कैननिकल पहनावा

सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा ही गणितीय भौतिकी है जो एक निश्चित तापमान पर गर्मी के साथ तापीय संतुलन में एक यांत्रिक प्रणाली के संभावित राज्यों का प्नितिनिधित्व करता है प्रणाली उष्मा स्नान के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है जिससे प्रणाली की कुल ऊर्जा में भिन्न होती है।

राज्यों के संभाव्यता वितरण का निर्धारण करने वाले पहनावे का प्रमुख जलमग्न चर पूर्ण तापमान है जो सांख्यिकीय यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे प्रणाली में कणों की संख्या चिन्ह N और प्रणाली की आवाज चिन्हV द्वारा निरूपित की जाती है तथा यह प्रत्येक प्रणाली की आंतरिक अवस्थाओं की प्रकृति को प्रभावित करता है इन तीन मापदंडों को एक सांख्यिकीय पहनावा कहा जाता है।

विहित पहनावा एक संभावना प्रदान करता है P निम्नलिखित घातीय द्वारा दिए गए प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए इस प्रकार है

$P=e^{(F-E)/(kT)},$

जहाँ E सूक्ष्म की कुल ऊर्जा है और k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है

जो नंबर F मुक्त ऊर्जा है हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा और पहनावा के लिए एक स्थिरांक है जबकि संभावनाएँ और F अलग चुने जाने पर अलग-अलग होंगे मुक्त ऊर्जा F दो भूमिकाएँ निभाता है सबसे पहले यह प्रायिकता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है दूसरा कई महत्वपूर्ण पहनावा औसत सीधे कार्यक्रम से गणना करते हैं {{{1}}}.

एक ही अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक समकक्ष सूत्रीकरण संभाव्यता को इस प्रकार लिखा जाता है

$\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},$

विभाजन समारोह सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करना।

$\textstyle Z=e^{-F/(kT)}$

मुक्त ऊर्जा के दिए गए समीकरणों मुक्त ऊर्जा के संदर्भ को सरल गणितीय जोड़-तोड़ द्वारा विहित विभाजन कार्य के संदर्भ में पुन: स्थापित किया जा सकता है

ऐतिहासिक रूप से 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा पहली बार विहित कलाकारों की टुकड़ी का वर्णन किया गया था बाद में 1902 में योशिय्याह विलार्ड द्वारा इसका पुनर्निर्माण किया गया और व्यापक जांच की गई।

विहित पहनावा एक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का वर्णन करता है जो ताप स्नान के साथ तापीय संतुलन में है।

विहित पहनावा किसी भी आकार की प्रणाली पर लागू होता है जबकि यह मान लेना आवश्यक है कि ताप स्नान बहुत बड़ा है अर्थात मैक्रोस्कोपिक सीमा प्रणाली स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है।

यह प्रणाली यांत्रिक रूप से पृथक है यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह गर्मी स्नान के अलावा किसी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान न करे सामान्य तौर पर उन प्रणालियों के लिए विहित पहनावा लागू करना वांछनीय है जो गर्मी स्नान के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है व्यावहारिक स्थितियों में विहित पहनावा का उपयोग यांत्रिक रूप से कमजोर है या विश्लेषण के तहत प्रणाली में गर्म स्नान जोड़ का एक उपयुक्त हिस्सा सम्मिलित करके यांत्रिक प्रभाव प्रणाली पर प्रारूप तैयार की जाती है।

जब ऊर्जा स्थिर होती है तो प्रणाली की आंतरिक स्थिति अज्ञात होती है जिससे उपयुक्त विवरण विहित पहनावा बल्कि सूक्ष्म विहित पहनावा है यह उन प्रणालियों के लिए जहां कण संख्या परिवर्तनशील है सही विवरण भव्य विहित पहनावा है सांख्यिकीय भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में परस्पर क्रिया करने वाले कण प्रणालियों के लिए तीन संकुलों को थर्मोडायनामिक सीमा माना जाता है उनके औसत मूल्य के आसपास सूक्ष्मकण मात्रा में उतार-चढ़ाव से छोटा हो जाता है और जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत होती जाती है वे गायब हो जाते हैं बाद की सीमा में थर्मोडायनामिक सीमा कहा जाता है औसत बाधाएँ प्रभावी रूप से कठिन बाधाएँ बन जाती हैं सांख्यिकीय समुच्चय गणितीय भौतिकी तुल्यता की धारणा जोशिया विलार्ड गिब्स के समय से चली आ रही है और भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूप के लिए कम दूरी की बातचीत के साथ सत्यापित किया गया है और सूक्ष्मकण बाधाओं की एक छोटी संख्या के अधीन है इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि समेकन समतुल्य सभी भौतिक प्रणालियों के लिए धारण करता है पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए समेकन समतुल्यता का अलग होना जरूरी होता है।

गुण

विहित समुच्चय दिए गए तापमान पर भौतिक तंत्र के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और यह विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है जैसे कि समन्वय प्रणाली शास्त्रीय यांत्रिकी या आधार प्रमात्रा यांत्रिकी या ऊर्जा के शून्य का N, V, और T के साथ विहित पहनावा एकमात्र पहनावा है जो मौलिक थर्मोडायनामिक संबंध को पुन: उत्पन्न करता है। [9]

सांख्यिकीय संतुलन के बाद भी अंतर्निहित प्रणाली निरंतर गति में है एक विहित पहनावा समय के साथ विकसित नहीं होता है ऐसा इसलिए है क्योंकि पहनावा केवल प्रणाली की संरक्षित मात्रा का एक कार्य है। [1]
अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन की दो प्रणालियां प्रत्येक को समान तापमान के एक विहित एकीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो तापीय संपर्क में लाया जाता है संयुक्त प्रणाली को उसी तापमान के एक सूक्ष्मकण एकीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है। 

अधिकतम एन्ट्रॉपी किसी दिए गए सूक्ष्मकण प्रणाली के लिए सूक्ष्मकण मूल औसत किसी भी औसतन का अधिकतम भार हो सकता है। [1] 

मुक्त ऊर्जा, पहनावा औसत और सटीक अंतर

• समारोह का कुछ व्युत्पन्न F(N, V, T) महत्वपूर्ण विहित पहनावा औसत मात्रा है जहाँ
  • औसत दबाव
    $$\langle p\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial V}},$$
  • गिब्स एंट्रॉपी
    $$S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial T}},$$
  • कुछ व्युत्पन्न रासायनिक क्षमता से संबंधित है जबकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटे प्रणाली के सूक्ष्मकण समेकन पर बिल्कुल लागू नहीं होती है जहाँ
  • और औसत ऊर्जा
    $$\langle E\rangle =F+ST.$$
• सटीक अंतर उपरोक्त भावों से यह देखा जा सकता है कि समारोह F(V, T) प्रदत्त के लिए N सटीक अंतर है
  $$dF=-S\,dT-\langle p\rangle \,dV.$$
• ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम के लिए उपरोक्त संबंध को प्रतिस्थापित करना ⟨E⟩ के उपयुक्त अंतर में F ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम एक समीकरण पाया जाता है।
  $$d\langle E\rangle =T\,dS-\langle p\rangle \,dV.$$
• ऊष्मीय उतार-चढ़ाव: प्रणाली में ऊर्जा में विहित पहनावा में अनिश्चितता है जो इस प्रकार है-
  $$\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}.$$

उदाहरण पहनावा

बोल्ट्जमैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

यदि एक विहित एकीकरण द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में अलग किया जा सकता है और इनमें से प्रत्येक भाग में एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तो प्रत्येक भाग को स्वयं के लिए एक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है तथा समान तापमान वाले एक विहित पहनावे द्वारा इसे वर्णित किया जाता है।

इस तरह विहित एकीकरण कणों की संख्या किसी भी प्रणाली के लिए बोल्टजमान वितरण प्रदान करती है इसकी तुलना में सूक्ष्मकण विहित पहनावा से बोल्ट्जमैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों वाली प्रणाली के लिए लागू होता है।

वास्तविक प्रणालियों में सांख्यिकीय यांत्रिकी को लागू करने के लिए बोल्ट्जमैन वितरण स्वयं सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल करता है जिन्हें स्वतंत्र भागों में अलग किया जा सकता है जैसे मैक्सवेल गति वितरण, प्लैंक का नियम, बहुलक भौतिकी आदि।

