी तक, जिन कार्यों पर विचार किया गया था, वे अलग-अलग कार्य थे (अर्थात, उनके पास उच्च स्तर की नियमितता थी)। 19वीं शताब्दी के अंत में समूह सिद्धांत के संदर्भ में फलन की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया था और इसने अवधारणा के अनुप्रयोग के डोमेन को बहुत बढ़ा दिया।
 फलन को अधिकांशतः अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे {{mvar|f}}, {{mvar|g}} तथा {{mvar|h}}, और फलन का मान {{Mvar|f}} तत्व पर {{Mvar|x}} इसके डोमेन का द्वारा दर्शाया गया है {{Math|''f''(''x'')}}; किसी विशेष इनपुट मान पर फलन मूल्यांकन से उत्पन्न संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करके निरूपित किया जाता है {{mvar|x}} इस मूल्य के साथ; उदाहरण के लिए, का मूल्य {{mvar|f}} पर {{Math|''x'' {{=}} 4}} द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|''f''(4)}}. जब फलन का नाम नहीं है और [[अभिव्यक्ति (गणित)]] द्वारा दर्शाया गया है {{mvar|E}}, फलन का मान पर, कहते हैं, {{Math|''x'' {{=}} 4}} द्वारा दर्शाया जा सकता है {{Math|1=''E''{{!}}<sub>''x''{{=}}4</sub>}}. उदाहरण के लिए, पर मान {{math|4}} उस फलन का जो मैप करता है {{mvar|x}} प्रति <math>(x+1)^2</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\left.(x+1)^2\right\vert_{x=4}</math> (जिसके परिणामस्वरूप {{math|25).}}

v t e गणितीय विश्लेषण में प्रमुख विषय
'पथरी' : एकीकरण भेदभाव अंतर समीकरण साधारण आंशिक स्टोचस्टिक कैलकुलस का मौलिक प्रमेय भिन्नता का पथरी वेक्टर कैलकुलस टेंसर कैलकुलस मैट्रिक्स कैलकुलस अभिन्न की सूची डेरिवेटिव की तालिका
वास्तविक विश्लेषण जटिल विश्लेषण हाइपरकम्प्लेक्स विश्लेषण (चतुर्भुज विश्लेषण) कार्यात्मक विश्लेषण फूरियर विश्लेषण सबसे कम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण हार्मोनिक विश्लेषण पी-एडिक विश्लेषण (पी-एडिक नंबर) माप सिद्धांत प्रतिनिधित्व सिद्धांत कार्य निरंतर कार्य विशेष कार्य सीमा श्रृंखला अनंतता
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