कोणीय विस्थापन

निश्चित अक्ष O के बारे में कठोर पिंड P का घूर्णन।

किसी पिंड का कोणीय विस्थापन वह कोण है जो (कांति, डिग्री (कोण) या परिभ्रमण (ज्यामिति) में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है, तो गति को केवल कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वृत्ताकार गति में समय (t) परिवर्तित वेग और त्वरण से गुजरता है। किसी पिंड के घूर्णन से यापन के समय, पिंड को ही कठोर मानना ​​सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के मध्य विभिन्नता पूर्ण पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग विस्थापित नहीं हो रहे है। यथार्थवादी अर्थ में, सभी वस्तु विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को घूर्णी गति कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), कण या पिंड P मूल, O, घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी r पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य परिवर्तित हो रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह चाप (ज्यामिति) s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-

$s=r\theta \,$

माप

कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के मध्य अधिक सरल संबंध प्रदान करता है।

$\theta ={\frac {s}{r}}$

उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ जो सरल हो जाता है:

$\theta =2\pi$ इसलिए, 1 क्रांति है $2\pi$ रेडियन है।

जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है $\delta t$, जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ जो कोणीय विस्थापन के समतल है।

तीन आयाम

File:Euler Rotation 2.JPG

चित्र 1: यूलर का घूर्णन प्रमेय। महान वृत्त घूर्णन के अंतर्गत वृत्त में परिवर्तित हो जाता है, सदैव अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।

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चित्रा 2: घूर्णन यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।

तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई होती है। दिशा नियमित आवर्तन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो सदैव यूलर के घूर्णन प्रमेय के आधार पर उपस्तिथ होती है; परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में नियमित आवर्तन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसे इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।

दिशा और परिमाण होने के अतिरिक्त, कोणीय विस्थापन सदिश (ज्यामिति) नहीं है क्योंकि यह इसके अतिरिक्तविनिमेय कानून का पालन नहीं करता है। फिर भी, जब अनंत घूर्णन से व्यवहार करते हैं, तो दूसरे क्रम के अतिसूक्ष्म को त्याग दिया जा सकता है और इस विषय में क्रम-विनिमेयता दिखाई देती है।

कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई उपाय उपस्तिथ हैं, जैसे घूर्णन आव्यूह या यूलर कोण दूसरों के लिए SO (3) पर चार्ट देखें।

आव्यूह अंकन

यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी सीमा को घूर्णन आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को घूर्णन आव्यूह द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। $A_{0}$ और $A_{f}$ दो आव्यूह, उनके मध्य के कोणीय विस्थापन आव्यूह को प्राप्त किया जा सकता है $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$जब इस उत्पाद को दोनों सीमा के मध्य अधिक अल्प अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के निकट आव्यूह प्राप्त करेंगे।

सीमा में, हमारे पास अनंत घूर्णन आव्यूह होगा।

घूर्णन आव्यूह

Further information: घूर्णन के जनक, अनंत घूर्णन, अनंत घूर्णन टेन्सर, and परिक्रमण समूह SO(3) अत्यंत सूक्ष्म आवर्तन

अनंत कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित आव्यूह है अनंत घूर्णन आव्यूह:

• जैसा कि किसी भी घूर्णन आव्यूह में एकल वास्तविक आइजन मूल्य होता है, जो +1 है, यह आइजन मूल्य घूर्णन अक्ष को दर्शाता है।
• इसके मॉड्यूल को अनंत घूर्णन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
• आव्यूह का आकार इस प्रकार है:
  $$A=(\begin{array}{ccc}1& -<!--\; -\; -->d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_z(t)& d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_y(t)\\ d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_z(t)& 1& -<!--\; -\; -->d{}_{}\end{array}$$