बाइनरी ऑपरेशन

Not to be confused with बिटवाइज़ ऑपरेशन.

द्विआधारी संक्रिया $\circ$ तर्कों $x$ तथा $y$ के संयोजन से $x\circ y$ उत्पन्न करने के लिए एक नियम है

गणित में, द्विआधारी संक्रिया या युग्मकीय संक्रिया एक अन्य अवयव उत्पन्न करने के लिए दो अवयवों (गणित) (संफलन कहा जाता है) के संयोजन के लिए एक नियम है। अधिक औपचारिक रूप से, द्विआधारी संक्रिया एरीटी दो का एक संक्रिया (गणित) है।

अधिक विशेष रूप से, एक समुच्चय (गणित) पर एक आंतरिक द्विआधारी संक्रिया द्विआधारी संक्रिया है जिसका फलन के दो डोमेन और सहप्रांत एक ही समुच्चय हैं। उदाहरणों में योग, घटाव और गुणा की परिचित अंकगणितीय संक्रियाएं सम्मिलित हैं। अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में सरलता से पाए जाते हैं, जैसे सदिश योग, आव्यूह गुणन और संयुग्मन (समूह सिद्धांत)।

एरीटी दो की संक्रिया है जिसमें कई समुच्चय सम्मिलित होते हैं, कभी-कभी 'द्विआधारी संक्रिया' भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि का अदिश गुणन सदिश उत्पन्न करने के लिए अदिश और एक सदिश लेते है, और अदिश गुणनफल अदिश उत्पन्न करने के लिए दो सदिश लेते है। ऐसे द्विआधारी संक्रियाों को मात्र द्विआधारी फलन कहा जा सकता है।

द्विआधारी संक्रियाों अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं की कुंजीशिला हैं जिनका अध्ययन बीजगणित में किया जाता है, विशेष रूप से अर्धसमूह, एकाभ, समूह (गणित), वलय (बीजगणित), क्षेत्र (गणित), और सदिश रिक्त समष्टि में।

शब्दावली

अधिक यथार्थ रूप से, समुच्चय (गणित) $S$ पर द्विआधारी संक्रिया कार्तीय गुणनफल $S\times S$ से $S$:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S$ के अवयवों का प्रतिचित्र (गणित) है।

क्योंकि $S$ के अवयवों के युग्म पर संक्रिया करने के परिणाम पुन: $S$ के अंग है, संक्रिया को $S$ पर संवृत (या आंतरिक) द्विआधारी संक्रिया कहा जाता है (या कभी-कभी संवृत होने के गुण के रूप में व्यक्त किया जाता है)।

यदि $f$ फलन (गणित) नहीं है, परन्तु आंशिक फलन है तो $f$ को आंशिक द्विआधारी संक्रिया कहते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का विभाजन आंशिक द्विआधारी संक्रिया है, क्योंकि शून्य से विभाजन नहीं किया जा सकता है: प्रत्येक वास्तविक संख्या $a$ के लिए ${\frac {a}{0}}$ अपरिभाषित है। सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों में, द्विआधारी संक्रियाओं $S\times S$ को सभी अवयवों पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है।

कभी-कभी, विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान में, द्विआधारी संक्रिया शब्द का उपयोग किसी द्विआधारी फलन के लिए किया जाता है।

गुण और उदाहरण

द्विआधारी संक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण संख्या और आव्यूह (गणित) के योग ($+$) और गुणा ($\times$) के साथ-साथ एक समुच्चय पर फलनों की संरचना हैं। उदाहरण के लिए,

• वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ के समुच्चय पर, $f(a,b)=a+b$ द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग एक वास्तविक संख्या है।
• प्राकृतिक संख्या $\mathbb {N}$ के समुच्चय पर, $f(a,b)=a+b$ द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। यह पिछले वाले की तुलना में अलग द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि समुच्चय अलग हैं।
• वास्तविक प्रविष्टियों के साथ $2\times 2$ आव्यूह के समुच्चय $M(2,\mathbb {R} )$ पर, $f(A,B)=A+B$ द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि दो ऐसे आव्यूहों का योग $2\times 2$ आव्यूह है।
• वास्तविक प्रविष्टियों के साथ $2\times 2$ आव्यूह के समुच्चय $M(2,\mathbb {R} )$ पर, $f(A,B)=AB$ द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि दो ऐसे आव्यूहों का गुणनफल $2\times 2$ आव्यूह है।
• किसी दिए गए समुच्चय $C$के लिए, $S$ को सभी फलनों $h\colon C\rightarrow C$ का समुच्चय होने दें। सभी $c\in C$ के लिए $f\colon S\times S\rightarrow S$ से$f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ परिभाषित करें, $S$ में दो फलनों $h_{1}$ तथा $h_{2}$ की संरचना। तब $f$ द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि दो फलनों की संरचना फिर से समुच्चय $C$ (जो कि $S$ का एक वर्ग है) पर एक फलन है।

बीजगणित और औपचारिक तर्क दोनों में रुचि के कई द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं, $S$ में सभी अवयवों $a$ तथा $b$ के लिए $f(a,b)=f(b,a)$ को संतुष्ट करते हैं, या साहचर्य, सभी $S$ में $a$, $b$, तथा $c$ के लिए ${\displaystyle }$