मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण

Maxwell–Boltzmann

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$a>0$
Support	$x\in (0;\infty )$
PDF	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}$
CDF	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}$ where erf is the error function
Mean	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Mode	${\sqrt {2}}a$
Variance	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
Skewness	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Ex. kurtosis	$\gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}$
Entropy	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

भौतिकी में (विशेष रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में), मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण, या मैक्सवेल (इयान) वितरण, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर एक विशेष संभाव्यता वितरण है।

यह पहली बार परिभाषित किया गया था और आदर्श गैस में कण गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया था, जहां कण एक दूसरे के साथ बातचीत किए बिना एक स्थिर कंटेनर के अंदर स्वतंत्र रूप से चलते हैं, बहुत ही संक्षिप्त टकरावों को छोड़कर जिसमें वे एक दूसरे के साथ या अपने तापीय वातावरण के साथ ऊर्जा और गति का आदान-प्रदान करते हैं। इस संदर्भ में शब्द कण केवल गैसीय कणों (परमाणुओं या अणुओं) को संदर्भित करता है, और माना जाता है कि कणों की प्रणाली थर्मोडायनामिक संतुलन तक पहुंच गई है। ऐसे कणों की ऊर्जा मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में जानी जाती है, और गति का सांख्यिकीय वितरण कण ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

गणितीय रूप से, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण स्वतंत्रता की तीन डिग्री (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेग वेक्टर के घटक) के साथ ची वितरण है, जिसमें स्केल पैरामीटर मापने की गति इकाइयों में वर्गमूल के अनुपात में होती है। $T/m$ (तापमान और कण द्रव्यमान का अनुपात)। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण गैसों के गतिज सिद्धांत का परिणाम है, जो दबाव और प्रसार सहित कई मौलिक गैसीय गुणों का सरलीकृत विवरण प्रदान करता है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण मूलभूत रूप से तीन आयामों में कण वेगों पर लागू होता है, लेकिन यह केवल कणों की गति (वेग के परिमाण (गणित)) पर निर्भर करता है। एक कण गति संभाव्यता वितरण इंगित करता है कि कौन सी गति अधिक होने की संभावना है: एक यादृच्छिक रूप से चुने गए कण में वितरण से यादृच्छिक रूप से चुनी गई गति होगी, और गति की एक सीमा के भीतर दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना है। गैसों का गतिज सिद्धांत शास्त्रीय आदर्श गैस पर लागू होता है, जो वास्तविक गैसों का एक आदर्शीकरण है। वास्तविक गैसों में, विभिन्न प्रभाव होते हैं (उदाहरण के लिए, वैन डेर वाल्स इंटरेक्शन, भंवर प्रवाह, विशेष सापेक्षता गति सीमा, और क्वांटम विनिमय बातचीत ) जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन फॉर्म से उनकी गति वितरण को अलग बना सकते हैं। हालांकि, सामान्य तापमान पर विरलन गैसें एक आदर्श गैस की तरह लगभग व्यवहार करती हैं और मैक्सवेल गति वितरण ऐसी गैसों के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन है। यह आदर्श प्लाज्मा (भौतिकी) के लिए भी सही है, जो पर्याप्त रूप से कम घनत्व की आयनीकृत गैसें हैं। वितरण पहली बार मैक्सवेल द्वारा 1860 में अनुमानी आधार पर प्राप्त किया गया था। बाद में, 1870 के दशक में बोल्ट्जमैन ने इस वितरण के भौतिक मूल की महत्वपूर्ण जांच की। वितरण को इस आधार पर प्राप्त किया जा सकता है कि यह सिस्टम की एन्ट्रापी को अधिकतम करता है। व्युत्पत्तियों की एक सूची है:

1. अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण # ऊर्जा के संरक्षण की बाधा के साथ, चरण अंतरिक्ष में मापा स्थिरांक के साथ वितरण $\langle H\rangle =E$;
2. कैननिकल पहनावा।

वितरण समारोह

थर्मोडायनामिक संतुलन में समान गैर-अंतःक्रियात्मक, गैर-सापेक्ष शास्त्रीय कणों की एक बड़ी संख्या वाली प्रणाली के लिए, त्रि-आयामी वेग अंतरिक्ष के एक अतिसूक्ष्म तत्व के भीतर कणों का अंश $d^{3}v$, परिमाण के एक वेग वेक्टर पर केंद्रित है $v$, द्वारा दिया गया है

$$f(v)~d^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~d^{3}v,$$

कहाँ $m$ कण द्रव्यमान है, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $T$ थर्मोडायनामिक तापमान है। $f(v)$ एक संभाव्यता वितरण समारोह है, ठीक से सामान्यीकृत ताकि ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ सभी वेगों पर एकता है।