आइसिंग निदर्श दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाली प्रणाली

Main article: Ising model

टुकड़ों से बनी एक प्रणाली में जो एक दूसरे के साथ प्रणाली को स्वतंत्र उप-प्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्जमैन वितरण में किया गया है इन प्रणालियों में यह आवश्यक है कि प्रणाली के ऊष्मप्रवैगिकी का वर्णन करने के लिए विहित कलाकारों की टुकड़ी की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाए जब इसे ऊष्मा स्नान के लिए जलमग्न किया जाता है तो सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए विहित पहनावा आम तौर पर सबसे सीधा ढांचा है और यहां तक ​​कि कुछ रोचक गणनीय प्रणाली में सटीक समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता हैइसका एक उत्कृष्ट उदाहरण रोचक संज्ञा है जो लोह चुंबकत्व और स्व-इकट्ठे मोनोलेयर गठन की घटनाओं के लिए व्यापक रूप से चर्चा किया गया खिलौना प्रादर्श है और यह चरण संक्रमण को दर्शाने वाले सबसे सरल प्रादर्शों में से एक है लार्स ऑनसेगर ने विहित पहनावा में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत-आकार के सटीक रूप से मुक्त ऊर्जा की गणना की है।

कलाकारों की टुकड़ी के लिए सटीक भाव

एक सांख्यिकीय समुच्चय के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है क्वांटम या शास्त्रीय क्योंकि इन दो स्थानों में एक सूक्ष्म राज्य की धारणा काफी भिन्न होती है क्वांटम यांत्रिकी में विहित पहनावा एक सरल विवरण देता है क्योंकि मैट्रिक्स एकीकरण विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ सूक्ष्म राज्य सांख्यिकीय यांत्रिकी का असतत समूह प्रदान करता है शास्त्रीय यांत्रिक स्थान अधिक जटिल है क्योंकि इसमें इसकी जगह विहित चरण स्थान पर एक अभिन्न अंग सम्मिलित है और चरण स्थान में सूक्ष्म राज्य के आकार को कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी

Further information on the representation of ensembles in quantum mechanics: Statistical ensemble (mathematical physics)

क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा घनत्व मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है जिसे ${\hat {\rho }}$ द्वारा निरूपित किया जाता है इसके आधार पर मुक्त संकेतन में विहित पहनावा घनत्व मैट्रिक्स है जो इस प्रकार है

${\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),$

जहाँ Ĥ प्रणाली का कुल ऊर्जा के अनुरूप हैमिल्टनियन क्वांटम यांत्रिकी है और {{{1}}} मैट्रिक्स घातीय के अनुरूप है मुक्त ऊर्जा F संभाव्यता सामान्यीकरण की स्थिति से निर्धारित होता है कि घनत्व मैट्रिक्स में एक का निशान रैखिक बीजगणित में होता है :

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).$

यदि प्रणाली की स्थिर स्थिति और ऊर्जा अभिलाछणिक मान ​​​​ज्ञात हैं तो विहित पहनावा वैकल्पिक रूप से टिप्पणी का उपयोग करके एक सरल रूप में लिखा जा सकता है ऊर्जा इंजन राज्य का एक पूरा आधार i द्वारा अनुक्रमित किया गया है।

जहाँ ${\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {F-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {-E_{i}}{kT}}.$

शास्त्रीय यांत्रिक

Further information on the representation of ensembles in classical mechanics: Statistical ensemble (mathematical physics)

शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा चरण स्थान में एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा दर्शाया जाता है

ρ(p1, … pn, q1, … qn) जहां p1, … pn और q1, … qn प्रणाली की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के विहित निर्देशांक हैं।

कणों की एक प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n कणों की संख्या पर निर्भर करता है N एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है मोनोआटम्स अणुओं की त्रि-आयामी गैस के लिए n = 3N. द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी कोटि भी होंगी।

विहित पहनावा के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है

$\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}},$

कहाँ

• E प्रणाली की ऊर्जा है जो चरण का एक कार्य है (p₁, … q_n),
• h की इकाइयों के साथ एक मनमाना निर्धारित स्थिरांक है
• C एक अतिगणना सुधार कारक है जो अधिकतर कण प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ जगह बदलने में सक्षम होते हैं।
• F एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट राज्य कार्यमुक्त ऊर्जा भी है।

दूसरे शब्दों में शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सूक्ष्म राज्य एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र में है और इस क्षेत्र का आयतन hⁿC है इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म राज्य में ऊर्जा की एक सीमा होती है जबकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है।