सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

Not to be confused with अपकेन्द्रीय बल। "अभिकेंद्री" के अन्य अर्थों के लिए, अभिकेंद्री (बहुविकल्पी) देखें.

सेंट्ररपेटल फ़ोर्स (लैटिन सेंट्रम, केंद्र और पेटेरे से, तलाश करने के लिए) एक बल है जो पिंड को एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है। अभिकेन्द्र बल की दिशा सदैव पिंड की गति के लिए और पथ के तात्कालिक दोलन चक्र के निश्चित बिंदु की ओर ओर्थोगोनालिटी होती है। आइजैक न्यूटन ने इसे एक बल के रूप में वर्णित किया है जिसके द्वारा पिंड खींचे जाते हैं या प्रेरित होते हैं, या किसी भी तरह से एक केंद्र के रूप में एक बिंदु की ओर जाते हैं। न्यूटोनियन यांत्रिकी के सिद्धांत में, गुरुत्वाकर्षण अभिकेन्द्र बल प्रदान करता है जिससे खगोलीय कक्षाएँ बनती हैं।

अभिकेन्द्र बल से जुड़ा एक सामान्य उदाहरण वह स्थिति है जिसमें एक पिंड एक समान गति के साथ एक वृत्ताकार पथ पर चलता है। अभिकेन्द्र बल गति के समकोण पर और त्रिज्या के साथ-साथ वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। गणितीय विवरण 1659 में डच भौतिक विज्ञानी क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा प्राप्त किया गया था।

सूत्र

वक्रता r की त्रिज्या वाले पथ पर स्पर्शरेखीय गति v से गतिमान m द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाले अभिकेन्द्र बल का परिमाण है:

$$F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$$

$$a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}$$

जहाँ $a_{c}$ अभिकेन्द्र त्वरण है और $\Delta {\textbf {v}}$ यूक्लिडियन सदिश वेग सदिशों के बीच का अंतर है। चूंकि उपरोक्त आरेख में वेग सदिश में निरंतर परिमाण होता है और चूंकि प्रत्येक एक अपने संबंधित स्थिति सदिश के लंबवत होता है, इसलिए सरल सदिश घटाव का तात्पर्य दो समान समद्विबाहु त्रिभुजों से होता है जिसमें सर्वांगसम कोण होते हैं - एक जिसमें $\Delta {\textbf {v}}$ का आधार (ज्यामिति) और $v$ की एक समद्विबाहु त्रिभुज की लंबाई होती है, और दूसरा आधार (ज्यामिति) $\Delta {\textbf {r}}$ (स्थिति सदिश यूक्लिडियन सदिश#जोड़ और घटाव) और $r$ समद्विबाहु त्रिभुज की लंबाई:

$${\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}$$

$$|\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$$

इसलिए, $|\Delta {\textbf {v}}|$ से ${\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$ प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

$$a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}$$

बल की दिशा उस वृत्त के केंद्र की ओर होती है जिसमें वस्तु चल रही है, या दोलन वृत्त (वह वृत्त जो वस्तु के स्थानीय पथ के लिए सबसे उपयुक्त है, यदि पथ वृत्ताकार नहीं है)।

सूत्र में गति को चुकता किया गया है, इसलिए दो बार गति को चार गुना बल की आवश्यकता होती है। वक्रता की त्रिज्या के साथ व्युत्क्रम संबंध से पता चलता है कि आधी रेडियल दूरी के लिए दो बार बल की आवश्यकता होती है। इस बल को कभी-कभी वृत्त के केंद्र के बारे में वस्तु के कोणीय वेग ω के रूप में भी लिखा जाता है, सूत्र द्वारा स्पर्शरेखा वेग से संबंधित

$$v=\omega r$$

जिससे

$$F_{c}=mr\omega ^{2}\,.$$

वृत्त की एक क्रांति के लिए कक्षीय अवधि T का उपयोग करके व्यक्त किया गया,

$$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$$

समीकरण बन जाता है

$$F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.$$

कण त्वरक में, वेग बहुत अधिक हो सकता है (निर्वात में प्रकाश की गति के करीब) इसलिए वही विराम द्रव्यमान अब अधिक जड़ता (सापेक्ष द्रव्यमान) पर जोर देता है जिससे समान अभिकेन्द्र त्वरण के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है, इसलिए समीकरण बन जाता है:

$$F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}$$

जहाँ

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ कारक है।

इस प्रकार अभिकेन्द्र बल द्वारा दिया जाता है:

$$F_{c}=\gamma mv\omega$$

जो आपेक्षिक संवेग के परिवर्तन की दर है $\gamma mv$.

