जायरोवेक्टर स्पेस

जायरोवेक्टर स्पेस इब्राहीम ए. अनगर द्वारा यूक्लिडियन ज्यामिति में वेक्टर रिक्त स्थान के उपयोग के तरीके के अनुरूप अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए प्रस्तावित एक गणित अवधारणा है। अनगर ने जायरोवेक्टर की अवधारणा प्रस्तुत की, जिसमें सदिश के बजायजाइरोग्रुप्स पर आधारित योग है, जो कि समूह (गणित) के आधार पर युग्म है। अनगर ने वेग की रचनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन के उपयोग के विकल्प के रूप में विशेष सापेक्षता के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में अपनी अवधारणा विकसित की (जिसे लोरेंत्ज़ बूस्ट भी कहा जाता है - बूस्ट सापेक्ष वेग के पहलू हैं, और अनुवाद (ज्यामिति) के साथ सम्‍मिलित नहीं होना चाहिए।) जाइरो संचालकों को प्रस्तुत करके इसे प्राप्त किया जाता है। एक क्रियाविधि के निर्माण के लिए दो 3डी वेग सदिश का उपयोग किया जाता है, जो दूसरे 3डी वेग पर कार्य करता है।

नाम

जाइरोग्रुप निर्बल सहयोगी समूह जैसी संरचनाएं हैं। उंगर ने जाइरोग्रुप शब्द का प्रस्ताव रखा, जिसे उन्होंने जाइरोकोमुटेटिव-जाइरोग्रुप कहा, जिसमें जाइरोग्रुप शब्द गैर-जाइरोकम्यूटिव मामले के लिए आरक्षित है, एबेलियन समूह के साथ समानता में जाइरोग्रुप एक प्रकार का बॉल रन है। गायरोकोम्यूटेटिव जाइरोग्रुप्स के-लूप के बराबर हैं हालांकि इसे अलग तरह से परिभाषित किया गया है। ब्रुक लूप की शर्तें और डायाडिक सिम्सेट उपयोग में भी हैं।

जायरोवेक्टर स्पेस का गणित

सिद्धांत

जाइरोग्रुप (G, $\oplus$) में एक अंतर्निहित सेट G और एक बाइनरी क्रियाविधि $\oplus$ सम्मिलित है, निम्नलिखित अभिगृहीत को संतुष्ट करना:

1. G में कम से कम एक तत्व 0 है जिसे 0 के साथ पहचान कहा जाता है $\oplus$ a = a for all a in G.
2. G में प्रत्येक a के लिए एक अवयव है $\ominus$a in G को a का बायाँ व्युत्क्रम कहा जाता है ($\ominus$a) $\oplus$ a = 0
3. G में किसी भी a, b, c के लिए G में एक अद्वितीय तत्व gyr [a, b] c उपलब्ध है, जैसे कि बाइनरी क्रियाविधि बाएं जाइरोएसोसिएटिव नियम का पालन करता है: a $\oplus$ (b $\oplus$ c) = (a $\oplus$ b) $\oplus$ gyr [a, b] c
4. मानचित्र gyr[a,b]: G → G c ↦ gyr[a,b]c द्वारा दिया गया मैग्मा (बीजगणित) (G, $\oplus$) - अर्थात gyr[a,b] Aut(G, $\oplus$) और G के ऑटोमॉर्फिज्म gyr[a,b] को G में a, b द्वारा उत्पन्न जाइरोमोर्फिसम कहा जाता है। क्रियाविधि gyr G × G → Aut(G,$\oplus$) G का जाइरेटर कहलाता है।
5. जाइरोआटोमोर्फिज्म गेयर [a, b] में बायां लूप (बीजगणित) विशेषता gyr [a, b] = gyr [a $\oplus$ b, b]

अभिगृहीतों का पहला युग्म समूह (गणित) अभिगृहीतों के समान है। अंतिम जोड़ी जाइरेटर अभिगृहीत को प्रस्तुत करती है और मध्य स्वयंसिद्ध दो जोड़े को जोड़ती है।

चूंकि जाइरोग्रुप में व्युत्क्रम और एक पहचान होती है, इसलिए यह जाइरोग्रुप्स और लूप (बीजगणित) के रूप में उत्तीर्ण होता है। एक क्रियाविधि के निर्माण के लिए दो 3डी वेग सदिश का उपयोग किया जाता है, जो दूसरे 3डी वेग पर कार्य करता है।

जाइरोग्रुप्स समूह (गणित) का एक सामान्यीकरण है। प्रत्येक समूह जाइरोग्रुप का एक उदाहरण है जिसमें Gyr[a,b] को G में सभी a और b के लिए पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिमित जाइरोग्रुप का एक उदाहरण में दिया गया है .

पहचान

कुछ सर्वसमिकाएँ जो किसी जाइरोग्रुप (G, $\oplus$) में हैं:

1. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$ (जाइरेशन)
2. $\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$ (बायां साहचर्य)
3. $(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )$ (दायां साहचर्य)

इसके अलावा, कोई जाइरेशन व्युत्क्रम नियम को सिद्ध कर सकता है, जो नीचे जाइरोकोम्यूटेटिविटी की परिभाषा के लिए प्रेरणा है:

1. $\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )$ (जाइरेशन व्युत्क्रम नियम)

किसी जाइरोग्रुप के परिभ्रमण समूह द्वारा संतुष्ट कुछ अतिरिक्त प्रमेयों में सम्मिलित हैं:

1. $\mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I$ (पहचान जाइरेशन)
2. $\mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (जाइरोमोर्फिसम व्युत्क्रम नियम)
3. $\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$ (जाइरेशन इवन प्रॉपर्टी)
4. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]$ (राइट लूप प्रॉपर्टी)
5. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]$ (बायां लूप विशेषता)

अधिक पहचान पृष्ठ 50 पर दी गई है . उपरोक्त सर्वसमिकाओं का एक विशेष रूप से उपयोगी परिणाम यह है कि जाइरोग्रुप्स लूप को संतुष्ट करते हैं

1. $(\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))$

जाइरोकम्यूटेटिविटी

जाइरोग्रुप (g,$\oplus$) जाइरोकम्यूटेटिव है अगर इसका बाइनरी क्रियाविधि जाइरोकम्यूटेटिव नियम का पालन करता है: a $\oplus$ b = gyr [a, b] (b $\oplus$ a)। सापेक्षिक वेग योग के लिए, a + b और b + a से संबंधित घूर्णन की भूमिका दर्शाने वाला यह सूत्र 1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन द्वारा प्रकाशित किया गया था।

योग

प्रत्येक जाइरोग्रुप में, एक दूसरे क्रियाविधि को कोडिशन कहा जा सकता है: a $\boxplus$ b = a $\oplus$ gyr$\ominus$b]b सभी a, b ∈ G के लिए जाइरोग्रुप योग जाइरोकम्यूटेटिव है तो कोडिशन कम्यूटिव है।

बेल्ट्रामी-क्लेन डिस्क/बॉल मॉडल और आइंस्टीन योग

अतिपरवलीय ज्यामिति के बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में सापेक्षिक वेगों को बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है और इसलिए बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में वेक्टर योग वेग-योग सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। 3 से अधिक आयामों के अतिपरवलयिक स्थान में सदिश योग को सामान्यीकृत करने के सूत्र के लिए, सूत्र को ऐसे रूप में लिखा जाना चाहिए जिसमे डॉट उत्पाद के पक्ष में क्रॉस उत्पाद के उपयोग से बचा जा सके।

सामान्य स्थिति में, दो वेगों का आइंस्टीन वेग-योग सूत्र $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ समन्वय-स्वतंत्र रूप में दिया गया है:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}$

जहाँ $\gamma _{\mathbf {u} }$ समीकरण द्वारा दिया गया गामा कारक $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}$ है,

निर्देशांक का उपयोग करना यह बन जाता है:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}$

जहाँ $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}$.

आइंस्टाइन का वेग योग क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम तभी होता है जब $\mathbf {u}$ और $\mathbf {v}$ समानांतर हैं। वास्तव में

$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

और

$\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$

जहां gyr थॉमस जाइरेशन नामक क्रियाविधि में थॉमस प्रीसेशन का गणितीय अमूर्तन है और इसके द्वारा दिया गया है

$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$

सभी के लिए डब्ल्यू थॉमस प्रीसेशन की अतिपरवलयिक ज्यामिति में ऋणात्मक अतिपरवलयिक त्रिभुज दोष के रूप में एक व्याख्या मात्र है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन रचना

यदि 3-निर्देशांकों पर लागू परिक्रमण का 3 × 3 मैट्रिक्स रूप gyr[u,v] द्वारा दिया जाता है, तो 4-निर्देशांकों पर लागू 4 × 4 मैट्रिक्स परिक्रमण द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}$.

दो लोरेंत्ज़ की संरचना u और v वेगों के b (u) और b (v) को बढ़ाती है:

$B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

यह तथ्य B(u$\oplus$v) या B (v$\oplus$u) का उपयोग इस आधार पर किया जा सकता है कि आप वेग-योग सूत्र वेग रचना विरोधाभास के पहले या बाद में परिक्रमण लिखते हैं या नहीं।

दो लोरेंत्ज़ रूपांतरण L(U,u) और L(V,v) की संरचना जिसमें परिक्रमण U और V सम्मिलित द्वारा दिया गया है:

$L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)$

उपरोक्त में, बूस्ट को 4 × 4 मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। बूस्ट मैट्रिक्स B(v) का अर्थ है बूस्ट B जो v के घटकों का उपयोग करता है, अर्थात v₁, v₂, v₃ मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में, या बल्कि प्रतिनिधित्व में v/c के घटकों का उपयोग किया जाता है जो कि लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिक्स रूपों में उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ 3-वेग v के घटकों पर निर्भर करती हैं, और यही संकेतन B(v) का अर्थ है। एक क्रियाविधि के निर्माण के लिए दो 3डी वेग सदिश का उपयोग किया जाता है, जो दूसरे 3डी वेग पर कार्य करता है। यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रविष्टियाँ 4-वेग के घटकों पर निर्भर करती हैं क्योंकि 4-वेग की प्रविष्टियों में से 3 प्रविष्टियाँ 3-वेग की प्रविष्टियों के समान हैं, लेकिन 3-वेग द्वारा बढ़ावा देने की उपयोगिता है परिणामी बूस्ट आपको दो बूस्ट की संरचना से मिलता है जो 3-वेग संरचना U के घटकों का उपयोग करता है, $\oplus$v 4 × 4 मैट्रिक्स में B(u$\oplus$V) परिणामी बूस्ट को भी एक परिक्रमण मैट्रिक्स से गुणा करने की आवश्यकता होती है क्योंकि बूस्ट संरचना (अर्थात दो 4 × 4 मैट्रिक्स का गुणा) का परिणाम शुद्ध बूस्ट में नहीं बल्कि एक बूस्ट और एक परिक्रमण में होता है, अर्थात एक 4 × 4 मैट्रिक्स जो इसके अनुरूप होता है B (U) B (V) = B (U) प्राप्त करने के लिए परिक्रमण Gyr [U, V]$\oplus$C) में, Gyr[u,v] to get B(u)B(v) = B(u

v)Gyr[u,v] = Gyr[u,v]B(vu).करता है।

आइंस्टीन जायरोवेक्टर स्पेस

मान लीजिए s कोई धनात्मक स्थिरांक है, मान लीजिए (V,+,.) कोई वास्तविक आंतरिक गुणनफल समष्टि है और मान लीजिए V_s={v ∈ V :|v|<s}. एक आइंस्टीन जायरोवेक्टर स्पेस (V_s, $\oplus$, $\otimes$) एक आइंस्टीन जाइरोग्रुप (V_s, $\oplus$) R द्वारा दिए गए स्केलर गुणन के साथ$\otimes$v= 's tanh(r tanh⁻¹(|v|/s))v/|v| जहाँ r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ Vs, V ≠ 0 और R$\otimes$0 = 0 अंकन v के साथ$\otimes$R = R$\otimes$V

आइन्स्टाइन अदिश गुणन आइंस्टाइन योग पर वितरण नहीं करता सिवाय इसके कि जाइरोवेक्टर कॉलिनियर (मोनोडिस्ट्रिब्यूटिविटी) हों, लेकिन इसमें वेक्टर स्पेस के अन्य गुण होते हैं: किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए r, R₁,R₂ और V ∈ V_s':

n $\otimes$ v = v $\oplus$ ... $\oplus$ v	n शर्तें
(r1 + r2) $\otimes$ v = r1 $\otimes$ v $\oplus$ r2 $\otimes$ v	अदिश वितरण नियम
(r1r2) $\otimes$ v = r1 $\otimes$ (r2 $\otimes$ v)	अदिश साहचर्य नियम
r $\otimes$(r1 $\otimes$ a $\oplus$ r2 $\otimes$ a) = r $\otimes$(r1 $\otimes$ a) $\oplus$ r $\otimes$(r2 $\otimes$ a)	एकल वितरण नियम

पोंकारे डिस्क/बॉल मॉडल और मोबियस एडिशन

जटिल विमान में ओपन यूनिट डिस्क का मोबियस परिवर्तन ध्रुवीय अपघटन द्वारा दिया गया है

$z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}$ जिसे लिखा जा सकता है $e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}$ जो मोबियस योग को परिभाषित करता है ${a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}$.

इसे उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने के लिए जटिल संख्याओं को विमान में सदिश के रूप में माना जाता है $\mathbf {\mathrm {R} } ^{2}$, और मोबियस योग को वेक्टर रूप में फिर से लिखा गया है:

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}$

यह पॉइनकेयर डिस्क मॉडल अतिपरवलीय ज्यामिति के पॉइनकेयर बॉल मॉडल में बिंदुओं का सदिश योग देता है जहां जटिल इकाई डिस्क के लिए s=1 अब कोई भी s>0 बन जाता है।

मोबियस जायरोवेक्टर स्पेस

मान लीजिए s कोई धनात्मक स्थिरांक है, मान लीजिए (V,+,.) कोई वास्तविक आंतरिक गुणनफल समष्टि है और मान लीजिए V_s={v ∈ V :|v|<s}. एक मोबियस जायरोवेक्टर स्पेस (V_s, $\oplus$, $\otimes$) एक मोबियस जाइरोग्रुप (V_s, $\oplus$) R द्वारा दिए गए स्केलर गुणन के साथ$\otimes$v= 's tanh(r tanh⁻¹(|v|/s))v/|v| जहाँ r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ Vs, V ≠ 0 और R$\otimes$0 = 0 अंकन v के साथ$\otimes$R = R$\otimes$V

मोबियस स्केलर गुणन आइंस्टीन स्केलर गुणन (ऊपर अनुभाग देखें) के साथ समानता रखता है और यह मोबीस योग और आइंस्टीन योग से उत्पन्न होता है जो समानांतर सदिश के लिए होता है।

उचित वेग अंतरिक्ष मॉडल और उचित वेग योग

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का एक उचित वेग अंतरिक्ष मॉडल उचित वेग योग सूत्र द्वारा दिए गए वेक्टर योग के साथ उचित वेग द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u}$

जहाँ $\beta _{\mathbf {w} }$ द्वारा दिया गया बीटा कारक है $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}$.

यह सूत्र एक मॉडल प्रदान करता है जो डिस्क या अर्ध-विमानों का उपयोग करने वाले अतिपरवलयिक ज्यामिति के अन्य मॉडलों की तुलना में संपूर्ण स्थान का उपयोग करता है। एक क्रियाविधि के निर्माण के लिए दो 3डी वेग सदिश का उपयोग किया जाता है, जो दूसरे 3डी वेग पर कार्य करता है।

एक उचित वेग जायरोवेक्टर अंतरिक्ष एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान V है, जिसमें उचित वेग जाइरोग्रुप्स योग है $\oplus _{U}$ और R द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ$\otimes$v= 's sin(r sinh⁻¹(|v|/s))v/|v| जहां r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ V, v ≠ 0 और r$\otimes$0 = 0 अंकन v के साथ$\otimes$R = R$\otimes$में उपयोग करता है।

समाकृतिकता

जाइरोवेक्टर स्पेस आइसोमोर्फिज्म जाइरोग्रुप योग और स्केलर गुणन और आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है।

मोबियस, आइंस्टीन और प्रॉपर वेलोसिटी तीन जायरोवेक्टर स्पेस आइसोमॉर्फिक हैं।

यदि M, E और U तत्व v के साथ क्रमशः मोबियस, आइंस्टीन और प्रॉपर वेलोसिटी जायरोवेक्टर स्पेस हैं_m, V_e और V_u तो समरूपता द्वारा दिया जाता है:

E$\rightarrow$U by $\gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}$

U$\rightarrow$E by $\beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}$

E$\rightarrow$M by ${\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}$

M$\rightarrow$E by $2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}$

M$\rightarrow$U by $2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}$

U$\rightarrow$M by ${\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}$

इस तालिका से बीच का संबंध $\oplus _{E}$ और $\oplus _{M}$ समीकरणों द्वारा दिया गया है:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)$

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)$

यह मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन से संबंधित है। मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन और लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन के बीच संबंध उपर्युक्त समीकरण में निहित है।

जाइरोट्रिगोनोमेट्री

जायरोट्रिगोनोमेट्री अतिपरवलीय त्रिकोणों का अध्ययन करने के लिए जाइरोकॉन्सेप्ट का उपयोग है।

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमिति, जैसा कि सामान्यतः अध्ययन किया जाता है, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य cos, sinh आदि का उपयोग करती है, और यह गोलाकार त्रिकोणमिति के साथ विरोधाभासी है जो यूक्लिडियन त्रिकोणमितीय कार्यों cos, sin का उपयोग करती है, लेकिन गोलाकार त्रिकोणमिति सर्वसमिका के साथ सामान्य समतल त्रिभुज पहचान के बजाय जाइरोट्रिगोनोमेट्री सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करने का दृष्टिकोण लेती है लेकिन जाइरोट्राएंगल पहचान के संयोजन के साथ त्रिकोणमिति अध्ययन किया जाता है।

त्रिभुज केंद्र

त्रिभुज केंद्रों का अध्ययन पारंपरिक रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति से संबंधित है, लेकिन त्रिभुज केंद्रों का अध्ययन अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में भी किया जा सकता है। जाइरोट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के लिए अभिव्यक्ति की गणना की जा सकती है जो यूक्लिडियन और हाइपरबॉलिक ज्यामिति दोनों के लिए समान रूप है। अभिव्यक्तियों के समानता रखने के लिए, अभिव्यक्तियों को कोणों के 180 डिग्री होने के विनिर्देश को समाहित नहीं करना चाहिए।

जाइरोपैरालेलोग्राम योग

जाइरोट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करके, जाइरोवेक्टर योग पाया जा सकता है जो जाइरोपैरेललोग्राम नियम के अनुसार संचालित होता है। यह जाइरोग्रुप क्रियाविधि का कोआडिशन है। जाइरोपैरालेलोग्राम योग क्रमविनिमेय है।

जाइरोपैराललोग्राम नियम समांतर चतुर्भुज नियम के समान है जिसमें एक जाइरोपैरललोग्राम एक अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज है, जिसके दो जाइरोडायगोनल उनके जाइरोमिडपॉइंट्स पर प्रतिच्छेद करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे एक समांतर चतुर्भुज एक यूक्लिडियन चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण उनके मध्य बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

बलोच वेक्टर

बलोच सदिश जो यूक्लिडियन 3-स्पेस की ओपन यूनिट बॉल से संबंधित हैं, आइंस्टीन योग या मोबियस योग के साथ अध्ययन किया जा सकता है।

पुस्तक समीक्षा

पहले के जायरोवेक्टर किताबों में से एक की समीक्षा निम्नलिखित कहते हैं:

वर्षों से, सापेक्षता और विद्युतगतिकी में समस्या समाधान में उपयोग के लिए गैर-यूक्लिडियन शैली को बढ़ावा देने के लिए मुट्ठी भर प्रयास किए गए हैं, जिनमें से किसी भी सकारात्मक परिणाम की अनुपस्थिति से जटिल किसी भी पर्याप्त निम्नलिखित को आकर्षित करने में विफलता को विराम देना चाहिए एक समान उपक्रम पर विचार करने वाला कोई भी आइंस्टीन के वेग रचना के नियम की संरचना कुछ समय पहले तक, 1912 से उपलब्ध उपकरणों में सुधार की पेशकश करने की स्थिति में नहीं था।

नोट्स और संदर्भ

• डोमेनिको गिउलिनी, बीजगणितीय और विशेष सापेक्षता की ज्यामितीय संरचनाएं, विशेष सापेक्षता में एक अध्याय: क्या यह अगले 100 वर्षों तक जीवित रहेगा?, क्लॉस लैमरज़ाहल द्वारा संपादित, जुरगेन एहलर्स, स्प्रिंगर, 2006।

अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

• Einstein's Special Relativity: The Hyperbolic Geometric Viewpoint
• "Hyperbolic Trigonometry and its Application in the Poincaré Ball Model of Hyperbolic Geometry". 2001: 6–19. CiteSeerX 10.1.1.17.6107. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)