फलन (गणित)

गणित में, समुच्चय $X$ से समुच्चय $Y$ तक फलन (गणित) $X$ के प्रत्येक अवयव को $Y$ का उचित अवयव प्रदान करता है।^[1] इस प्रकार समूह $X$ को फलन का कार्यक्षेत्र कहा जाता है^[2] और समूह $Y$ को फलन का उपकार्यक्षेत्र कहा जाता है।^[3]

सामान्यतः फलन की धारणा के लिए सबसे पहले ज्ञात दृष्टिकोण को फारसी गणितज्ञ अल-बिरूनी के कार्यों में देखा जा सकता है।^[4] शराफ अल-दीन अल-तुसी में^[5] कार्य मूल रूप से इस बात के आदर्शीकरण थे कि कैसे भिन्न मात्रा दूसरी मात्रा पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, किसी ग्रह की स्थिति समय का फलन होता है। अतः कार्य अवधारणा का इतिहास, इस अवधारणा को 17वीं शताब्दी के अंत में अतिसूक्ष्म कलन के साथ विस्तृत किया गया था और 19वीं शताब्दी तक जिन कार्यों पर विचार किया गया था, वह भिन्न-भिन्न कार्य थे (अर्थात्, उनके समीप उच्च स्तर की नियमितता होती थी)। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के अंत में समूह सिद्धांत के संदर्भ में फलन की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया था और इसने अवधारणा के अनुप्रयोग के कार्यक्षेत्र को अधिक बढ़ा दिया था।

फलन को अधिकांशतः अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे $f$ , $g$ तथा $h$ और फलन का मान $f$ तत्व पर $x$ कार्यक्षेत्र के $f (x)$ द्वारा दर्शाया गया है। किसी विशेष इनपुट मान पर फलन मूल्यांकन से उत्पन्न संख्यात्मक मान को $x$ इस मूल्य के साथ प्रतिस्थापित करके निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, $x = 4$ पर $f$ का मान $f (4)$ निरूपित किया जाता है। जब फलन का नाम नहीं होता है और अभिव्यक्ति (गणित) $E$ द्वारा दर्शाया गया है, अतः तब फलन के मान पर मान लीजिए, $x = 4$ को $E | x =4$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन के $4$ पर मान जो $x$ को मानचित्र करता है $x$ प्रति $(x+1)^{2}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। $\left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}$ (जिसका परिणाम 25 होता है)।

फलन विशिष्ट रूप से सभी जोड़ी (गणित) $(x, f (x))$ के समूह द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जिसे फलन का ग्राफ़ कहा जाता है, फलन को दर्शाने का लोकप्रिय साधन होता है।^{[note 1]}^[6] जब कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं के समूह होते हैं, तब ऐसी प्रत्येक जोड़ी को विमान में बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में माना जा सकता है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी और गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह कहा गया है कि गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्य "जांच की केंद्रीय वस्तु" होती हैं।^[7]

File:Function machine2.svg

मशीन या ब्लैक बॉक्स के रूप में रूपक के रूप में वर्णित फलन का योजनाबद्ध चित्रण जो प्रत्येक इनपुट के लिए संबंधित आउटपुट देता है।

File:Graph of example function.svg

लाल वक्र फलन का ग्राफ़ है, जिससे कि किसी भी लंबवत रेखा परीक्षण में वक्र के साथ उचित बिंदु प्रतिछेद होता है।

File:Function color example 3.svg

फलन जो चार रंगीन आकृतियों में से किसी को भी उसके रंग से जोड़ता है।

परिभाषा

File:Injection keine Injektion 2a.svg

कार्यक्षेत्र

X = {1, 2, 3}

और उपकार्यक्षेत्र

Y = {A, B, C, D}

, के साथ फलन का आरेख, जो आदेशित जोड़े

{(1, D), (2, C), (3, C)}

. के समूह द्वारा परिभाषित किया गया है ),

{C, D}

.

File:Injection keine Injektion 1.svg

जोड़े

{(1,D), (2,B), (2,C)}

, के समूह का प्रतिनिधित्व करने वाला यह आरेख, फलन को परिभाषित नहीं करता है। कारण यह है कि 2 इस समूह के अधिक क्रमित युग्म,

(2, B)

और

(2, C)

, में पहला तत्व होता है। दो अन्य कारण, जो अपने आप में भी पर्याप्त हैं, यह है कि न तो 3 और न ही 4 किसी भी आदेशित जोड़े के पहले तत्व (इनपुट) होते हैं।