स्रोत

एकसमान वृत्तीय गति का अनुभव करने वाले पिंड को अपने वृत्ताकार पथ को बनाए रखने के लिए दिखाए गए अक्ष की ओर अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता होती है।

एक वस्तु के स्थिति में जो एक क्षैतिज तल में एक रस्सी के अंत में चारों ओर झूल रही है, वस्तु पर अभिकेन्द्र बल रस्सी के तनाव द्वारा आपूर्ति की जाती है। रस्सी का उदाहरण 'पुल' बल से जुड़ा एक उदाहरण है। अभिकेन्द्र बल को 'पुश' बल के रूप में भी आपूर्ति की जा सकती है, जैसे उस स्थिति में जहां दीवार की सामान्य प्रतिक्रिया मौत की दीवार (मोटरसाइकिल अधिनियम) या रोटर (सवारी) सवार के लिए केंद्रीय बल प्रदान करती है।

आइजैक न्यूटन का अभिकेन्द्रीय बल का विचार उस विचार से मेल खाता है जिसे आजकल केंद्रीय बल के रूप में जाना जाता है। जब एक [[उपग्रह]] किसी ग्रह के चारों ओर कक्षा में होता है, तो गुरुत्वाकर्षण को अभिकेन्द्रीय बल माना जाता है, चूंकि उत्केंद्रित कक्षाओं के स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल फोकस की ओर निर्देशित होता है, न कि वक्रता के तात्कालिक केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

अभिकेन्द्र बल का एक और उदाहरण कुंडलित वक्रता में उत्पन्न होता है जो अन्य बाहरी बलों की अनुपस्थिति में एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के चलने पर पता लगाया जाता है। इस स्थिति में, चुंबकीय बल अभिकेन्द्र बल है जो कुंडलित वक्रता अक्ष की ओर कार्य करता है।

कई स्थितियों का विश्लेषण

वेग और त्वरण को नियंत्रित करने वाले सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ बढ़ती हुई जटिलता के तीन उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

एकसमान वृत्तीय गति

See also: एकसमान वृत्तीय गति

एकसमान वृत्तीय गति, घूर्णन की स्थिर दर के स्थिति को संदर्भित करती है। इस स्थिति का वर्णन करने के लिए यहां दो दृष्टिकोण दिए गए हैं।

पथरी व्युत्पत्ति

दो आयामों में, स्थिति सदिश ${\textbf {r}}$, जिसका परिमाण (लंबाई) है $r$ और एक कोण पर निर्देशित $\theta$ एक्स-अक्ष के ऊपर, इकाई सदिश ${\hat {\mathbf {i} }}$ और ${\hat {\mathbf {j} }}$ का उपयोग करके कार्टेशियन निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है:

$${\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {i} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {j} }}.$$

एकसमान वृत्तीय गति की धारणा के लिए तीन चीजों की आवश्यकता होती है:

1. वस्तु केवल एक वृत्त पर चलती है।
2. वृत्त $r$ की त्रिज्या समय के साथ नहीं बदलती है
3. स्तु वृत्त के चारों ओर निरंतर कोणीय वेग $\omega$ के साथ चलती है। इसलिए, $\theta =\omega t$ जहाँ $t$ यह समय है।

वेग ${\textbf {v}}$ और त्वरण ${\textbf {a}}$ समय के संबंध में गति के पहले और दूसरे व्युत्पन्न स्थिति के हैं:

$${\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {i} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {j} }},$$

$${\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {i} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {j} }},$$

$${\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {i} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {j} }}).$$

कोष्ठक में दिया गया पद कार्तीय निर्देशांकों में ${\textbf {r}}$ की मूल अभिव्यक्ति है। परिणामस्वरुप,

$${\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.$$

ऋणात्मक दर्शाता है कि त्वरण वृत्त के केंद्र (त्रिज्या के विपरीत) की ओर निरुपित किया गया है, इसलिए इसे अभिकेन्द्रीय (अर्थात् केंद्र-खोज) कहा जाता है। जबकि वस्तुएं स्वाभाविक रूप से एक सीधे रास्ते का अनुसरण करती हैं (जड़ता के कारण), यह अभिकेन्द्र त्वरण एक अभिकेन्द्र बल के कारण होने वाले वृत्ताकार गति पथ का वर्णन करता है।

सदिश का उपयोग कर व्युत्पत्ति

एकएकसमान वृत्तीय गति के लिए सदिश संबंध; सदिश Ω घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने वाली कक्षा के तल के लिए सामान्य है, जो दाहिने हाथ के नियम और परिमाण dθ /dt द्वारा निर्धारित ध्रुवीयता के साथ है।

