आंशिक अवकलज

गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।

चर $x$ के संबंध में $f(x,y,\dots )$ का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से

f_{x}

,

f'_{x}

,

\partial _{x}f

,

\ D_{x}f

,

D_{1}f

,

{\frac {\partial }{\partial x}}f

, or

{\frac {\partial f}{\partial x}}

.

द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान $x$ दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।

कभी-कभी, $z=f(x,y,\ldots )$ के लिए, $x$ के संबंध में $z$ का आंशिक अवकलज ${\tfrac {\partial z}{\partial x}}.$ के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,

f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).

आंशिक अवकलज को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने इसका उपयोग आंशिक अंतर के लिए किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया, तब कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1841 में प्रतीक को फिर से प्रस्तुत किया।^[1]

परिभाषा

सामान्य अवकलज की तरह, आंशिक अवकलज को एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि $U$ , $\mathbb {R} ^{n}$ का एक विवृत उपसमुच्चय है और ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ एक फलन है। i-वें चर ${\displaystyle x_{i}}$ के संबंध में बिंदु ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$ 1 पर f का आंशिक अवकलज

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$

के रूप में परिभाषित किया गया है। भले ही सभी आंशिक अवकलज ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$ किसी दिए गए बिंदु $a$ पर उपस्थित हों, लेकिन फलन को वहां निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक अवकलज $a$ के प्रतिवेश में उपस्थित हैं और वहां निरंतर हैं, तो उस प्रतिवेश में $f$ पूरी तरह से अवलकनीय है और कुल अवकलज निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि $f$ एक $\mathbb {C} ^{1}$ फलन है। इसका उपयोग घटकवार तर्क का सावधानीपूर्वक उपयोग करके सदिश मूल्यवान फलनो, ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ के लिए सामान्यीकरण करने के लिए किया जा सकता है।

आंशिक अवकलज ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ को $U$ पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे मिश्रित आंशिक अवकलज कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो $f$ को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) $\mathbb {C} ^{2}$ फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान क्लैरौट के प्रमे य द्वारा किया जा सकता है,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$

संकेतन

अधिक जानकारी, ∂

निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, मान लीजिए कि x, y और z में f एक फलन है।

प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$

दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$

दूसरे क्रम के मिश्रित अवकलज,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$

उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित अवकलज,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$

एकाधिक चर वाले फलनो का वितरण करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए कौन से चर स्थिर रखे जा रहे हैं। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज, y और z स्थिरांक रखते हुए, प्रायः ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परंपरागत रूप से, संकेतन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक अवकलज फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के मूल्य को आंशिक अवकलज प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग करने पर फलन तर्कों को सम्मिलित करके संयोजित किया जाता है। इस प्रकार, फलन के लिए ${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$ जैसे व्यंजक का उपयोग किया जाता है, जबकि बिंदु ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ पर फलन के मान के लिए ${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$ का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, यह समझौता तब टूट जाता है जब हम ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$ जैसे बिंदु पर आंशिक अवकलज का मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसे स्थिति में, लीबनिज़ संकेतन का उपयोग करने के लिए फलन का मूल्यांकन

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$ या

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$

के रूप में एक भारी तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इन स्थितियों में, i-वें चर के संबंध में आंशिक अवकलज प्रतीक के रूप में $D_{i}$ के साथ ऑयलर अवकल संचालक संकेतन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ लिखेगा, जबकि व्यंजक ${\displaystyle D_{1}f}$ पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में $D_{i}f$ का आंशिक अवकलज (फलन) $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$ दर्शाया गया है। अर्थात्, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$ , चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, क्लेराट के प्रमेय का तात्पर्य यह है कि $D_{i,j}=D_{j,i}$ , f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है।

प्रवणता

कई चरों वाले फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ (e.g., पर $\mathbb {R} ^{2}$ या $\mathbb {R} ^{3}$ ) में एक प्रक्षेत्र पर अदिश-मूल्यवान फलन f(x₁, ..., x_n) की स्थिति है। इस स्थिति में f में प्रत्येक चर x_j के संबंध में आंशिक अवकलज ∂f/∂x_j है। बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश

\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).