गति संभाव्यता घनत्व 298.15 K (25 °C) के तापमान पर कुछ महान गैसों की गति का कार्य करता है। Y-अक्ष s/m में है ताकि वक्र के किसी भी खंड के अंतर्गत क्षेत्र (जो उस सीमा में होने की गति की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है) आयामहीन है।

कोई वेग स्थान के तत्व को इस प्रकार लिख सकता है $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$, एक मानक कार्तीय समन्वय प्रणाली में वेग के लिए, या के रूप में $d^{3}v=v^{2}\,dv\,d\Omega$ एक मानक गोलाकार समन्वय प्रणाली में, जहाँ $d\Omega$ ठोस कोण का एक तत्व है।

केवल एक दिशा में गतिमान कणों के लिए मैक्सवेलियन वितरण फलन, यदि यह दिशा है $x$, है

$$f(v_{x})~dv_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~dv_{x},$$

जिसे ऊपर दिए गए त्रि-आयामी रूप को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है $v_{y}$ और $v_{z}$.

की समरूपता को पहचानना $f(v)$, कोई ठोस कोण पर एकीकृत कर सकता है और फ़ंक्शन के रूप में गति का संभाव्यता वितरण लिख सकता है

$$f(v)=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}.$$

यह प्रायिकता घनत्व फलन प्रति इकाई गति के निकट गति वाले कण को ​​खोजने की प्रायिकता देता है $v$. वितरण पैरामीटर के साथ यह समीकरण केवल मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण (इन्फोबॉक्स में दिया गया) है ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}}$. मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण ची वितरण के बराबर है जिसमें तीन डिग्री स्वतंत्रता और स्केल पैरामीटर हैं ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}}$.

वितरण से संतुष्ट सबसे सरल साधारण अवकल समीकरण है:

$$kTvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2kT\right)=0,$$

$$f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}$$

या इकाई रहित प्रस्तुति में:

$$a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,$$

$$f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{1}/{2a^{2}}}}{a^{3}}}.$$

औसत मूल्यों की डार्विन-फाउलर पद्धति के साथ, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण को एक सटीक परिणाम के रूप में प्राप्त किया जाता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन गति वितरण की ओर आराम करने वाली 2डी गैस का अनुकरण

2डी मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण से संबंध

एक समतल में गति करने के लिए सीमित कणों के लिए, गति वितरण द्वारा दिया जाता है

$$P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}}\right)ds$$

इस वितरण का उपयोग संतुलन में प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, अधिकांश प्रणालियाँ अपनी संतुलन अवस्था में शुरू नहीं होती हैं। अपनी संतुलन स्थिति की ओर एक प्रणाली का विकास बोल्ट्जमैन समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। समीकरण भविष्यवाणी करता है कि छोटी दूरी की बातचीत के लिए, संतुलन वेग वितरण मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण का पालन करेगा। दाईं ओर एक आणविक गतिकी (एमडी) सिमुलेशन है जिसमें 900 कठिन गोले कण एक आयत में गति करने के लिए विवश हैं। वे लोचदार टक्कर के माध्यम से बातचीत करते हैं। प्रणाली को संतुलन से बाहर शुरू किया गया है, लेकिन वेग वितरण (नीले रंग में) तेजी से 2डी मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण (नारंगी में) में परिवर्तित हो जाता है।

विशिष्ट गति

उम्मीद मूल्य गति $\langle v\rangle$, सबसे संभावित गति (मोड (सांख्यिकी)) v_p, और मूल-माध्य-वर्ग गति ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ मैक्सवेल वितरण के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है।

यह लगभग आदर्श गैस, हीलियम जैसी महान गैस गैसों के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन डायटोमिक ऑक्सीजन जैसे अणुओं के लिए भी। ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़ी संख्या में समविभाजन प्रमेय के कारण बड़ी ताप क्षमता (एक ही तापमान पर बड़ी आंतरिक ऊर्जा) के बावजूद, उनका अनुवाद (भौतिकी) गतिज ऊर्जा (और इस प्रकार उनकी गति) अपरिवर्तित है।