दाईं ओर की छवि एकसमान वृत्तीय गति के लिए सदिश संबंधों को दर्शाती है। घूर्णन स्वयं को कोणीय वेग सदिश Ω द्वारा दर्शाया जाता है, जो कक्षा के तल के लिए सामान्य है (दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके) और इसके द्वारा दिया गया परिमाण है:

$|\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,$

θ के साथ समय t पर कोणीय स्थिति। इस उपधारा में, dθ/dt को समय से स्वतंत्र, स्थिर माना जाता है। वृत्तीय पथ पर dt समय में कण द्वारा तय की गई दूरी 'dℓ' है

$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,$

जो, सदिश क्रॉस उत्पाद के गुणों से, परिमाण rdθ है और परिपत्र पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में है।

परिणामस्वरुप,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .$

दूसरे शब्दों में,

$\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .$

समय के संबंध में अंतर करना,

$$\mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .$$

लग्रेंज का सूत्र कहता है:

$$\mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .$$

लग्रेंज के सूत्र को इस अवलोकन के साथ प्रायुक्त करना कि प्रत्येक समय Ω • r(t) = 0 हो,

$$\mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .$$

शब्दों में, त्वरण प्रत्येक समय रेडियल विस्थापन आर के विपरीत सीधे निरुपित कर रहा है, और इसका एक परिमाण है:

$$|\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}$$

जहाँ खड़ी पट्टियां |...| सदिश परिमाण को निरूपित करें, जो कि r(t) के स्थिति में केवल पथ की त्रिज्या r है। यह परिणाम पिछले खंड से सहमत है, चूंकि अंकन थोड़ा अलग है।

1. गैर-समान वृत्तीय गति के विश्लेषण में जब घूर्णन की दर को स्थिर किया जाता है, तो वह विश्लेषण इस बात से सहमत होता है।

सदिश दृष्टिकोण का एक गुण यह है कि यह स्पष्ट रूप से किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है।

उदाहरण: बैंक्ड टर्न

Main article: पार्श्‍व मोड़

See also: प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल

ऊपरी पैनल: स्थिर गति v के साथ चलती हुई एक बैंक्ड सर्कुलर ट्रैक पर गेंद; निचला पैनल: गेंद पर बल

दाईं ओर की छवि में ऊपरी पैनल एक बांक्ड कर्व पर गोलाकार गति में एक गेंद को दिखाता है। वक्र को क्षैतिज से θ कोण पर बांधा जाता है, और सड़क की सतह को फिसलन माना जाता है। उद्देश्य यह पता लगाना है कि बैंक के पास कौन सा कोण होना चाहिए जिससे गेंद सड़क से फिसलनी नहीं चाहिये। अंतर्ज्ञान हमें बताता है कि, बिना किसी बैंकिंग के एक सपाट वक्र पर, गेंद बस सड़क से फिसल जाएगी; जबकि एक बहुत खड़ी बैंकिंग के साथ, गेंद तब तक केंद्र की ओर खिसकेगी जब तक कि वह तेजी से वक्र की यात्रा नहीं करती हैं।

पथ की दिशा में होने वाले किसी भी त्वरण के अतिरिक्त, ऊपर की छवि का निचला पैनल गेंद पर बल को निरुपित करता है। दो बल हैं; एक गेंद m'g' के द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से लंबवत रूप से नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण का बल है, जहाँ m गेंद का द्रव्यमान है और 'g' गुरुत्वाकर्षण त्वरण है; दूसरा उर्ध्वगामी सामान्य बल है जो सड़क द्वारा सड़क की सतह m'a_n' के समकोण पर लगाया जाता है। घुमावदार गति द्वारा मांगे गए अभिकेन्द्र बल को भी ऊपर दिखाया गया है। यह अभिकेन्द्र बल गेंद पर लगाया गया तीसरा बल नहीं है, किन्तु सामान्य बल और गुरुत्वाकर्षण बल के सदिश जोड़ के परिणामस्वरूप गेंद पर शुद्ध बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए। सड़क द्वारा लगाए गए सामान्य बल और गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर बल के सदिश योग द्वारा गेंद पर परिणामी या शुद्ध बल एक वृत्ताकार पथ की यात्रा करने की आवश्यकता से निर्धारित अभिकेन्द्र बल के बराबर होना चाहिए। घुमावदार गति तब तक बनी रहती है जब तक कि यह शुद्ध बल गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल प्रदान करता है।

