टेन्सर कैलकुलस

गणित में, टेन्सर कैलकुलस, टेन्सर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस, टेंसर फ़ील्ड (टेंसर जो कई गुना भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए अंतरिक्ष समय में) के लिए सदिश कैलकुलस का एक विस्तार है।

ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो और उनके छात्र टुल्लियो लेवी-सिविटा द्वारा विकसित, इसका उपयोग अल्बर्ट आइंस्टीन ने सामान्य सापेक्षता के अपने सामान्य सिद्धांत को विकसित करने के लिए किया था। इनफिनिटसिमल कैलकुलस के विपरीत, टेंसर कैलकुलस भौतिकी समीकरणों को ऐसे रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है जो कई गुना पर निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र होता है।

इनफिनिटसिमल कैलकुलस के विपरीत, टेंसर कैलकुलस कई गुना पर समन्वय चार्ट के प्रकट सहप्रसरण में भौतिकी समीकरणों की प्रस्तुति की अनुमति देता है।

टेन्सर कैलकुलस के भौतिकी, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें लोच (भौतिकी), सातत्य यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण देखें), सामान्य सापेक्षता (सामान्य सापेक्षता का गणित देखें), क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और यंत्र अधिगमग सम्मलित हैं।

बाह्य स्वरूप कैलकुलस के मुख्य प्रस्तावक एली कार्टन के साथ काम करते हुए, प्रभावशाली जियोमीटर शिइंग-शेन चेर्न ने टेंसर कैलकुलस की भूमिका का सारांश प्रस्तुत किया है:

अवकल ज्यामिति के हमारे विषय में, जहां आप मैनिफोल्ड्स के बारे में बात करते हैं, एक कठिनाई यह है कि ज्यामिति का वर्णन निर्देशांक द्वारा किया जाता है, लेकिन निर्देशांक का कोई अर्थ नहीं होता है। उन्हें परिवर्तन से गुजरने की अनुमति होती है। और इस तरह की स्थिति को संभालने के लिए, एक महत्वपूर्ण उपकरण तथाकथित टेंसर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस है, जो गणितज्ञों के लिए नया था। गणित में आपके पास एक फलन होता है, आप फलन को लिखते हैं, आप गणना करते हैं, या आप जोड़ते हैं, या आप गुणा करते हैं, या आप अंतर कर सकते हैं। ज्यामिति में ज्यामितीय स्थिति का वर्णन संख्याओं द्वारा किया जाता है, लेकिन आप अपनी संख्याओं को स्वेच्छाचारिता ढंग से बदल सकते हैं। तो इसे संभालने के लिए, आपको रिक्की कैलकुलस की आवश्यकता होती है।

वाक्यविन्यास

टेन्सर नोटेशन उन वस्तुओं पर ऊपरी और निचले सूचकांक का उपयोग करता है जिनका उपयोग एक चर वस्तु को सहसंयोजक (निचला सूचकांक), विरोधाभासी (ऊपरी सूचकांक), या मिश्रित सहसंयोजक और विरोधाभासी (ऊपरी और निचले दोनों सूचकांक वाले) के रूप में लेबल करने के लिए किया जाता है। वास्तव में पारंपरिक गणित सिंटैक्स में हम कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों से निपटने के दौरान सहसंयोजक सूचकांक का उपयोग करते हैं $(x_{1},x_{2},x_{3})$ अधिकांशतः बिना यह समझे कि यह सहसंयोजक अनुक्रमित घटकों के रूप में टेंसर सिंटैक्स का सीमित उपयोग है।

टेन्सर नोटेशन किसी ऑब्जेक्ट पर ऊपरी सूचकांक की अनुमति देता है जो पारंपरिक गणित सिंटैक्स से सामान्य पावर संचालन के साथ भ्रमित हो सकता है।

मुख्य अवधारणाएँ

सदिश अपघटन

टेंसर नोटेशन एक सदिश की अनुमति देता है (${\vec {V}}$) को आधार सदिश के टेंसर संकुचन का प्रतिनिधित्व करने वाले आइंस्टीन योग में विघटित किया जाना है (${\vec {Z}}_{i}$ या ${\vec {Z}}^{i}$) एक घटक सदिश के साथ ($V_{i}$ या $V^{i}$).

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

प्रत्येक सदिश के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व होते हैं, एक को विरोधाभासी घटक कहा जाता है ($V^{i}$) एक सहसंयोजक आधार के साथ (${\vec {Z}}_{i}$), और दूसरा एक सहसंयोजक घटक के रूप में ($V_{i}$) एक विरोधाभासी आधार के साथ (${\vec {Z}}^{i}$). सभी ऊपरी सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को विरोधाभासी कहा जाता है, और सभी निचले सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को सहसंयोजक कहा जाता है। विरोधाभासी और सहसंयोजक के बीच अंतर करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि जब हम एक विशेष समन्वय प्रणाली से संबंधित आधार सदिश के साथ एक मनमाना सदिश को डॉट करते हैं, तो इस डॉट उत्पाद की व्याख्या करने के दो तरीके हैं, हैं, या हम इसे आधार सदिश पर मनमाने ढंग से सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं, डॉट उत्पाद के दोनों विचार पूरी तरह से हैं समकक्ष, लेकिन अलग-अलग घटक तत्व और अलग-अलग आधार सदिश हैं:

$$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{Z}}_i=V_i={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{V}}^T{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{Z}}_i={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{Z}}_{}^{}$$