को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की प्रवणता कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, प्रवणता एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है।

अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल संचालक (∇) को इस प्रकार परिभाषित करना है, जो एकांक सदिश ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ के साथ त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{3}$ में निम्नानुसार है,

\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}

या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक $x_{1},\ldots ,x_{n}$ और एकांक सदिश ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$ के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए,

\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}

दिक् अवकलज

f(x,y)=x^{2}+y^{2}

का एक समोच्च प्लॉट, काले रंग में प्रवणता सदिश दिखा रहा है, और एकांक सदिश

\mathbf {u}

को नारंगी रंग में

\mathbf {u}

के दिक् में दिक् अवकलज द्वारा माप क्रमित किया गया है। प्रवणता सदिश लंबा होता है क्योंकि प्रवणता किसी फलन की वृद्धि की सबसे बड़ी दर की दिक् में निर्दिष्ट करता है।

यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है।

एक सदिश ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ के साथ एक अदिश फलन ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ का दिक् अवकलज सीमा ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$ द्वारा परिभाषित फलन ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ है।

यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां एक सदिश (और इसलिए एक एकांक सदिश) का मानदंड अपरिभाषित है।

उदाहरण

मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का एक फलन है। उदाहरण के लिए,

z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}

.

A graph of z = x² + xy + y². For the partial derivative at (1, 1) that leaves y constant, the corresponding tangent line is parallel to the xz-plane.

A slice of the graph above showing the function in the xz-plane at y = 1. Note that the two axes are shown here with different scales. The slope of the tangent line is 3.

इस फलन का ग्राफ़ यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएँ होती हैं। आंशिक अवकलन इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी प्रवणता ज्ञात करने की विधि है। आमतौर पर, अधिक रुचि वाली रेखाएँ वे होती हैं जो $xz$ -तल के समानांतर होती हैं, और वे जो $yz$ -तल (जो क्रमशः $y$ या $x$ स्थिरांक रखने से उत्पन्न होता है) के समानांतर होती हैं।

$P(1,1)$ पर फलन की स्पर्श रेखा की और $xz$ -तल के समानांतर रेखा की प्रवणता खोजने के लिए, हम $y$ को एक स्थिरांक मानते हैं।

ग्राफ और इस तल को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन तल $y=1$ पर कैसा दिखता है। यह मानते हुए कि $y$ एक स्थिरांक है, समीकरण का अवकलज ज्ञात करके, हम पाते हैं कि बिंदु $(x,y)$ पर $f$ की प्रवणता है,

{\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.

तो $(1,1)$ पर, प्रतिस्थापन द्वारा, प्रवणता 3 है। इसलिए, बिंदु पर $(1,1)$ पर

{\frac {\partial z}{\partial x}}=3

।

अर्थात्, $(1,1)$ पर $x$ के संबंध में $z$ का आंशिक अवकलज 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।

फलन f की अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के फलनो के समुह के रूप में पुन: व्याख्या की जा सकती है,

f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.

दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे f_y कहा जाता है, जो एक चर x का फलन है।^{[note 1]} अर्थात,

f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.

इस अनुभाग में पादांकित संकेतन f_y, y के निश्चित मान पर निर्भर एक फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।

एक बार जब y का मान चुना जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन f_a निर्धारित करता है जो $xz$ -तल पर एक वक्र x² + ax +a² का पता लगाता है,

f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.

इस व्यंजक में, a एक स्थिर है, चर नहीं है, इसलिए f_aकेवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। परिणामस्वरूप, एक चर के एक फलन के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है,

f_{a}'(x)=2x+a.

उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन मिलता है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है,

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.

यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे आंशिक अवकलज प्रतीक कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है।

उच्चतर कोटि आंशिक अवकलज

दूसरे और उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज को एकचर फलनो के उच्चतर कोटि के अवकलज के अनुरूप परिभाषित किया गया है। फलन $f(x,y,...)$ के लिए x के संबंध में स्वयं का दूसरा आंशिक अवकलज केवल आंशिक अवकलज (दोनों x के संबंध में) का आंशिक अवकलज है,^[2]^{: 316–318}

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.

x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है, और फिर

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.

प्राप्त करने के लिए y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लिया जाता है। श्वार्ज की प्रमेय में कहा गया है कि यदि दूसरा अवकलज निरंतर है, तो क्रॉस आंशिक अवकलज के लिए व्यंजक इस बात से अप्रभावित रहता है कि किस चर के संबंध में आंशिक अवकलज को पहले लिया गया है और किसको दूसरे के संबंध में लिया गया है। अर्थात,

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}

या समकक्ष $f_{yx}=f_{xy}.$

हेसियन आव्यूह में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोगइष्टतमीकरण समस्याओं में दूसरे क्रम की स्थितियों में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं

प्रतिअवकलज अनुरूप

आंशिक अवकलज के लिए एक अवधारणा है जो नियमित अवकलज के लिए प्रतिअवकलज के समान है। आंशिक अवकलज को देखते हुए, यह मूल फलन की आंशिक पुनर्प्राप्ति की अनुमति देता है।

{\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.

के उदाहरण पर विचार करें। तथाकथित आंशिक समाकल को x (आंशिक अवकलन के समान तरीके से y को स्थिर मानते हुए) के संबंध में लिया जा सकता है ,

z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).

यहाँ, समाकलन का स्थिरांक अब एक स्थिरांक नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल फलन के सभी चरों का एक फलन है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी फलन जिसमें $x$ सम्मिलित नहीं होता है, आंशिक अवकलज लेते समय गायब हो जाएगा, और जब हम प्रतिअवकलज लेते हैं तो हमें इसका स्पष्टीकरण देना होता है। इसे दर्शाने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि स्थिरांक अन्य सभी चरों के एक अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार फलनो का समुच्चय $x^{2}+xy+g(y)$ , जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, तथा चर x, y में फलनो के पूरे समुच्चयो का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज $2x+y$ उत्पन्न कर सकता है।

यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो मूल फलन को एक स्थिरांक तक पुनर्निर्माण करने के लिए उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से प्रतिअवकलज का मिलान किया जा सकता है। हालाँकि, एकल-चर स्थिति के विपरीत, फलन का प्रत्येक समुच्चय एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का समुच्चय नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश क्षेत्र रूढ़िवादी नहीं है।

अनुप्रयोग

ज्यामिति

शंकु का आयतन ऊंचाई और त्रिज्या पर निर्भर करता है

सूत्र $V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.$ के अनुसार शंकु शंकु का आयतन V शंकु की ऊँचाई h और उसकी त्रिज्या r पर निर्भर करता है।

R के संबंध में V का आंशिक अवकलज

{\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},

है जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ शंकु का आयतन बदलता है यदि इसकी त्रिज्या भिन्न होती है और इसकी ऊंचाई स्थिर रहती है। $h$ के संबंध में आंशिक अवकलज ${\frac {\pi r^{2}}{3}},$ के बराबर है, जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ मात्रा बदलती है यदि इसकी ऊंचाई भिन्न होती है और इसकी त्रिज्या स्थिर रहती है।

इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः

{\frac {dV}{dr}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}

और

{\frac {dV}{dh}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}

है। कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है।

यदि (किसी यादृच्छिक कारण से) शंकु का अनुपात समान रहना है, तथा ऊंचाई और त्रिज्या एक निश्चित अनुपात k,

k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.

में हैं। यह r,

{\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k

के संबंध में कुल अवकलज देता है, जो

{\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2}

सरल बनाता है, इसी प्रकार, h के संबंध में कुल अवकलज

{\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}

है। इन दोनों चरों के अदिश फलन के रूप में नियत आयतन के r और h दोनों के संबंध में कुल अवकलज प्रवणता सदिश

\nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).