• सबसे संभावित गति, v_p, वह गति है जो किसी भी अणु (समान द्रव्यमान के) के पास होने की सबसे अधिक संभावना है m) सिस्टम में और अधिकतम मूल्य या मोड (सांख्यिकी) से मेल खाती है f(v). इसे खोजने के लिए, हम व्युत्पन्न की गणना करते हैं df/dv, इसे शून्य पर सेट करें और हल करें v:
  $${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\ v\ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left({\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right)=0$$
  समाधान के साथ:
  $${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1$$
  $$v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$$
  R गैस स्थिर है और M पदार्थ का दाढ़ द्रव्यमान है, और इस प्रकार इसकी गणना कण द्रव्यमान के उत्पाद के रूप में की जा सकती है, m, और अवोगाद्रो स्थिरांक, N_A:

$$M=mN_{\text{A}}$$

द्विपरमाणुक नाइट्रोजन के लिए (N₂, वायु का प्राथमिक घटक) कमरे के तापमान पर (300 K), यह देता है

$$v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.$$

• औसत गति गति वितरण, सेटिंग का अपेक्षित मूल्य है ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$:
  $${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\&=4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\&=4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$
• औसत वर्ग गति $\langle v^{2}\rangle$ गति वितरण का दूसरा क्रम क्षण (गणित) है। मूल माध्य वर्ग गति $v_{\mathrm {rms} }$ औसत गतिज ऊर्जा, सेटिंग के साथ एक कण की गति के अनुरूप, औसत वर्ग गति का वर्गमूल है ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$:

$${\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}\\&=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\\&=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$

संक्षेप में, विशिष्ट गति निम्नानुसार संबंधित हैं:

$$v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$$

मूल माध्य वर्ग गति सीधे ध्वनि की गति से संबंधित है c गैस में, द्वारा

$$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},$$

कहाँ ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ स्थिरोष्म सूचकांक है, f व्यक्तिगत गैस अणु की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, डायटोमिक नाइट्रोजन (अनुमानित वायु) पर 300 K, $f=5$ और

$$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$$

वायुमंडलीय रसायन विज्ञान के औसत दाढ़ भार का उपयोग करके हवा के लिए सही मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है (29 g/mol), उपज 347 m/s पर 300 K (परिवर्तनीय आर्द्रता के लिए सुधार 0.1% से 0.6% के क्रम में हैं)।

औसत सापेक्ष वेग

$$v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle$$

जहां त्रि-आयामी वेग वितरण है

$$f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{\left(2\pi kT/m\right)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.$$

निर्देशांक में बदलकर अभिन्न आसानी से किया जा सकता है ${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ और ${\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

व्युत्पत्ति और संबंधित वितरण

मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी

Main articles: Maxwell–Boltzmann statistics § Derivations, and Boltzmann distribution

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा 1860 में मूल व्युत्पत्ति गैसों के काइनेटिक सिद्धांत के आणविक टकरावों के साथ-साथ गति वितरण समारोह में कुछ समरूपताओं पर आधारित एक तर्क था; मैक्सवेल ने एक प्रारंभिक तर्क भी दिया कि ये आणविक टकराव संतुलन की ओर एक प्रवृत्ति को बढ़ाते हैं। मैक्सवेल के बाद, 1872 में लुडविग बोल्ट्जमैन यांत्रिक आधार पर वितरण भी प्राप्त किया और तर्क दिया कि टक्करों के कारण गैसों को समय के साथ इस वितरण की ओर बढ़ना चाहिए (एच-प्रमेय देखें)। वह बाद में (1877) सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के ढांचे के तहत फिर से वितरण प्राप्त किया। इस खंड की व्युत्पत्ति बोल्ट्ज़मैन की 1877 की व्युत्पत्ति की तर्ज पर है, जिसकी शुरुआत मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी (सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी से) के रूप में ज्ञात परिणाम से होती है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े किसी दिए गए एकल-कण माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पाए जाने वाले कणों की औसत संख्या देते हैं। कुछ धारणाओं के तहत, किसी दिए गए माइक्रोस्टेट में कणों के अंश का लघुगणक उस राज्य की ऊर्जा के अनुपात के अनुपात में सिस्टम के तापमान के अनुपात में होता है:

$$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.$$

इस समीकरण की धारणा यह है कि कण परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, और वे शास्त्रीय हैं; इसका अर्थ है कि प्रत्येक कण की अवस्था को अन्य कणों की अवस्था से स्वतंत्र रूप से माना जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कणों को तापीय संतुलन में माना जाता है। इस संबंध को सामान्य करने वाले कारक को पेश करके समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}$

(1)

कहाँ:

• N_i एकल-कण माइक्रोस्टेट में कणों की अपेक्षित संख्या है i,
• N प्रणाली में कणों की कुल संख्या है,
• E_i माइक्रोस्टेट की ऊर्जा है i,
• सूचकांक पर योग j सभी माइक्रोस्टेट्स को ध्यान में रखता है,
• T प्रणाली का संतुलन तापमान है,
• k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।

समीकरण में भाजक (1) एक सामान्य कारक है ताकि अनुपात $N_{i}:N$ एकता में जोड़ें - दूसरे शब्दों में यह एक प्रकार का विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है (एकल-कण प्रणाली के लिए, संपूर्ण प्रणाली का सामान्य विभाजन कार्य नहीं)।

क्योंकि वेग और गति ऊर्जा से संबंधित हैं, समीकरण (1) तापमान और गैस कणों की गति के बीच संबंधों को प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। ऊर्जा में माइक्रोस्टेट्स के घनत्व की खोज करने के लिए सभी की जरूरत है, जो गति के स्थान को समान आकार के क्षेत्रों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।

=== संवेग वेक्टर === के लिए वितरण

स्थितिज ऊर्जा को शून्य लिया जाता है, ताकि सारी ऊर्जा गतिज ऊर्जा के रूप में हो। विशाल गैर-विशेष सापेक्षता कणों के लिए कठोर पिंडों की गतिज ऊर्जा#काइनेटिक ऊर्जा के बीच संबंध है

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

(2)

जहां प² संवेग सदिश का वर्ग है p = [p_x, p_y, p_z]. इसलिए हम समीकरण को फिर से लिख सकते हैं (1) जैसा:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(3)

जहाँ Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है, जो समीकरण में भाजक के अनुरूप है (1). यहाँ m गैस का आणविक द्रव्यमान है, T थर्मोडायनामिक तापमान है और k बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है। यह वितरण $N_{i}:N$ प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन f के लिए आनुपातिकता (गणित) है_p गति घटकों के इन मूल्यों के साथ एक अणु खोजने के लिए, इसलिए:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(4)

सामान्यीकरण स्थिरांक को यह पहचान कर निर्धारित किया जा सकता है कि किसी अणु के कुछ संवेग होने की संभावना 1 होनी चाहिए। में घातांक को एकीकृत करना (4) ओवर ऑल पी_x, पी_y, और पी_z का कारक प्राप्त होता है

$$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}=\left({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}\right)^{3}$$

ताकि सामान्यीकृत वितरण समारोह है:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$   (6)

वितरण को तीन स्वतंत्र सामान्य वितरण चर के उत्पाद के रूप में देखा जाता है $p_{x}$, $p_{y}$, और $p_{z}$, विचरण के साथ $mkT$. इसके अतिरिक्त, यह देखा जा सकता है कि संवेग का परिमाण मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के रूप में वितरित किया जाएगा, साथ में $a={\sqrt {mkT}}$. संवेग के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण (या वेग के लिए समान रूप से) गैसों के ढांचे के काइनेटिक सिद्धांत के भीतर संतुलन पर एच-प्रमेय का उपयोग करके अधिक मौलिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है।

ऊर्जा के लिए वितरण

ऊर्जा वितरण प्रभावशाली पाया जाता है

$f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})\,d^{3}{\textbf {p}},$

(7)

कहाँ $d^{3}{\textbf {p}}$ ऊर्जा अंतराल के अनुरूप संवेग का अपरिमेय चरण-अंतरिक्ष आयतन है $dE$. ऊर्जा-संवेग फैलाव संबंध के गोलाकार समरूपता का उपयोग करना $E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m$, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $dE$ जैसा

$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}\,dE.$

(8)

तब उपयोग करना (8) में (7), और ऊर्जा के संदर्भ में सब कुछ व्यक्त करना $E$, हम पाते हैं

$$f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)dE$$

और अंत में

$f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)$   (9)

चूंकि ऊर्जा तीन सामान्य रूप से वितरित संवेग घटकों के वर्गों के योग के समानुपाती होती है, इसलिए इस ऊर्जा वितरण को आकार पैरामीटर का उपयोग करते हुए गामा वितरण के रूप में समान रूप से लिखा जा सकता है, $k_{\text{shape}}=3/2$ और एक स्केल पैरामीटर, $\theta _{\text{scale}}=kT$.

