स्टोक्स प्रमेय

स्टोक्स की प्रमेय का एक चित्रण, सतह Σ, इसकी सीमा ∂Σ और सामान्य सदिश n के साथ।

स्टोक्स की प्रमेय, जिसे लॉर्ड केल्विन और जॉर्ज स्टोक्स के बाद केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कर्ल के लिए मौलिक प्रमेय या केवल कर्ल प्रमेय, $\mathbb {R} ^{3}$ पर सदिश कलन में एक प्रमेय है। सदिश क्षेत्र को देखते हुए, प्रमेय किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के कर्ल के समाकलन को, सतह की सीमा के चारों ओर सदिश क्षेत्र के रेखा समाकलन से संबंधित करता है। स्टोक्स के चिरसम्मत प्रमेय को एक वाक्य में कहा जा सकता है- लूप पर सदिश क्षेत्र का रेखा समाकलन संलग्न सतह के माध्यम से इसके कर्ल के बराबर है। इसे चित्र में दिखाया गया है, जहां सीमा समोच्च ∂Σ के सकारात्मक परिसंचरण की दिशा, और सतह Σ के माध्यम से सकारात्मक प्रवाह की दिशा n, दाएं हाथ के नियम से संबंधित हैं। दाहिने हाथ के लिए उंगलियाँ ∂Σ के अनुदिश घूमती हैं और अंगूठा n के अनुदिश दिशा में निर्देशित होता है।

स्टोक्स की प्रमेय सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय की विशेष स्थिति है। विशेष रूप से, $\mathbb {R} ^{3}$ पर सदिश क्षेत्र को 1-रूप के रूप में माना जा सकता है, जिस स्थिति में इसका कर्ल इसका बाहरी व्युत्पन्न, 2-रूप है।

प्रमेय

मान लीजिए कि $\Sigma$ सीमा $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ के साथ $\mathbb {R} ^{3}$ में निष्कोण उन्मुख सतह है। यदि सदिश क्षेत्र $\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))$ को परिभाषित किया गया है और $\Sigma$ वाले क्षेत्र में सतत प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न है, तो

$$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .$$

अधिक स्पष्ट रूप से, समानता यह कहती है

$$\begin{array}{rl}& {\iint <!--\; \iint \; -->}_{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}(\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_z}{}\end{array}$$