अवकल फलन

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गणना में, डिफरेंशियल एक फंक्शन (गणित) में परिवर्तन के प्रमुख भाग#कैलकुलस का प्रतिनिधित्व करता है $y=f(x)$ स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में। अंतर $dy$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$dy=f'(x)\,dx,$

कहाँ $f'(x)$ के संबंध में f का व्युत्पन्न है $x$, और $dx$ एक अतिरिक्त वास्तविक चर (गणित) है (ताकि $dy$ का एक कार्य है $x$ और $dx$). अंकन ऐसा है कि समीकरण

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$

धारण करता है, जहां लीबनिज संकेतन में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है $dy/dx$, और यह अंतर के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। एक लिखता भी है

$df(x)=f'(x)\,dx.$

चर का सटीक अर्थ $dy$ और $dx$ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन चरों का डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए एक रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, चर $dx$ और $dy$ बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

इतिहास और उपयोग

अंतर को पहली बार आइजैक न्यूटन द्वारा एक सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था और लाइबनिट्स द्वारा आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अंतर के बारे में सोचा था।$dy$ मूल्य में एक असीम रूप से छोटे (या अतिसूक्ष्म) परिवर्तन के रूप में$y$ फ़ंक्शन का, एक असीम रूप से छोटे परिवर्तन के अनुरूप$dx$ समारोह के तर्क में$x$. उस कारण से, के परिवर्तन की तात्कालिक दर $y$ इसके संबंध में $x$, जो कि फलन के अवकलज का मान है, को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

$\frac{dy}{}$