गेंद पर क्षैतिज शुद्ध बल सड़क से बल का क्षैतिज घटक है, जिसका परिमाण |F_h| = m|a_n| sin θ है। सड़क से बल के ऊर्ध्वाधर घटक को गुरुत्वाकर्षण बल |F_v| = m|a_n| cos θ = m|g| का प्रतिकार करना चाहिए: जिसका अर्थ |a_n| = |g| / cos θ है। |F_h| के लिए उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करने से एक क्षैतिज बल प्राप्त होता है:

$$|\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.$$

दूसरी ओर, वेग से |v| त्रिज्या r के एक वृत्ताकार पथ पर, कीनेमेटीक्स का कहना है कि गेंद को लगातार मोड़ में घुमाने के लिए आवश्यक बल रेडियल रूप से आवक अभिकेन्द्र बल F_c है परिमाण का:

$$|\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.$$

परिणामस्वरुप, गेंद एक स्थिर पथ में है जब सड़क के कोण को स्थिति को पूरा करने के लिए समुच्चय किया गया है:

$$m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,$$

या,

$$\tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.$$

जैसे ही बैंक θ का कोण 90° की ओर पहुंचता है, स्पर्शरेखा फलन अनंत तक पहुंचता है, जिससे |'v'|²/r के लिए बड़े मान मिलते हैं। शब्दों में, यह समीकरण बताता है कि अधिक गति के लिए (बड़ा |'v'|) सड़क को अधिक तेजी से बांधा जाना चाहिए (θ के लिए एक बड़ा मान), और तेज मोड़ के लिए (छोटे आर) सड़क को भी अधिक तेजी से बांधा जाना चाहिए, जो अंतरात्मा के अनुरूप हो। जब कोण θ उपरोक्त शर्तों को पूरा नहीं करता है, तो सड़क द्वारा लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सही अभिकेन्द्र बल प्रदान नहीं करता है, और अंतर प्रदान करने के लिए सड़क की सतह पर एक अतिरिक्त घर्षण बल को स्पर्शरेखा कहा जाता है। यदि घर्षण ऐसा नहीं कर सकता (अर्थात, घर्षण का गुणांक पार हो गया है), तो गेंद एक अलग सीमा में स्लाइड करती है जहां संतुलन को अनुभव किया जा सकता है।

ये विचार हवाई उड़ान पर भी प्रायुक्त होते हैं। एफएए पायलट का मानवीकृत देखें।

गैर-समान परिपत्र गति

See also: परिपत्र गति and गैर-समान परिपत्र गति

गैर-समान परिपत्र गति के लिए वेग और त्वरण: वेग सदिश कक्षा के लिए स्पर्शरेखा है, किन्तु त्वरण सदिश u_θ स्पर्शरेखा घटक के कारण रेडियल रूप से आवक नहीं है। जो रोटेशन की दर को बढ़ाता है: dω / dt = | a ए_θ| / r।

समान परिपत्र गति के स्थिति के सामान्यीकरण के रूप में, मान लें कि रोटेशन की कोणीय दर स्थिर नहीं है। त्वरण में अब एक स्पर्शरेखा घटक है, जैसा कि छवि को दाईं ओर दिखाया गया है। इस स्थिति का उपयोग ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के आधार पर एक व्युत्पत्ति रणनीति को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।

चलो r(t) एक सदिश बनें जो समय के एक फलन के रूप में बिंदु द्रव्यमान की स्थिति का वर्णन करता है। चूँकि हम वर्तुल गति मान रहे हैं, मान लीजिए r(t) = R·u_r, जहां R एक नियतांक है (वृत्त की त्रिज्या) और 'u'_r इकाई सदिश है जो मूल से बिंदु द्रव्यमान तक निरुपित करता है। u_r की दिशा θ द्वारा वर्णित है, x-अक्ष और इकाई सदिश के बीच का कोण, x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। ध्रुवीय निर्देशांक के लिए अन्य इकाई सदिश, 'u'_θ u_r के लंबवत है और θ बढ़ने की दिशा में संकेत करता है। इन ध्रुवीय इकाई सदिशों को क्रमशः ${\hat {\mathbf {i} }}$ और ${\hat {\mathbf {j} }}$ निरूपित x और y दिशाओं में कार्तीय इकाई सदिशों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$\mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}$$

और

$$\mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.$$

कोई वेग खोजने के लिए अंतर कर सकता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}$$

