अवकल फलन

गणना में, अवकल फलन (गणित) स्वतंत्र वेरिएबल्स में परिवर्तन के संबंध में फलन $y=f(x)$ में परिवर्तन के मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है। अवकल $dy$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$dy=f'(x)\,dx,$

जहाँ $f'(x)$ $x$ के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और $dx$ एक अतिरिक्त वास्तविक वेरिएबल्स (गणित) (जिससे $dy$ $x$ और $dx$ का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$

धारण करता है, जहां लीबनिज संकेतन $dy/dx$ में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है, और यह अवकल के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। लिखता भी है

$df(x)=f'(x)\,dx.$

वेरिएबल्स का सटीक अर्थ $dy$ और $dx$ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन वेरिएबल्स का डोमेन विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अवकल को विशेष अवकल रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अवकल को किसी फलन की वृद्धि के लिए रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, वेरिएबल्स $dx$ और $dy$ बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

इतिहास और उपयोग

अवकल को पहली बार आइजैक न्यूटन द्वारा सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था और गॉटफ्रीड लाइबनिट्स द्वारा आगे बढ़ाया गया था,जिन्होंने फ़ंक्शन के तर्क $x$ में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन $dx$ के अनुरूप फ़ंक्शन के मान $y$ में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन (या अनंत) के रूप में अंतर $dy$ के बारे में सोचा था। उस कारण से, $x$ के संबंध में $x$ के परिवर्तन की तात्कालिक दर, जो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान है, ${\frac {dy}{dx}}$ को अंश द्वारा दर्शाया गया है

डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल $dy/dx$ अनंत रूप से छोटा नहीं है; किन्तु यह वास्तविक संख्या है।

उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। ऑगस्टिन-लुई कॉची (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया। इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकल भागफलों की सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकल तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकल $dy$ को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था अभिव्यक्ति द्वारा

$dy=f'(x)\,dx$

जिसमें $dy$ और $dx$ परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं, नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था। के अनुसार Boyer (1959, p. 12), कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ $dy$ और $dx$ अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है, चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः कार्ल वीयरस्ट्रास के कारण थी।

भौतिक उपचारों में, जैसे कि ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। कुरेंट & जॉन (1999, p. 184) इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। अवकल परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक शुद्धता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका लक्ष्य होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को त्रुटिहीन अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है।

गणितीय विश्लेषण और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकल की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। वास्तविक विश्लेषण में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकल से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकल वेतन वृद्धि $\Delta x$ का रैखिक फलन है। यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अवकल (रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, बिंदु पर फलन का अवकल स्पर्शरेखा सदिश (अनंत रूप से छोटा विस्थापन) का रैखिक फलन है, जो इसे प्रकार के रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फलन का बाहरी व्युत्पन्न। गैर-मानक कैलकुलस में, अवकलों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं कठोर (देखें अवकल (इनफिनिटिमल)) आधार पर रखा जा सकता है।

परिभाषा

File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png

फलन का अवकल $f(x)$ बिंदु पर $x_{0}$.

अवकल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में अवकल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। एकल वास्तविक वेरिएबल्स $x$ के फलन $f(x)$ का अवकल दो स्वतंत्र वास्तविक वेरिएबल्स $x$ और $\Delta x$ का फलन $df$ है

$df(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x.$

या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, अर्थात् कोई $df($