सरल आवर्त गति

यांत्रिकी और भौतिकी में, सरल हार्मोनिक गति (कभी-कभी संक्षिप्त एसएचएम) विशेष प्रकार की आवधिक कार्य गति है जहां गतिमान वस्तु पर प्रत्यानयन बल वस्तु के विस्थापन के परिमाण के सीधे आनुपातिकता (गणित) होता है और वस्तु की संतुलन स्थिति की ओर कार्य करता है। इसका परिणाम दोलन में होता है जो अनिश्चित काल तक जारी रहता है, यदि घर्षण या ऊर्जा के किसी अन्य अपव्यय से निर्जन होता है।

सरल हार्मोनिक गति विभिन्न गतियों के लिए गणितीय मॉडल के रूप में काम कर सकती है, किन्तु स्प्रिंग (डिवाइस) पर द्रव्यमान के दोलन द्वारा टाइप किया जाता है, जब यह हुक के नियम द्वारा दी गई रैखिक लोच (भौतिकी) बहाल करने वाली शक्ति के अधीन होता है। गति समय में साइनसोइडल है और एकल अनुनाद आवृत्ति प्रदर्शित करती है। अन्य घटनाओं को सरल हार्मोनिक गति द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जिसमें पेंडुलम की गति भी सम्मिलित है, चूंकि इसके लिए त्रुटिहीन मॉडल होने के लिए, पेंडुलम के अंत में वस्तु पर शुद्ध बल विस्थापन के समानुपाती होना चाहिए (और फिर भी, यह केवल अच्छा सन्निकटन है जब स्विंग का कोण छोटा होता है; लघु-कोण सन्निकटन देखें)। आणविक कंपन के मॉडल के लिए सरल हार्मोनिक गति का भी उपयोग किया जा सकता है।

सरल हार्मोनिक गति फूरियर विश्लेषण की विधि के माध्यम से अधिक जटिल आवधिक गति के लक्षण वर्णन के लिए आधार प्रदान करती है।

परिचय

कण की गति एक सीधी रेखा के साथ एक त्वरण के साथ चलती है जिसकी दिशा हमेशा रेखा पर निश्चित बिंदु (गणित) की ओर होती है और जिसका परिमाण निश्चित बिंदु से दूरी के समानुपाती होता है, सरल हार्मोनिक गति कहलाती है।

सरल हार्मोनिक गति को वास्तविक स्थान और चरण स्थान दोनों में दिखाया गया है। कक्षा (गतिकी) आवधिक कार्य है। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति (वेक्टर) अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)

आरेख में, हार्मोनिक ऑसीलेटर, जिसमें वसंत के छोर से जुड़े वजन को दिखाया गया है। स्प्रिंग का दूसरा सिरा दीवार जैसे कठोर सपोर्ट से जुड़ा होता है। यदि सिस्टम को यांत्रिक संतुलन की स्थिति में आराम से छोड़ दिया जाता है, तो द्रव्यमान पर कोई शुद्ध बल कार्य नहीं करता है। चूंकि, यदि द्रव्यमान को संतुलन की स्थिति से विस्थापित किया जाता है, तो स्प्रिंग एक्सर्शन पुनर्स्थापना लोच (भौतिकी) बल है जो हुक के नियम का पालन करता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यानयन बल F द्वारा दिया गया है

$$\mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,$$

कहाँ पे F वसंत द्वारा लगाया गया प्रत्यास्थ प्रत्यास्थ बल है (इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में: न्यूटन (इकाई)), k हुक का नियम है (न्यूटन (यूनिट)·मी^-1), और x संतुलन की स्थिति (m) से विस्थापन (वेक्टर) है।

किसी भी साधारण यांत्रिक हार्मोनिक दोलक के लिए:

• जब तंत्र अपनी संतुलन स्थिति से विस्थापित हो जाता है, तो प्रत्यानयन बल जो हुक के नियम का पालन करता है, प्रणाली को संतुलन में लाने के लिए प्रवृत्त होता है।

एक बार जब द्रव्यमान अपनी संतुलन स्थिति से विस्थापित हो जाता है, तो यह शुद्ध प्रत्यानयन बल का अनुभव करता है। परिणामस्वरुप, यह त्वरण और संतुलन की स्थिति में वापस जाना प्रारंभ कर देता है। जब द्रव्यमान संतुलन की स्थिति के करीब जाता है, तो प्रत्यानयन बल कम हो जाता है। साम्यावस्था की स्थिति में, शुद्ध प्रत्यानयन बल लुप्त हो जाता है। चूंकि, पर x = 0, प्रत्यानयन बल द्वारा प्रदान किए गए त्वरण के कारण द्रव्यमान में संवेग होता है। इसलिए, द्रव्यमान संतुलन की स्थिति से आगे बढ़ता रहता है, वसंत को संकुचित करता है। शुद्ध पुनर्स्थापन बल तब इसे धीमा कर देता है जब तक कि इसका वेग शून्य तक नहीं पहुंच जाता है, जिसके बाद यह फिर से संतुलन की स्थिति में वापस आ जाता है।

जब तक सिस्टम में कोई ऊर्जा हानि नहीं होती है, द्रव्यमान दोलन करता रहता है। इस प्रकार सरल आवर्त गति एक प्रकार की आवृत्ति गति है। यदि सिस्टम में ऊर्जा खो जाती है, तो द्रव्यमान अवमंदित दोलित्र प्रदर्शित करता है।

ध्यान दें कि यदि वास्तविक स्थान और चरण स्थान प्लॉट सह-रैखिक नहीं हैं, तो चरण स्थान गति अण्डाकार हो जाती है। संलग्न क्षेत्र आयाम और अधिकतम गति पर निर्भर करता है।

डायनेमिक्स

न्यूटोनियन यांत्रिकी में, एक-आयामी सरल हार्मोनिक गति के लिए, गति का समीकरण, जो निरंतर गुणांक के साथ एक दूसरे क्रम का रैखिक साधारण अवकल समीकरण है, न्यूटन के दूसरे नियम और स्प्रिंग पर द्रव्यमान के लिए हुक के नियम के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है ( उपकरण)।

$$F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,$$

कहाँ पे m दोलनशील पिंड का द्रव्यमान#जड़त्वीय द्रव्यमान है, x यांत्रिक संतुलन (या माध्य) स्थिति से इसका विस्थापन (वेक्टर) है, और k स्थिरांक है (हुक का नियम#वसंत पर द्रव्यमान के लिए औपचारिक परिभाषा)।

इसलिए,

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,$$

उपरोक्त अंतर समीकरण को हल करने से समाधान उत्पन्न होता है जो साइन लहर है:

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),$ कहाँ पे ${\textstyle \omega ={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ स्थिरांक का अर्थ $c_{1}$ तथा $c_{2}$ आसानी से पाया जा सकता है: सेटिंग $t=0$ ऊपर के समीकरण पर हम देखते हैं $x(0)=c_{1}$, जिससे $c_{1}$ कण की प्रारंभिक स्थिति है, $c_{1}=x_{0}$