द्वारा दिया गया है।

इष्टतमीकरण

आंशिक अवकलज किसी भी कलन-आधारित इष्टतमीकरण समस्या में एक से अधिक विकल्प चर के साथ दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में एक फर्म दो अलग-अलग प्रकार के निर्गत की मात्रा x और y की पसंद के संबंध में लाभ π(x, y) को अधिकतम करना चाह सकती है। इस इष्टतमीकरण के लिए प्रथम क्रम की शर्तें π_x = 0 = π_y हैं। चूंकि दोनों आंशिक अवकलज π_x और π_y आम तौर पर स्वयं दोनों तर्कों x और y के फलन होंगे, ये दो प्रथम क्रम की स्थितियाँ दो अज्ञात में दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाती हैं।

ऊष्मागतिक, क्वांटम यांत्रिकी और गणितीय भौतिकी

आंशिक अवकलज गिब्स-डुहेम समीकरण जैसे ऊष्मागतिक समीकरणों में, क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर तरंग समीकरण के साथ-साथ गणितीय भौतिकी के अन्य समीकरणों में दिखाई देते हैं। यहां आंशिक अवकलज में स्थिर रखे जाने वाले चर निम्नलिखित उदाहरण में मोल प्रभाज x_i जैसे सरल चर का अनुपात हो सकते है, जिसमें टर्नरी मिश्रण प्रणाली में गिब्स ऊर्जा सम्मिलित है,

{\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}

किसी घटक के मोल प्रभाज को अन्य घटकों के मोल प्रभाज और द्विआधारी मोल अनुपात के फलनो के रूप में व्यक्त करें,

x_{1}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}

x_{3}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}

उपरोक्त की तरह अवकल भागफल स्थिर अनुपात पर बनाए जा सकते हैं,

\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}

\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}

मोल प्रभाजों के अनुपात X, Y, Z को त्रिगुट और बहुघटक प्रणालियों के लिए लिखा जा सकता है,

X={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}

Y={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}

Z={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}

जिसका उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है,

\left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}

इस समानता को एक तरफ मोल प्रभाजों के अंतर भागफल के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रतिबिम्ब का आकार बदलना

आंशिक अवकलज लक्ष्य-अवेयर प्रतिबिम्ब आकार बदलने वाले कलन विधि के लिए महत्वपूर्ण हैं। व्यापक रूप से इसे सीम उत्कीर्णन के रूप में जाना जाता है, इन कलन विधि को लंबकोणीय संलग्न पिक्सल के विपरीत उनकी असमानता का वर्णन करने के लिए एक प्रतिबिम्ब में प्रत्येक पिक्सेल को एक संख्यात्मक 'ऊर्जा' निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। इसके बाद कलन विधि सबसे कम ऊर्जा वाली पंक्तियों या स्तंभों को क्रमिक रूप से हटा देता है। एक पिक्सेल की ऊर्जा (पिक्सेल पर प्रवणता का परिमाण) निर्धारित करने के लिए स्थापित सूत्र आंशिक अवकलज के निर्माण पर बहुत अधिक निर्भर करता है।

अर्थशास्त्र

आंशिक अवकलज अर्थशास्त्र में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं, जिसमें आर्थिक व्यवहार का वर्णन करने वाले अधिकांश फलन यह मानते हैं कि व्यवहार एक से अधिक चर पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक सामाजिक उपभोग फलन आय और धन दोनों के आधार पर उपभोक्ता वस्तुओं पर खर्च की गई राशि का वर्णन कर सकता है, उपभोग करने के लिए सीमांत प्रवृत्ति तो आय के संबंध में उपभोग फलन का आंशिक अवकलज है।

यह भी देखें

डी'अलेम्बर्टियन संचालक
श्रृंखला नियम
कर्ल (गणित)
अपसरण
बाह्य अवकलज
पुनरावृत्त समाकल
जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक
लाप्लास संचालक
बहुचरीय कलन
दूसरे अवकलज की समरूपता
त्रिगुण उत्पाद नियम, जिसे चक्रीय श्रृंखला नियम भी कहा जाता है।

संदर्भ

↑ Miller, Jeff (2009-06-14). "पथरी के प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Retrieved 2009-02-20.</रेफरी>
परिभाषा

सामान्य डेरिवेटिव की तरह, आंशिक डेरिवेटिव को फ़ंक्शन की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। चलो यू का एक खुला सेट हो Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} और f:U→R{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } एक समारोह। बिंदु पर f का आंशिक व्युत्पन्न a=(a1,…,an)∈U{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U} i-वें चर x के संबंध मेंi की तरह परिभाषित किया गया है

