अवकलज

This article is about शब्द के रूप में कलन प्रयोग किया जाता है. For विषय का एक कम तकनीकी अवलोकन, see अंतर कलन. For अन्य उपयोग, see अवकलज (disambiguation).

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एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।

गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क(निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान(प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न जब उपस्थित होता है, तो उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्शरेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए समूहीकृत किया जा सकता है। इस सामूहीकरण में, व्युत्पन्न की एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र(उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह(गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को 'विरोधी विशिष्टीकरण' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

वास्तविक चर f(x) का एक फलन इसके प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है:

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

इसका उद्देश्य यह है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या $\varepsilon$ के लिए(यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या $\delta$ ऐसे उपस्थित होती है, जैसे कि, प्रत्येक h के लिए $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं(देखें(ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि फलन f पर a अवकलनीय है, यानी अगर सीमा L उपस्थित है, तो इस सीमा को f पर a का व्युत्पन्न और निरूपित $f'(a)$ कहा जाता है,(a के प्रमुख f के रूप में पढ़ें) या ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$(f के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें इसके संबंध में x पर a,dy द्वारा dx पर a, या dy ऊपर dx पर a); देखना § प्रतीकांकन (सूचना ), नीचे

निरंतरता और भिन्नता

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इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें कूदना बंद करो है)।

यदि f, a पर अवकलनीय है, तो f भी a पर निरंतर होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, कोई बिंदु a चुनें और f को चरण फलन होने दें जो a से कम सभी x के लिए मान 1 लौटाता है, और a से अधिक या उसके बराबर सभी x के लिए भिन्न मान 10 लौटाता है, f का a पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता। यदि h ऋणात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, अतः a से a + h तक की छेदक रेखा बहुत खड़ी है, और वैसे ही h शून्य की ओर जाता है जैसे ढलान अनंत की ओर जाती है। यदि h सकारात्मक है, तो a + h सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: a से a + h तक की छेदक रेखा का ढाल शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं है।

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निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है x = 0 चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।

यद्यपि, समान ही कोई कार्य किसी बिंदु पर निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए,f(x) = |x| द्वारा दिया गया निरपेक्ष मान फलन x = 0 पर निरंतर है, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि h धनात्मक है, तो 0 से h तक छेदक रेखा का ढाल एक होता है, जबकि यदि h ऋणात्मक है, तो 0 से h तक की छेदक रेखा का ढाल ऋणात्मक है। इसे रेखांकन के रूप में x = 0 पर लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है। यहां तक ​​​​कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य उस बिंदु पर अलग-अलग नहीं होता है जहां इसकी लंबवत स्पर्शरेखा होती है: उदाहरण के लिए, f(x) = x1/3 द्वारा दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक व्युत्पन्न होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई व्युत्पन्न नहीं होता।

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः हर जगह व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एकदिष्ट फलन या लिप्सचिट्ज़ फलन है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब