संबंधित दरें

अंतर कलन में, संबंधित दरों की समस्याओं में एक दर का पता लगाना शामिल होता है, जिस पर समीकरण द्वारा मात्रा में परिवर्तन होता है, वह मात्रा अन्य मात्राओं में होती है, जिनकी परिवर्तन की दर ज्ञात होती है। परिवर्तन की दर आमतौर पर समय के संबंध में होती है। क्योंकि विज्ञान और इंजीनियरिंग अक्सर मात्राओं को एक-दूसरे से संबंधित करते हैं, इन क्षेत्रों में संबंधित दरों के तरीकों का व्यापक अनुप्रयोग होता है। समय या किसी अन्य चर के संबंध में विभेदीकरण के लिए श्रृंखला नियम के अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है, चूंकि अधिकांश समस्याओं में कई चर शामिल होते हैं।

मूल रूप से, यदि कोई कार्य $F$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है $F=f(x)$, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $F$ दूसरे चर के संबंध में लिया जा सकता है। हमारा मानना ​​है $x$ का एक कार्य है $t$, अर्थात। $x=g(t)$. फिर $F=f(g(t))$, इसलिए

$F'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)$ लीबनिज संकेतन में लिखा है, यह है:

${\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.$

इस प्रकार, यदि यह ज्ञात है कि कैसे $x$ के संबंध में बदलता है $t$, तो हम कैसे निर्धारित कर सकते हैं $F$ के संबंध में बदलता है $t$ और इसके विपरीत। हम श्रृंखला नियम के इस अनुप्रयोग को कलन के योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के नियमों आदि के साथ बढ़ा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि $F(x)=G(y)+H(z)$ फिर

$\frac{dF}{dx}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dx}{dt}=\frac{dG}{dy}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dy}{d}$