वर्ण सिद्धांत

This article is about गणित में वर्ण सिद्धांत शब्द का उपयोग. For शब्द वर्ण के संबंधित भाव, see वर्ण (गणित).

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, समूह प्रतिनिधित्व का वर्ण समूह पर फलन है, जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित आव्यूह के चिह्न से युग्मित करता है। वर्ण अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के सम्बन्ध में आवश्यक सूचना रखता है। जॉर्ज फ्रोबेनियस ने प्रारंभ में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो प्रत्येक प्रकार से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट आव्यूह प्राप्ति के बिना होता है। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सकारात्मक विशेषता के क्षेत्र पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक कोमल है, किन्तु रिचर्ड ब्राउर ने इस स्थिति में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर विभिन्न गंभीर प्रमेय मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के वर्णों का उपयोग करते हैं।

अनुप्रयोग

अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के अनेक महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में वर्ण सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण के अर्ध के निकट वर्ण मानों के साथ जटिल गणना सम्मिलित है। सरल, किन्तु फिर भी आवश्यक, परिणाम जो वर्ण सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय सम्मिलित हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, किन्तु वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के अर्ध दशक पश्चात आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने साइलो 2-उपसमूह प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिये कि V क्षेत्र F पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि है और ρ : G → GL(V) V पर समूह G का प्रतिनिधित्व करते हैं। ρ का वर्ण फलन χ_ρ : G → F द्वारा दिया गया है:

$\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))$

जहां Tr ट्रेस है।

वर्ण χ_ρ को अलघुकरणीय या सरल कहा जाता है यदि ρ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है। वर्ण χ की डिग्री ρ का आयाम है; विशेषता शून्य में यह मान χ(1) के समान है। डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। जब G परिमित है और F में विशेषता शून्य है, तो वर्ण χ_ρ का कर्नेल सामान्य उपसमूह है:

$\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,$

जो वास्तव में प्रतिनिधित्व ρ का कर्नेल है। चूँकि, वर्ण सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।

गुण

• वर्ण वर्ग फलन हैं, अर्थात, वे प्रत्येक दिए गए संयुग्मन वर्ग पर स्थिर मान लेते हैं। अधिक त्रुटिहीन रूप से, किसी दिए गए समूह G के क्षेत्र K में अलघुकरणीय वर्णों का समुच्चय सभी वर्ग फलनों G → K के K-सदिश स्थान का आधार बनाते हैं।
• आइसोमॉर्फिक प्रतिनिधित्व में समान वर्ण होते हैं। विशेषता 0 के क्षेत्र में, दो अभ्यावेदन आइसोमॉर्फिक हैं यदि केवल उनके समान वर्ण हैं।
• यदि निरूपण उप-निरूपणों का प्रत्यक्ष योग है, तो संबंधित वर्ण उन उप-प्रतिनिधियों के वर्णों का योग है।
• यदि परिमित समूह G का लक्षण उपसमूह H तक सीमित है, तो परिणाम भी H का वर्ण है।
• प्रत्येक वर्ण मान χ(g) एकता के n-mवें मूल का योग है, जहाँ n वर्ण χ के साथ निरूपण की डिग्री (अर्थात संबंधित सदिश स्थान का आयाम) है और m, g की कोटि है। विशेष रूप से, जब F = C, ऐसा प्रत्येक वर्ण मान बीजगणितीय पूर्णांक होता है।
• यदि F = C और χ तब अलघुकरणीय है:
  $$[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$$
  G में सभी x के लिए बीजगणितीय पूर्णांक है।
• यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है और चार(F) G के क्रम को विभाजित नहीं करता है, तो G के अलघुकरणीय वर्णों की संख्या G के संयुग्मन वर्गों की संख्या के समान है। इसके अतिरिक्त, इस स्थिति में, अलघुकरणीय वर्णों की डिग्री G के क्रम के विभाजक हैं (और वे [G : Z(G)] को भी विभाजित करते हैं यदि F = C हैं)।

अंकगणितीय गुण

मान लीजिए ρ और σ, G का प्रतिनिधित्व करते हैं। तब निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं:

• $\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
• $\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
• $\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
• $\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
• $\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

जहां ρ⊕σ प्रत्यक्ष योग है, ρ⊗σ टेंसर गुणनफल है, जो ρ^∗ρ के संयुग्मी स्थानांतरण को दर्शाता है, और Alt² वैकल्पिक उत्पाद है Alt²ρ = ρ ∧ ρ और Sym² सममित वर्ग है, जो इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है:

$$\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .$$

वर्ण तालिका

Further information: वर्ण तालिका

परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण तालिका बनाते हैं जो सघन रूप में समूह G के सम्बन्ध में अधिक उपयोगी सूचना को कूटबद्ध करता है। प्रत्येक पंक्ति को अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ G के संबंधित संयुग्मन वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं। स्तंभों को G के संयुग्मन वर्गों (प्रतिनिधियों) द्वारा लेबल किया जाता है। यह अल्प प्रतिनिधित्व के वर्ण द्वारा प्रथम पंक्ति को लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि 1-आयामी सदिश स्थान पर G की अल्प क्रिया है, $\rho (g)=1$ सभी के लिए $g\in G$ होती है। प्रथम पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी प्रकार, प्रथम स्तंभ को पहचान के आधार पर लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, प्रथम स्तंभ में प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण की डिग्री होती है।

यहाँ की वर्ण तालिका है:

$C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,$

तीन तत्वों और जनरेटर u के साथ चक्रीय समूह है:

	(1)	(u)	(u2)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω2
χ2	1	ω2	ω

जहाँ ω एकता का प्रारंभिक तीसरा मूल है।

वर्ण तालिका सदैव वर्गाकार होती है, क्योंकि अलघुकरणीय निरूपणों की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के समान होती है।

लंबकोणीयता संबंध

Main article: शूर लंबकोणीयता संबंध

परिमित समूह G के जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों के स्थान में प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है:

$⟨\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟩$