ची वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ची वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण होता है। यह एक मानक सामान्य वितरण के पश्चात् स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक समूह के वर्गों के योग के धनात्मक वर्गमूल का वितरण, या समकक्ष, मूल से यादृच्छिक चर की यूक्लिडियन दूरी का वितरण होता है। इस प्रकार यह ची-वर्ग वितरण को स्वीकृति देने वाले एक चर के धनात्मक वर्गमूलों के वितरण का वर्णन करके ची-वर्ग वितरण से संबंधित होता है।

यदि $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ होता हैं तो $k$ माध्य 0 और मानक विचलन 1 के साथ स्वतंत्र होता, सामान्य वितरण यादृच्छिक चर, फिर आँकड़ा निम्न प्रकार होता है

$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}$

जिसे ची वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है। ची वितरण का एक पैरामीटर $k$ होता है, जो स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को निर्दिष्ट करता है (अर्थात् यादृच्छिक चर की संख्या $Z_{i}$ होती है)।

chi

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$k>0\,$ (degrees of freedom)
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}$
CDF	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Mean	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Median	$\approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}$
Mode	${\sqrt {k-1}}\,$ for $k\geq 1$
Variance	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Skewness	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
Ex. kurtosis	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Entropy	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
MGF	Complicated (see text)
CF	Complicated (see text)

सबसे परिचित उदाहरण रेले वितरण (स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ ची वितरण) और एक आदर्श गैस में आणविक गति का मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण (स्वतंत्रता की तीन डिग्री के साथ ची वितरण) होता है।

परिभाषाएँ

संभाव्यता घनत्व फलन

ची-वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) निम्न प्रकार है

$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

जहाँ $\Gamma (z)$ गामा फलन होता है।

संचयी वितरण फलन

संचयी वितरण फलन निम्न प्रकार द्वारा दिया गया है:

$F$