संघ योजना

विचरण के विश्लेषण के लिए प्रयोगों के डिजाइन के सिद्धांत में, संघ योजनाओं का सिद्धांत सांख्यिकी में उत्पन्न हुआ। गणित में, साहचर्य योजनाएँ बीजगणित और संयोजन विज्ञान दोनों से संबंधित हैं। बीजगणितीय साहचर्य में, संघ योजना कई विषयों के लिए एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करती है, उदाहरण के लिए संयोजन डिजाइन और कोडिंग सिद्धांत त्रुटि-सुधार कोड का सिद्धांत। बीजगणित में, साहचर्य योजनाएँ समूह (गणित) का सामान्यीकरण करती हैं और साहचर्य योजनाओं का सिद्धांत समूह प्रतिनिधित्व के समूह चरित्र का सामान्यीकरण करता है।

परिभाषा

n-श्रेणी संघ योजना में सेट (गणित) X होता है जिसमें X × X के सेट S का विभाजन n + 1 द्विआधारी संबंध, R में होता है, R₀, R₁, ..., R_n जो संतुष्ट करता है।

• $R_{0}=\{(x,x):x\in X\}$; इसे पहचान संबंध कहा जाता है।
• परिभाषित करना $R^{*}:=\{(x,y):(y,x)\in R\}$, यदि S में R है, तो S में R* है।
• यदि $(x,y)\in R_{k}$, की संख्या $z\in X$ ऐसा है कि $(x,z)\in R_{i}$ और $(z,y)\in R_{j}$ स्थिरांक $p_{ij}^{k}$ है इस पर निर्भर करते हुए $i$, $j$, $k$ किन्तु $x$ और $y$ की विशेष पसंद पर नहीं।

संघ योजना क्रमविनिमेय है यदि $p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}$ सभी के लिए $i$, $j$ और $k$. अधिकांश लेखक इस संपत्ति को मानते हैं।

सममित संघ योजना वह है जिसमें प्रत्येक $R_{i}$ सममित संबंध है। वह है:

• यदि (x, y) ∈ R_i, तब (y, x) ∈ R_i. (या समकक्ष, R* = R)।

प्रत्येक सममित साहचर्य योजना क्रमविनिमेय होती है।

ध्यान दें, चूँकि, जबकि संघ योजना की धारणा समूह की धारणा को सामान्य करती है, क्रमविनिमेय संघ योजना की धारणा केवल क्रमविनिमेय समूह की धारणा को सामान्य बनाती है।

यदि $(x,y)\in R_{i}$ दो बिंदुओं x और y को i वां सहयोगी कहा जाता है। परिभाषा बताती है कि यदि x और y i वां सहयोगी हैं तो y और x भी हैं। अंकों की प्रत्येक जोड़ी ठीक के लिए iवें सहयोगी $i$ है। प्रत्येक बिंदु का अपना स्वयं का ज़ीरोथ सहयोगी होता है जबकि विशिष्ट बिंदु कभी भी ज़ीरोथ सहयोगी नहीं होते हैं। यदि x और y k वां सहयोगी हैं तो अंकों की संख्या $z$ जो दोनों के सहयोगी हैं $x$ और j-वें के सहयोगी $y$ स्थिरांक $p_{ij}^{k}$ है ।

ग्राफ व्याख्या और आसन्न आव्यूह

सममित संघ योजना को वर्गीकरण वाले किनारों के साथ पूर्ण ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है। ग्राफ है $v$ शीर्ष, प्रत्येक बिंदु के लिए $X$ और किनारों को जोड़ने वाला किनारा $x$ और $y$ अंकित है $i$ यदि $x$ और $y$ हैं $i$वें सहयोगी। प्रत्येक किनारे पर अद्वितीय वर्गीकरण होता है और निश्चित आधार वर्गीकरण वाले त्रिकोणों की संख्या $k$ अन्य किनारों को वर्गीकरण करना $i$ और $j$ स्थिरांक $p_{ij}^{k}$ है , इस पर निर्भर करते हुए $i,j,k$ किन्तु आधार के चुनाव पर नहीं। विशेष रूप से, प्रत्येक शीर्ष ठीक से आपतित होता है $p_{ii}^{0}=v_{i}$ किनारों को वर्गीकरण किया गया $i$; $v_{i}$ संबंध (गणित) का आसन्न संबंध $R_{i}$ है । वर्गीकरण वाले लूप भी हैं $0$ प्रत्येक शीर्ष पर $x$, $R_{0}$ के अनुरूप हैं।

संबंध (गणित) उनके आसन्न आव्यूह द्वारा वर्णित हैं। $A_{i}$ का आसन्न आव्यूह है $R_{i}$ के लिए $i=0,\ldots ,n$ और v × v आव्यूह (गणित) है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों को $X$ बिंदुओं द्वारा वर्गीकरण किया जाता है ।

$\left(A_{i}\right)_{x,y}={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}(x,y)\in R_{i},\\0,&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)$

सममित संघ योजना की परिभाषा यह कहने के बराबर है कि $A_{i}$ v × v (0,1)-आव्यूह|(0,1)-आव्यूहों हैं जो संतुष्ट करते हैं

I. $A_{i}$ सममित है,

II. $\sum _{i=0}^{n}A_{i}=J$ (सभी एक आव्यूह),

III. ${\displaystyle }$