समविभाजन प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह देखते हुए कि संतुलन में स्वतंत्रता की सभी तीन डिग्री के बीच ऊर्जा समान रूप से वितरित की जाती है, हम विभाजित भी कर सकते हैं $f_{E}(E)dE$ ची-वर्ग वितरण के एक सेट में, जहां स्वतंत्रता की प्रति डिग्री ऊर्जा, $\epsilon$, स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण के रूप में वितरित किया जाता है,

$$f_{\epsilon }\left(\epsilon \right)\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\epsilon }{kT}}\right)\,d\epsilon$$

संतुलन पर, यह वितरण स्वतंत्रता की किसी भी संख्या की डिग्री के लिए सही रहेगा। उदाहरण के लिए, यदि कण निश्चित द्विध्रुव आघूर्ण के कठोर द्रव्यमान द्विध्रुव हैं, तो उनके पास स्वतंत्रता की तीन स्थानांतरीय कोटि और स्वतंत्रता की दो अतिरिक्त घूर्णी कोटि होंगी। स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री में ऊर्जा को स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ उपरोक्त ची-स्क्वायर वितरण के अनुसार वर्णित किया जाएगा, और कुल ऊर्जा को पांच डिग्री स्वतंत्रता के साथ ची-स्क्वायर वितरण के अनुसार वितरित किया जाएगा। इसका प्रभाव गैस की विशिष्ट ऊष्मा के सिद्धांत पर पड़ता है।

=== वेग वेक्टर === के लिए वितरण

मान्यता है कि वेग प्रायिकता घनत्व f_v द्वारा संवेग प्रायिकता घनत्व फलन के समानुपाती होता है

$$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$$

और p = mv का प्रयोग करके हम पाते हैं

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]$

जो मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वेग वितरण है। अतिसूक्ष्म तत्व में वेग वाले कण के मिलने की प्रायिकता [dv_x, dv_y, dv_z] वेग के बारे में v = [v_x, v_y, v_z] है

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$$

गति की तरह, यह वितरण तीन स्वतंत्र सामान्य वितरण चर के उत्पाद के रूप में देखा जाता है $v_{x}$, $v_{y}$, और $v_{z}$, लेकिन भिन्नता के साथ ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$. यह भी देखा जा सकता है कि सदिश वेग के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वेग वितरण [v_x, v_y, v_z] तीन दिशाओं में से प्रत्येक के लिए वितरण का उत्पाद है:

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$$

जहां एक दिशा के लिए वितरण है

$$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).$$

वेग सदिश के प्रत्येक घटक का माध्य के साथ एक सामान्य वितरण होता है $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ और मानक विचलन ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, इसलिए वेक्टर में 3-आयामी सामान्य वितरण होता है, एक विशेष प्रकार का बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, माध्य के साथ $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ और सहप्रसरण ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, कहाँ $I$ है $3\times 3$ शिनाख्त सांचा।

गति के लिए वितरण

गति के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण ऊपर दिए गए वेग सदिश के वितरण से तुरंत अनुसरण करता है। ध्यान दें कि गति है

$$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$$

और गोलीय निर्देशांक में आयतन तत्व

$$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega$$

कहाँ $\phi$ और $\theta$ वेग वेक्टर के गोलाकार समन्वय प्रणाली कोण हैं। गोलाकार समन्वय प्रणाली # ठोस कोणों पर वेग के प्रायिकता घनत्व समारोह के गोलाकार निर्देशांक में एकीकरण और भेदभाव $d\Omega$ का अतिरिक्त कारक देता है $4\pi$. वेक्टर घटकों के वर्गों के योग के लिए गति के प्रतिस्थापन के साथ गति वितरण:

$f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].$

एन-डायमेंशनल स्पेस में

एन-डायमेंशनल स्पेस में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण बन जाता है:

$$f(v)~d^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~d^{n}v$$

गति वितरण बन जाता है:

$$f(v)~dv={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~dv$$

निम्नलिखित अभिन्न परिणाम उपयोगी है:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}$$

कहाँ $\Gamma (z)$ गामा समारोह है। गति वितरण समारोह के क्षण (गणित) की गणना करने के लिए इस परिणाम का उपयोग किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\[4pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}$$

जो अपेक्षा मूल्य गति ही है ${\textstyle v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$.

$${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$$

जो रूट-मीन-स्क्वायर गति देता है ${\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[{\frac {nkT}{m}}\right]^{1/2}}$.

गति वितरण समारोह का व्युत्पन्न:

$${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0$$

यह सबसे संभावित गति (मोड (सांख्यिकी)) उत्पन्न करता है ${\textstyle v_{\text{p}}=\left[{\frac {(n-1)kT}{m}}\right]^{1/2}}$.

यह भी देखें

• क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरण
• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी
• मैक्सवेल-जुटनर वितरण
• बोल्ट्जमैन वितरण
• रेले वितरण
• गैसों का काइनेटिक सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
• Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3
• Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
• Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6
• Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40.
• Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14.

बाहरी संबंध

• "The Maxwell Speed Distribution" from The Wolfram Demonstrations Project at Mathworld