स्केल पैरामीटर

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, स्केल पैरामीटर संभाव्यता वितरण के प्राचलिक (पैरामीट्रिक) समूह का एक विशेष प्रकार का संख्यात्मक पैरामीटर (मापदण्ड) है। स्केल पैरामीटर जितना बड़ा होगा, वितरण उतना ही अधिक विस्तार होगा।

परिभाषा

यदि संभाव्यता वितरण का एक समूह ऐसा है कि एक पैरामीटर s (और अन्य पैरामीटर θ) है जिसके लिए संचयी वितरण फलन संतुष्ट करता है

$F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!$

तब s को 'स्केल पैरामीटर' कहा जाता है, क्योंकि इसका मान प्रायिकता वितरण के पैमाने (अनुपात) या सांख्यिकीय परिक्षेपण को निर्धारित करता है। यदि s बड़ा है, तो वितरण अधिक फैला हुआ होगा; यदि s छोटा है तो यह अधिक केंद्रित होगा।

File:Effects of a scale parameter on a positive-support probability distribution.gif

धनात्मक वास्तविक रेखा पर समर्थित संभाव्यता वितरण पर स्केल पैरामीटर के प्रभावों को दर्शाने वाला एनिमेशन।

File:Effect of a scale parameter over a mixture of two normal probability distributions.gif

दो सामान्य प्रायिकता वितरणों के मिश्रण पर स्केल पैरामीटर का प्रभाव

यदि संभाव्यता घनत्व फलन पूर्ण पैरामीटर सेट के सभी मानों के लिए मौजूद है, तो घनत्व (केवल स्केल पैरामीटर के फलन के रूप में) संतुष्ट करता है

$f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!$

जहाँ f घनत्व के मानकीकृत संस्करण का घनत्व है, अर्थात $f(x)\equiv f_{s=1}(x)$.

स्केल पैरामीटर के एक अनुमानक को स्केल का अनुमानक कहा जाता है।

अवस्थिति पैरामीटर वाले समूह

ऐसे मामले में जहां एक पैरामीट्रिज्ड समूह का अवस्थिति पैरामीटर होता है, थोड़ी अलग परिभाषा अक्सर निम्नानुसार उपयोग की जाती है। यदि हम अवस्थिति पैरामीटर को निरूपित करते हैं $m$, और स्केल पैरामीटर द्वारा $s$, तो हमें उसकी आवश्यकता है $F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )$ जहाँ $F(x,s,m,\theta )$ पैरामीट्रिज्ड समूह के लिए cmd है। एक गैर-केंद्रीय गॉसियन के मानक विचलन के लिए एक स्केल पैरामीटर होने के लिए यह संशोधन आवश्यक है, अन्यथा जब हम पुनर्विक्रय करते हैं तो माध्य बदल जाएगा $x$. हालाँकि, इस वैकल्पिक परिभाषा का लगातार उपयोग नहीं किया जाता है।

सरल जोड़तोड़

हम लिख सकते हैं $f_{s}$ के अनुसार $g(x)=x/s$, निम्नलिखित नुसार:

$f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).$

चूँकि f प्रायिकता घनत्व फलन है, यह समानता से एकीकृत होता है:

$1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.$

इंटीग्रल कैलकुलस के प्रतिस्थापन नियम से, हमारे पास तब है

$1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.$

इसलिए $f_{s}$ भी ठीक से सामान्यीकृत है।

दर पैरामीटर

वितरण के कुछ समूह दर पैरामीटर (या व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर) का उपयोग करते हैं, जो कि 'स्केल पैरामीटर' का पारस्परिक है। तो उदाहरण के लिए पैमाने पैरामीटर β और संभाव्यता घनत्व के साथ घातीय वितरण

$f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0$

समान रूप से दर पैरामीटर λ के रूप में लिखा जा सकता है

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.$

उदाहरण

• समान वितरण (निरंतर) के अवस्थिति पैरामीटर के साथ पैरामीटरकृत किया जा सकता है