जहाँ ω कोणीय वेग dθ/dt है।

वेग के लिए यह परिणाम अपेक्षाओं से मेल खाता है कि वेग को वृत्त के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाना चाहिए, और वेग का परिमाण rω होना चाहिए। फिर से अंतर करना, और यह ध्यान रखना

$${\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,$$

हम पाते हैं कि त्वरण, a है:

$$\mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .$$

इस प्रकार, त्वरण के रेडियल और स्पर्शरेखा घटक हैं:

$$\mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}$$

और

$$\mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,$$

जहाँ |v| = r ω वेग (गति) का परिमाण है।

ये समीकरण गणितीय रूप से व्यक्त करते हैं कि, एक वस्तु के स्थिति में जो एक बदलती गति के साथ एक वृत्ताकार पथ के साथ चलती है, पिंड के त्वरण को लंबवत घटक में विघटित किया जा सकता है जो गति की दिशा (सेंट्रिपेटल त्वरण) को बदलता है, और एक समानांतर , या स्पर्शरेखा घटक, जो गति को बदलता है।

सामान्य तलीय गति

See also: सामान्यीकृत बल, सामान्यीकृत बल, वक्रीय निर्देशांक, सामान्यीकृत निर्देशांक, and लंबकोणीय निर्देशांक

Position vector r, always points radially from the origin.

Velocity vector v, always tangent to the path of motion.

Acceleration vector a, not parallel to the radial motion but offset by the angular and Coriolis accelerations, nor tangent to the path but offset by the centripetal and radial accelerations.

Kinematic vectors in plane polar coordinates. Notice the setup is not restricted to 2d space, but a plane in any higher dimension.

प्रक्षेपवक्र 'r' ( t ) वाले कण के लिए दो बार t और t + dt पर ध्रुवीय इकाई सदिश; बाईं ओर इकाई सदिश 'u'_ρ और u_θ दो बार चले जाते हैं इसलिए उनकी पूंछ सभी मिलती है, और एक इकाई त्रिज्या चक्र के एक चाप का पता लगाने के लिए दिखाया जाता है। समय dt में उनका घूर्णन dθ है, ठीक वही कोण जो प्रक्षेपवक्र r ( t ) के घूर्णन के समान है।

ध्रुवीय निर्देशांक

उपरोक्त परिणाम संभवतः अधिक आसानी से ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में प्राप्त किए जा सकते हैं, और साथ ही एक विमान के अन्दर सामान्य गति तक विस्तारित किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। विमान में ध्रुवीय निर्देशांक एक रेडियल इकाई सदिश u को नियोजित करते हैं_ρ और एक कोणीय इकाई सदिश u_θ, जैसा कि उपर दिखाया गया है। स्थिति r पर एक कण द्वारा वर्णित है:

$$\mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,$$

जहां संकेतन ρ का उपयोग आर के अतिरिक्त मूल से पथ की दूरी का वर्णन करने के लिए किया जाता है, यह जोर देने के लिए कि यह दूरी निश्चित नहीं है, किन्तु समय के साथ बदलती है। इकाई सदिश 'u'_ρ कण के साथ यात्रा करता है और सदैव r(t) के समान दिशा में निरुपित करता है। इकाई सदिश u_θ कण के साथ भी यात्रा करता है और u_ρ के लिए ऑर्थोगोनल रहता है। इस प्रकार, u_ρ और u_θ कण से जुड़ी एक स्थानीय कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाते हैं, और कण द्वारा तय किए गए पथ से बंधे होते हैं। इकाई सदिश को स्थानांतरित करने से उनकी पूंछ मिलती है, जैसा कि ऊपर की छवि के बाईं ओर वृत में देखा गया है, यह देखा गया है कि u_ρ और u_θ इकाई वृत पर युक्तियों के साथ एक समकोण जोड़ी बनाएं जो इस वृत के परिधि पर उसी कोण θ(t) के साथ r(t) पर आगे और पीछे का पता लगाते हैं

जब कण चलता है, तो उसका वेग होता है

$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.$

वेग का मूल्यांकन करने के लिए, इकाई सदिश u_ρ का व्युत्पन्न की आवश्यकता है। क्योंकि u_ρ एक इकाई सदिश है, इसका परिमाण निश्चित है, और यह केवल दिशा में बदल सकता है, अर्थात इसका परिवर्तन du_ρ केवल u_ρ के लंबवत एक घटकहै। जब प्रक्षेपवक्र r(t) एक राशि dθ, u_ρ घुमाता है, जो उसी दिशा में निरुपित करता है, जैसे r(t) भी dθ द्वारा भी घूमता है। ऊपर चित्र देखें। इसलिए, u_ρ में परिवर्तन है

