अपेक्षित मूल्य

यह लेख प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य(बहुविकल्पी) देखें।

E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। $e^{x}$ के लिए फलन, घातीय फलन देखें।

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प्रायिकता सिद्धांत में, अपेक्षित मूल्य(जिसे अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य भी कहा जाता है) भारित औसत का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से(प्रायिकता सिद्धांत) चयनित परिणामों(प्रायिकता सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।

परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है। माप सिद्धांत द्वारा प्रदान की गई प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा लेबेसेग समाकलन द्वारा दी गई है।

एक यादृच्छिक चर X का अपेक्षित मूल्य द्वारा प्रायः E(X), E[X], या EX दर्शाया जाता है, साथ E के रूप में भी प्रायः E या $\mathbb {E} .$ शैलीबद्ध किया जाता है।

इतिहास

अपेक्षित मूल्य का विचार 17 वीं शताब्दी के मध्य में अंकों की तथाकथित समस्या के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जो दो खिलाड़ियों के बीच दांव को उचित तरीके से विभाजित करना चाहता है, जिन्हें अपने खेल को ठीक से समाप्त करने से पहले समाप्त करना होगा। सदियों से इस समस्या पर बहस हुई थी। 1654 में फ्रांसीसी लेखक और अप्रवीण गणितज्ञ एंटोनी गोमबॉड शेवेलियर डे मेरे द्वारा ब्लेस पास्कल को पेश किए जाने पर कई परस्पर विरोधी प्रस्ताव और समाधान सुझाए गए थे। मेरे ने दावा किया कि इस समस्या को हल नहीं किया जा सकता है और यह दिखाता है कि गणित कितना त्रुटिपूर्ण था जब यह वास्तविक दुनिया में इसके अनुप्रयोग के लिए आया था। गणितज्ञ पास्कल ने, एक बार और सभी के लिए समस्या को हल करने के लिए प्रोत्साहित और दृढ़ संकल्पित किया था।

उन्होंने पियरे डी फर्मेट को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की प्रायिकता के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।

डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया,(देखें ह्यूजेन्स(1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद ''प्रायिकता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस'' पुस्तक ने मूल समस्या(उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे प्रायिकता के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।

अपने ग्रंथ की प्रस्तावना में, ह्यूजेंस ने लिखा:

यह भी कहा जाना चाहिए कि कुछ समय के लिए फ्रांस के कुछ बेहतरीन गणितज्ञों ने इस तरह के गणना में खुद को व्यस्त कर लिया है ताकि कोई भी मुझे पहले आविष्कार के सम्मान का श्रेय न दे। यह मेरा नहीं है। लेकिन इन विद्वानों ने, यद्यपि वे एक-दूसरे को अनेक कठिन प्रश्नों का प्रस्ताव देकर एक-दूसरे की परीक्षा लेते हैं, फिर भी उन्होंने अपनी विधियों को छिपा रखा है। इसलिए मुझे तत्वों से प्रारंभ करके इस स्थिति की जांच और गहराई से जांच करनी पड़ी है, और इस कारण से यह पुष्टि करना मेरे लिए असंभव है कि मैंने भी उसी सिद्धांत से प्रारंभ की है। लेकिन आखिरकार मैंने पाया है कि कई स्थितियों में मेरे जवाब उनके जवाबों से अलग नहीं हैं। — एडवर्ड्स (2002)

— एडवर्ड्स (2002)

1655 में फ्रांस की अपनी यात्रा के समय, ह्यूजेन्स ने डी मेरे की समस्या के बारे में पता चला। एक साल बाद(1656 में) कारकावाइन के साथ अपने पत्राचार से, उन्होंने महसूस किया कि उनकी पद्धति अनिवार्य रूप से पास्कल की तरह ही थी। इसलिए, 1657 में उनकी पुस्तक के छपने से पहले ही उन्हें पास्कल की इस विषय में प्राथमिकता के बारे में पता था।

उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में, यादृच्छिक चर की अपेक्षाओं के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले पहले व्यक्ति पफन्युटी चेबीशेव बने।

व्युत्पत्ति

न तो पास्कल और न ही ह्यूजेंस ने ''अपेक्षा'' शब्द का प्रयोग आधुनिक अर्थ में किया। विशेष रूप से, ह्यूजेंस लिखते हैं:

किसी भी चीज को जीतने का कोई भी अवसर या अपेक्षा सिर्फ इतनी राशि के योग्य है, जैसा कि आप एक ही अवसर पर प्राप्त कर लेंगे और निष्पक्ष स्तर पर अपेक्षा करेंगे। ... अगर मैं a या b की अपेक्षा करता हूं, और उन्हें प्राप्त करने का एक समान अपेक्षा है, तो मेरी उम्मीद (a+b)/2 है।

सौ से अधिक वर्षों के बाद, 1814 में, पियरे-साइमन लाप्लास ने अपना प्रकरण ''थ्योरी एनालिटिक डेस प्रोबैबिलिट्स'' प्रकाशित किया, जहां अपेक्षित मूल्य की अवधारणा को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था:

… अवसर के सिद्धांत में यह लाभ इसे प्राप्त करने की संभावना से आशा की गई राशि का उत्पाद है; यह आंशिक राशि है जिसका परिणाम तब होना चाहिए जब हम यह मानकर घटना के जोखिमों को चलाना नहीं चाहते हैं कि विभाजन को संभावनाओं के अनुपात में बनाया गया है। यह विभाजन एकमात्र न्यायसंगत है जब सभी असाधारण परिस्थितियों को समाप्त कर दिया जाता है; क्योंकि संभाव्यता की एक समान डिग्री आशा की गई राशि के लिए समान अधिकार देती है। हम इस लाभ को गणितीय आशा कहेंगे.

अंकन

अपेक्षित मूल्य को दर्शाने के लिए अक्षर E का उपयोग 1901 मे W. A. व्हिटवर्थ पर वापस जाता है। प्रतीक तब से अंग्रेजी लेखकों के लिए लोकप्रिय हो गया है। जर्मन में, E का अर्थ ''एर्वर्टुगस्वर्ट'' है, स्पेनिश में ''एस्पेरांजा मैथमेटिका'' के लिए, और फ्रेंच मे ''एसपेरेंस मैथेमेटिका'' के लिए है।

जब E का उपयोग अपेक्षित मान को निरूपित करने के लिए किया जाता है, तो लेखक विभिन्न प्रकार की शैलीकरण का उपयोग करते हैं: अपेक्षा संचालिका को E(सीधा), E(इटैलिक), या $\mathbb {E}$( ब्लैकबोर्ड बोल्ड में) शैलीबद्ध किया जा सकता है, जबकि विभिन्न प्रकार के कोष्ठक संकेतन(जैसे E(X), E[X], तथा EX) सभी का उपयोग किया जाता है।

एक अन्य लोकप्रिय संकेतन μ_X है, जबकि ⟨X⟩, ⟨X⟩_av, तथा ${\overline {X}}$ सामान्यतः भौतिकी में, तथा M(X) रूसी भाषा के साहित्य में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है निरंतर प्रायिकता घनत्व फलनो द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।

एक बहुआयामी यादृच्छिक चर, अथार्थ एक यादृच्छिक वेक्टर X के अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के लिए अपेक्षित मूल्य की कोई भी परिभाषा विस्तारित की जा सकती है . इसे घटक द्वारा घटक के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे E[X]_i = E[X_i]. इसी तरह E[X]_ij = E[X_ij] द्वारा X_ij घटकों के साथ एक यादृच्छिक आव्यूह X के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकता है।

परिमित रूप से कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर

संभावित परिणामों की एक परिमित सूची x₁, ..., x_k के साथ एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें जिनमें से प्रत्येक(क्रमशः) की प्रायिकता p₁, ..., p_k घटित होने की है। X की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है

$\operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.$

चूंकि प्रायिकता को p₁ + ⋅⋅⋅ + p_k = 1 को स्वीकार करना चाहिए, इसीलिए E[X] को उनकी प्रायिकता p_i द्वारा दिए गए औसत के रूप में x_i मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।

विशेष स्थिति में कि सभी संभव परिणाम समतुल्य होते हैं(अर्थात, p₁ = ⋅⋅⋅ = p_k), भारित औसत मानक अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता है। सामान्य स्थिति में, अपेक्षित मूल्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक संभावित हैं।

उदाहरण

• मान ले कि $X$ निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, $X$ विक्षेप के बाद पिप की संख्या(गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। $X$ के लिए संभावित मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान प्रायिकता 1/6 के साथ समान रूप से संभव है $X$ की अपेक्षा

$\operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.$

यदि कोई फलक को $n$ बार घूमता है और परिणामों के औसत(अंकगणितीय माध्य) की गणना करता है, तो जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, औसत लगभग निश्चित रूप से अपेक्षित मूल्य के अभिसरण अनुक्रम होगा, एक तथ्य जिसे बड़ी संख्या के प्रबल नियम के रूप में जाना जाता है।

• रूले गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर $X$ एक नंबर(सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के(मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है(अमेरिकी रूले में प्रायिकता 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा

$\operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.$

अर्थात्, $1 शर्त से जीते जाने वाला अपेक्षित मूल्य −$ है. इस प्रकार, 190 बाजी में, शुद्ध नुकसान लगभग $10 होगा।

कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर

अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक गणनीय समुच्चय के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की प्रायिकतां द्वारा दिया जाता है। यह कहना है

$\mathrm{E}<!--\; \; -->[X]=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i$