समूह $X$ से समूह $Y$ तक का फलन (गणित) $X$ के प्रत्येक अवयव के लिए $Y$ के तत्व का नियतन है। इस प्रकार समूह $X$ को फलन का प्रांत कहा जाता है और समूह $Y$ को फलन का उपकार्यक्षेत्र कहा जाता है।

फलन, इसके कार्यक्षेत्र और इसके उपकार्यक्षेत्र को अंकन $f : X \to Y$ द्वारा घोषित किया जाता है और $X$ के तत्व $x$ पर फलन $f$ का मान जिसे $f(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः इसको $f$ के अंतर्गत $x$ की छवि कहा जाता है। इस प्रकार $f$ का मान तर्क $x$ पर प्रयुक्त होता है।

कार्यों को मानचित्र (गणित) या मानचित्रण भी कहा जाता है, चूंकि कुछ लेखक मानचित्रों और कार्यों के मध्य कुछ अंतर करते हैं (देखें).

सामान्यतः दो फलन $f$ तथा $g$ समान होते हैं यदि उनके कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र समूह समान होते हैं और उनके आउटपुट मान पूर्ण कार्यक्षेत्र पर सहमत होते हैं। इस प्रकार अधिक औपचारिक रूप से, दिए गए $f : X \to Y$ तथा $g : X \to Y$ , अपने समीप $f = g$ होता है और यदि $f (x) = g (x)$ सभी के लिए $x \in X$ होता है।^[8]^{[note 2]}

किसी फलन को परिभाषित किए जाने पर कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र सदैव स्पष्ट रूप से नहीं दिए जाते हैं और कुछ (संभवतः कठिन) संगणना के बिना, कोई केवल यह जान सकता है कि कार्यक्षेत्र बड़े समूह में समाहित होता है। सामान्यतः, यह गणितीय विश्लेषण में होता है, जहां फलन $X$ से $Y$ तक " अधिकांशतः ऐसे फलन को संदर्भित करता है जिसमें कार्यक्षेत्र के रूप में $X$ का उचित उपसमुच्चय हो सकता है।^{[note 3]} उदाहरण के लिए, वास्तविक से वास्तविक तक फलन वास्तविक-मूल्यवान कार्य को संदर्भित कर सकता है। चूँकि, "वास्तविक से वास्तविक तक का कार्य" का तात्पर्य यह नहीं है कि फलन का कार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का पूर्ण समूह होता है, किन्तु केवल यह है कि कार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समूह है जिसमें गैर-रिक्त खुला अंतराल होता है। अतः ऐसे फलन को तब आंशिक फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ ऐसा फलन है जिसमें वास्तविक संख्या कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र के रूप में होती है, तब फलन मान $x$ को मान $g(x) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/f(x)$ से मानचित्र करता है। इस प्रकार वास्तविक से वास्तविक तक फलन $g$ होता है, जिसका कार्यक्षेत्र वास्तविक $x$ का समुच्चय होता है। जैसे कि $f (x) \neq 0$ .

किसी फलन की श्रेणी या किसी फलन की छवि (गणित) कार्यक्षेत्र में सभी तत्वों की छवि (गणित) का समूह होता है।^[9]^[10]^[11]^[12]

कुल, असमान संबंध

दो समुच्चयों $X$ तथा $Y$ के कार्तीय गुणनफल का कोई उपसमुच्चय इन दो समूहों के मध्य द्विआधारी संबंध $R \subseteq X \times Y$ को परिभाषित करता है। यह तत्काल है कि अनैतिक संबंध में जोड़े हो सकते हैं जो ऊपर दिए गए फलन के लिए आवश्यक शर्तों का उल्लंघन करते हैं।

द्विआधारी संबंध एकतरफा संबंध है (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है)। यदि,

\forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.

द्विआधारी संबंध कुल संबंध है। यदि,

\forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.

आंशिक कार्य द्विआधारी संबंध होता है जो एकतरफा है और कार्य द्विआधारी संबंध है जो एकतरफा और कुल कार्य है।

सामान्यतः संबंधों की भाषा में कार्यों और कार्यों की संरचना के विभिन्न गुणों का पुनर्निमाण किया जा सकता है।

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परिभाषा

कुल, असमान संबंध

फ़ंक्शन
$x \mapsto f (x)$
डोमेन और कोडोमैन के उदाहरण
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
कक्षाएं/गुण
स्थिर पहचान रैखिक बहुपद तर्कसंगत बीजगणितीय विश्लेषणात्मक चिकनी निरंतर औसत दर्जे का इंजेक्शन सर्जिकल बायजजे
कंस्ट्रक्शन
प्रतिबंध रचना λ उलटा
सामान्यीकरण
आंशिक बहुउद्देशीय निहित स्पेस
v t e