$\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,$

या

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.$

इसी प्रकार, u_θ के परिवर्तन की दर पाया जाता है। u_ρ के प्रकार, u_θ एक इकाई सदिश है और केवल आकार बदले बिना ही घूम सकता है। u_ρ के लिए लंबकोणीय रहने के लिए जबकि प्रक्षेपवक्र r(t) एक राशि dθ, u_θ घुमाता है, जो r(t) के लिए लंबकोणीय है, dθ द्वारा भी घूमता है। ऊपर चित्र देखें। इसलिए, परिवर्तन du_θ u_θ के लिए लंबकोणीय है और dθ के समानुपाती (ऊपर चित्र देखें) हैं:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.$

ऊपर दी गई छवि संकेत को नकारात्मक दिखाती है: लंबकोणीयता बनाए रखने के लिए, यदि du_ρ dθ के साथ धनात्मक है, तो d'u'_θ कम होना चाहिए।

u_ρ के व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करना वेग के लिए अभिव्यक्ति में:

$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.$

त्वरण प्राप्त करने के लिए, दूसरी बार विभेदन किया जाता है:

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.$

u_ρ के व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करना और u_θ, कण का त्वरण है:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}$

एक विशेष उदाहरण के रूप में, यदि कण निरंतर त्रिज्या R के एक चक्र में चलता है, तो dρ/dt = 0, 'v' = 'v'_θ, और:

$$\mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\$$

जहाँ $v=v_{\theta }.$

परिणाम गैर-समान परिपत्र गति के लिए ऊपर दिए गए परिणामों से सहमत हैं। गैर-समान परिपत्र गति पर आलेख भी देखें। यदि इस त्वरण को कण द्रव्यमान से गुणा किया जाता है, तो प्रमुख पद अभिकेन्द्र बल होता है और कोणीय त्वरण से संबंधित दूसरे पद के ऋणात्मक को कभी-कभी यूलर बल कहा जाता है।

परिपत्र गति के अतिरिक्त अन्य प्रक्षेपवक्रों के लिए, उदाहरण के लिए रोटेशन के तात्कालिक केंद्र और प्रक्षेपवक्र के वक्रता के त्रिज्या के ऊपर की छवि में कल्पना की गई अधिक सामान्य प्रक्षेपवक्र केवल अप्रत्यक्ष रूप से u_ρऔर u_θ द्वारा परिभाषित समन्वय प्रणाली और लंबाई |r(t)| = ρ से संबंधित हैं । परिणामस्वरूप, सामान्य स्थिति में, उपरोक्त सामान्य त्वरण समीकरण से केन्द्राभिमुख और यूलर शब्दों को अलग करना सीधा नहीं है। इस उद्देश्य से सीधे निपटने के लिए, स्थानीय निर्देशांक उत्तम हैं, जैसा कि आगे चर्चा की गई है।

स्थानीय निर्देशांक

एक वक्र पर तलीय गति के लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली। वक्र के साथ दूरी s और s + ds के लिए दो अलग-अलग स्थितियाँ दिखाई गई हैं। प्रत्येक स्थिति s पर, इकाई सदिश 'u'_n वक्र और इकाई सदिश u के बाहरी सामान्य के साथ बिंदु_t पथ के स्पर्शरेखा है। पथ की वक्रता की त्रिज्या ρ है, जैसा कि चाप की लंबाई के संबंध में वक्र की स्पर्शरेखा के घूमने की दर से पाया जाता है, और स्थिति s पर दोलनशील वृत्त की त्रिज्या है। बाईं ओर इकाई वृत एस के साथ इकाई सदिश के घूर्णन को दर्शाता है।

स्थानीय निर्देशांक का अर्थ निर्देशांक का एक समुच्चय है जो कण के साथ यात्रा करता है, और कण के पथ द्वारा निर्धारित अभिविन्यास है। इकाई सदिश बनते हैं जैसा कि छवि में दिखाया गया है, पथ के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य दोनों। इस समन्वय प्रणाली को कभी-कभी आंतरिक या पथ निर्देशांक के रूप में संदर्भित किया जाता है या सामान्य-स्पर्शरेखा के लिए एनटी-निर्देशांक इन इकाई वैक्टर का संदर्भ देते हैं। ये निर्देशांक विभेदक रूपों के सिद्धांत से स्थानीय निर्देशांक की अधिक सामान्य अवधारणा का एक बहुत ही विशेष उदाहरण हैं।

