आंशिक अवकलज

गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।

चर $x$ के संबंध में $f(x,y,\dots )$ का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से

$f_{x}$,$f'_{x}$, $\partial _{x}f$, $\ D_{x}f$, $D_{1}f$, ${\frac {\partial }{\partial x}}f$, or ${\frac {\partial f}{\partial x}}$.

द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान $x$ दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।

कभी-कभी, $z=f(x,y,\ldots )$ के लिए, $x$ के संबंध में $z$ का आंशिक अवकलज ${\tfrac {\partial z}{\partial x}}.$के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,

$f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).$

आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने आंशिक अंतर समीकरण के लिए इसका इस्तेमाल किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया; कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1841 में प्रतीक को फिर से प्रस्तुत किया। उच्च क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के लिए, आंशिक डेरिवेटिव (फलन) का $D_{i}f$ jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. वह है, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें डेरिवेटिव लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि $D_{}$