∂∂xi⁢f⁡(a)=limh→0⁡f⁡(a1,…,ai−1,ai+h,ai+1,…,an)−f⁡(a1,…,ai,…,an)h=limh→0⁡f⁡(a+h⁢ei)−f⁡(a)h{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}}

भले ही सभी आंशिक डेरिवेटिव ∂f/∂xi(ए) किसी दिए गए बिंदु पर मौजूद है, फ़ंक्शन को वहां निरंतर कार्य करने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव a के एक पड़ोस (टोपोलॉजी) में मौजूद हैं और वहाँ निरंतर हैं, तो f उस पड़ोस में कुल व्युत्पन्न है और कुल व्युत्पन्न निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि f एक C है1 समारोह। इसका उपयोग सदिश मूल्यवान कार्यों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है, f:U→Rm{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}, एक घटकवार तर्क का सावधानीपूर्वक उपयोग करके।
आंशिक व्युत्पन्न ∂f∂x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} यू पर परिभाषित एक अन्य फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से विभेदित किया जा सकता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव एक बिंदु (या एक सेट पर) पर निरंतर होते हैं, तो f को C कहा जाता है2 उस बिंदु पर कार्य करता है (या उस सेट पर); इस मामले में, आंशिक डेरिवेटिव को दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता से बदला जा सकता है#Clairaut.27s theorem|Clairaut's theorem:

∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}

नोटेशन

निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, आइए f{\displaystyle f} में एक समारोह हो x,y{\displaystyle x,y} और z{\displaystyle z}.
प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव:

∂f∂x=fx′=∂xf.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}

द्वितीय क्रम आंशिक डेरिवेटिव:

∂2f∂x2=fx⁢x″=∂x⁢xf=∂x2f.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}

दूसरे क्रम के मिश्रित डेरिवेटिव:

∂2f∂y∂x=∂∂y⁢(∂f∂x)=(fx′)y′=fx⁢y″=∂y⁢xf=∂y∂xf.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}

उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित डेरिवेटिव:

∂i+j+kf∂xi∂yj∂zk=f(i,j,k)=∂xi∂yj∂zkf.{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}

कई चर के कार्यों के साथ काम करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए किन चरों को स्थिर रखा जा रहा है। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, का आंशिक व्युत्पन्न f{\displaystyle f} इसके संबंध में x{\displaystyle x}, धारण करना y{\displaystyle y} और z{\displaystyle z} स्थिर, अक्सर के रूप में व्यक्त किया जाता है

(∂f∂x)y,z.{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}

पारंपरिक रूप से, अंकन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक व्युत्पन्न फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन का मान, आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग किए जाने पर फलन तर्कों को शामिल करके अंकन का दुरुपयोग है। इस प्रकार, एक अभिव्यक्ति की तरह

∂f⁡(x,y,z)∂x{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}} समारोह के लिए प्रयोग किया जाता है, जबकि

∂f⁡(u,v,w)∂u{\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}} बिंदु पर समारोह के मूल्य के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है (x,y,z)=(u,v,w){\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}. हालाँकि, यह परिपाटी तब टूट जाती है जब हम एक बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन करना चाहते हैं (x,y,z)=(17,u+v,v2){\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}. ऐसे मामले में, फ़ंक्शन का मूल्यांकन एक बोझल तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए

∂f⁡(x,y,z)∂x⁢(17,u+v,v2){\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})} या

∂f⁡(x,y,z)∂x|(x,y,z)=(17,u+v,v2){\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}} लीबनिज संकेतन का उपयोग करने के लिए। इस प्रकार, इन मामलों में, यूलर डिफरेंशियल ऑपरेटर नोटेशन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है Di{\displaystyle D_{i}} iवें चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक के रूप में। उदाहरण के लिए, कोई लिखेगा D1⁢f⁡(17,u+v,v2){\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})} ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए, जबकि अभिव्यक्ति D1⁢f{\displaystyle D_{1}f} पहले चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>Spivak, M. (1965). कई गुना पर पथरी. New York: W. A. Benjamin, Inc. p. 44. ISBN 9780805390216.
↑ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.