कण के पथ के साथ दूरी चाप की लंबाई s है, जिसे समय का ज्ञात कार्य माना जाता है।

$s=s(t)\ .$

वक्रता के केंद्र को प्रत्येक स्थिति में परिभाषित किया गया है जो वक्र से ρ (वक्रता की त्रिज्या) की दूरी पर स्थित है और सामान्य u_n (S) के साथ एक रेखा पर स्थित है।। चाप की लंबाई s पर आवश्यक दूरी ρ(s) को वक्र की स्पर्शरेखा के घूमने की दर के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जो बदले में पथ द्वारा ही निर्धारित किया जाता है। यदि किसी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष स्पर्शरेखा का अभिविन्यास θ(s) है, तो ρ(s) को व्युत्पन्न dθ/ds द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .$

वक्रता की त्रिज्या को सामान्यतः धनात्मक (अर्थात् एक निरपेक्ष मान के रूप में) लिया जाता है, जबकि वक्रता κ एक चिन्हित मात्रा है।

वक्रता के केंद्र और वक्रता के त्रिज्या को खोजने के लिए एक ज्यामितीय दृष्टिकोण एक सीमित प्रक्रिया का उपयोग करता है जो आश्लेषी वृत की ओर जाता है। ऊपर चित्र देखें।

इन निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, पथ के साथ गति को सदैव बदलते केंद्र के परिपत्र पथों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जाता है, और प्रत्येक स्थिति में त्रिज्या ρ के साथ उस स्थिति में गैर-समान परिपत्र गति का गठन होता है। रोटेशन की कोणीय दर का स्थानीय मान तब दिया जाता है:

$\omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,$

द्वारा दी गई स्थानीय गति v के साथ:

$v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .$

उपरोक्त अन्य उदाहरणों के लिए, क्योंकि इकाई सदिश परिमाण को नहीं बदल सकते हैं, उनके परिवर्तन की दर सदैव उनकी दिशा के लंबवत होती है (ऊपर की छवि में बाएं हाथ की प्रविष्टि देखें):

${\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;$ ${\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .$

परिणामस्वरुप, वेग और त्वरण हैं:

$\mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;$

और भेदभाव के चेन-नियम का उपयोग करना:

$\mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;$ स्पर्शरेखा त्वरण के साथ ${\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .$

इस स्थानीय समन्वय प्रणाली में, त्वरण स्थानीय त्रिज्या ρ(s) के साथ गैर-समान परिपत्र गति के लिए अभिव्यक्ति जैसा दिखता है, और केंद्रीय त्वरण को दूसरे पद के रूप में पहचाना जाता है।

इस दृष्टिकोण को तीन आयामी अंतरिक्ष वक्रों तक विस्तारित करने से फ़्रेनेट-सेरेट सूत्रों की ओर जाता है।

वैकल्पिक दृष्टिकोण

ऊपर की छवि को देखते हुए, किसी को आश्चर्य हो सकता है कि चाप लंबाई की गणना करने में ρ(s) और ρ(s + ds) के बीच वक्रता में अंतर का पर्याप्त ध्यान रखा गया है या नहीं ds = ρ(s)dθ के रूप में रखा गया है। इस बिंदु पर आश्वासन नीचे उल्लिखित अधिक औपचारिक दृष्टिकोण का उपयोग करके पाया जा सकता है। यह दृष्टिकोण वक्रता पर लेख के साथ भी संबंध बनाता है।

स्थानीय समन्वय प्रणाली के इकाई सदिश को प्रस्तुत करने के लिए, एक दृष्टिकोण कार्टेशियन निर्देशांक में प्रारंभ करना है और इन कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्थानीय निर्देशांक का वर्णन करना है। चाप की लंबाई s के संदर्भ में, पथ को इस प्रकार वर्णित किया जाना चाहिए:

$$\mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].$$

फिर पथ ds के साथ एक वृद्धिशील विस्थापन द्वारा वर्णित है:

$$\mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,$$

जहां s के संबंध में व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए उत्कृष्ट उत्पाद प्रस्तुत किए जाते हैं। इस विस्थापन का परिमाण ds है, जो दर्शाता है कि:

$\left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .$ (समीकरण 1)

यह विस्थापन आवश्यक रूप से s पर वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा है, यह दर्शाता है कि वक्र के लिए इकाई सदिश स्पर्शरेखा है:

$$\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],$$

जबकि वक्र के लिए सामान्य बाहरी इकाई सदिश है

$$\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],$$

लंबकोणीयता को यह दिखा कर सत्यापित किया जा सकता है कि सदिश डॉट उत्पाद शून्य है। इन सदिशों का इकाई परिमाण Eq का परिणाम है। 1. स्पर्शरेखा सदिश का उपयोग करके, वक्र की स्पर्शरेखा का कोण θ इस प्रकार दिया जाता है:

$$\sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;$$

और $\cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .$ वक्रता की त्रिज्या पूरी तरह से औपचारिक रूप से प्रस्तुत की जाती है (ज्यामितीय व्याख्या की आवश्यकता के बिना):

$${\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .$$

θ का व्युत्पन्न उससे sinθ के लिए पाया जा सकता है:

$${\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .$$

अब:

$${\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,$$

जिसमें भाजक एकता है। ज्या के व्युत्पन्न के लिए इस सूत्र के साथ, वक्रता की त्रिज्या बन जाती है:

$${\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,$$

जहाँ रूपों की समानता Eq के विभेदन से उत्पन्न होती है। 1:

$$x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .$$

इन परिणामों के साथ, त्वरण पाया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}$$

जैसा कि इकाई सदिश u_t(s) और u_n(s) के साथ डॉट उत्पाद लेकर सत्यापित किया जा सकता है। त्वरण के लिए यह परिणाम वही है जो त्रिज्या ρ पर आधारित वर्तुल गति के लिए है। जड़त्वीय फ्रेम में इस समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य बल को अभिकेन्द्र बल के रूप में और प्रक्षेपवक्र के समानांतर को स्पर्शरेखा बल के रूप में पहचानना आसान है। गुणात्मक दृष्टिकोण से, पथ को एक सीमित समय के लिए एक वृत्त के चाप द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और सीमित समय के लिए वक्रता का एक विशेष त्रिज्या प्रायुक्त होता है, अभिकेन्द्र और यूलर बलों का उस त्रिज्या के साथ परिपत्र गति के आधार पर विश्लेषण किया जा सकता है।

त्वरण के लिए यह परिणाम पहले पाए गए परिणाम से सहमत है। चूंकि, इस दृष्टिकोण में, एस के साथ वक्रता के त्रिज्या में परिवर्तन का प्रश्न पूरी तरह से औपचारिक रूप से संभाला जाता है, एक ज्यामितीय व्याख्या के अनुरूप है, किन्तु उस पर निर्भर नहीं है, जिससे किसी भी प्रश्न से बचने के लिए उपरोक्त छवि ρ में भिन्नता की उपेक्षा के बारे में सुझाव दे सकती है।

उदाहरण: वर्तुल गति

उपरोक्त सूत्रों को स्पष्ट करने के लिए, x, y को इस प्रकार दिया जाए:

$x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .$

तब:

$x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,$

जिसे त्रिज्या α के साथ मूल के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ के रूप में पहचाना जा सकता है। स्थिति s = 0 [α, 0], या 3 बजे से मेल खाती है। उपरोक्त औपचारिकता का उपयोग करने के लिए, व्युत्पन्न की आवश्यकता है:

$y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,$

$y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .$

इन परिणामों के साथ, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि:

$x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .$

इकाई सदिश भी मिल सकते हैं:

$\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,$

जो दर्शाता है कि s = 0 स्थिति [ρ, 0] और s = ρπ/2 [0, ρ] पर स्थित है, जो x और y के लिए मूल भावों से सहमत है। दूसरे शब्दों में, s को वृत्त के चारों ओर 3 बजे से वामावर्त मापा जाता है। इसके अतिरिक्त, इन सदिशों के व्युत्पन्न पाए जा सकते हैं:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;$

$\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .$

वेग और त्वरण प्राप्त करने के लिए, s के लिए समय-निर्भरता आवश्यक है। परिवर्ती गति v(t) पर वामावर्त गति के लिए:

$s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,$

जहाँ v(t) गति है और t समय है, और s(t = 0) = 0. तब:

$\mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,$

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}$

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,$

जहां यह पहले से ही स्थापित है कि α = ρ। यह त्वरण गैर-समान परिपत्र गति के लिए मानक परिणाम है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
• अनुप्रयुक्त यांत्रिकी
• बर्ट्रेंड प्रमेय
• केंद्रीय बल
• अपकेन्द्रीय बल
• परिपत्र गति
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• कॉरिओलिस प्रभाव
• गतिकी (भौतिकी)
• एस्किमो यो-यो
• समय व्युत्पन्न#उदाहरण: वर्तुल गति|उदाहरण: वर्तुल गति
• बनावटी बल
• फ्रेनेट-सीरेट सूत्र
• केन्द्रापसारक और केन्द्रापसारक बलों का इतिहास
• गतिकी
• कैनेटीक्स (भौतिकी)
• प्लानर कण गति के यांत्रिकी
• ऑर्थोगोनल निर्देशांक
• प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल
• स्थिति-विज्ञान

अग्रिम पठन

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Centripetal force vs. Centrifugal force, from an online Regents Exam physics tutorial by the Oswego City School District

बाहरी संबंध

• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University