कंटूर समाकलन

This article is about जटिल तल में रेखा अभिन्न. For सामान्य रेखा अभिन्न, see रेखा अभिन्न.

जटिल विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, कंटूर समाकलन जटिल तल में पथों के साथ कुछ समाकल का मूल्यांकन करने का विधि है।

कंटूर समाकलन अवशेष प्रमेय से निकटता से संबंधित है, जो जटिल विश्लेषण की विधि हैं।

कंटूर समाकलन के लिए उपयोग वास्तविक रेखा के साथ समाकल का मूल्यांकन है जो केवल वास्तविक वेरिएबल्स विधियों का उपयोग करके आसानी से नहीं पाया जाता है।

कंटूर समाकलन विधियों में सम्मिलित हैं:

• जटिल तल (कंटूर रेखा) में वक्र के साथ जटिल संख्या-मूल्यवान फलन का प्रत्यक्ष समाकलन;
• कॉची समाकल सूत्र का अनुप्रयोग; और
• अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग।

इन समाकल या संक्षिप्त विवरण को खोजने के उद्देश्य से विधि का उपयोग किया जा सकता है, या इन विधियों के संयोजन, या विभिन्न सीमित प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है।

जटिल तल में वक्र

जटिल विश्लेषण में कंटूर जटिल तल में प्रकार का वक्र होता है। कंटूर समाकलन में, कंटूर वक्रों की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिस पर समाकल को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जटिल तल में वक्र को वास्तविक रेखा के बंद अंतराल से जटिल तल z : [a, b] → C तक निरंतर फलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

वक्र की यह परिभाषा वक्र की समतल धारणा के साथ मेल खाती है, किन्तु इसमें बंद अंतराल से निरंतर फलन द्वारा पैरामीट्रिजेशन सम्मिलित है। यह अधिक त्रुटिहीन परिभाषा हमें यह विचार करने की अनुमति देती है कि समाकलन के लिए उपयोगी होने के लिए वक्र में क्या गुण होने चाहिए। निम्नलिखित उपखंडों में हम उन वक्रों के समूह को संकुचित करते हैं जिन्हें हम केवल उन वक्रों को सम्मिलित करने के लिए एकीकृत कर सकते हैं जिन्हें निरंतर वक्रों की परिमित संख्या से बनाया जा सकता है जिन्हें दिशा दी जा सकती है। इसके अतिरिक्त, हम टुकड़ों को अपने ऊपर से पार करने से रोकेंगे, और हमें आवश्यकता है कि प्रत्येक टुकड़े का परिमित (गैर-लुप्त) निरंतर व्युत्पन्न हो। ये आवश्यकताएं इस आवश्यकता के अनुरूप हैं कि हम केवल उन वक्रों पर विचार करें जिनका पता लगाया जा सकता है, जैसे कि पेन द्वारा, समान, स्थिर स्ट्रोक के क्रम में, जो केवल कलम उठाए बिना वक्र का नया टुकड़ा प्रारंभ करने के लिए रुकते हैं।

निर्देशित समतल वक्र

कंटूर को अधिकांश निर्देशित समतल वक्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है।ये समतल वक्र के टुकड़े की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें से कंटूर बनाया जाता है।

समतल वक्र एक वक्र है z : [a, b] → C गैर-लुप्त, निरंतर व्युत्पन्न के साथ जैसे कि प्रत्येक बिंदु को केवल बार (z एक-से-है) पार किया जाता है, वक्र के संभावित अपवाद के साथ जैसे कि समापन बिंदु (z(a) = z(b)) के समान है। ऐसी स्थिति में जहां समापन बिंदु वक्र के समान होते है, उन्हें बंद कहा जाता है, और फलन को प्रत्येक स्थान एक-से-होने की आवश्यकता होती है और व्युत्पन्न को पहचान बिंदु (z′(a) = z′(b)) पर निरंतर होना चाहिए। समतल वक्र जो बंद नहीं होता है उसे अधिकांश समतल चाप के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वक्र का पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र z(x) पर बिंदुओं का प्राकृतिक क्रम प्रदान करता है जो z(y) से पहले आता है यदि x < y हैं। यह निर्देशित समतल वक्र की धारणा की ओर ले जाता है। विशिष्ट पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र वक्रों पर विचार करना सबसे उपयोगी है। यह समान दिशा वाले समतल वक्रों के तुल्यता वर्गों पर विचार करके किया जा सकता है। निर्देशित समतल वक्र को तब जटिल तल में बिंदुओं के क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कि उनके प्राकृतिक क्रम में कुछ समतल वक्र की छवि है (पैरामीट्रिजेशन के अनुसार)। ध्यान दें कि बिंदुओं के सभी क्रम समतल वक्र के प्राकृतिक क्रम नहीं हैं। वास्तव में, दिए गए समतल वक्र में केवल दो ऐसे क्रम होते हैं। इसके अतिरिक्त, एकल बंद वक्र के अंत बिंदु के रूप में कोई भी बिंदु हो सकता है, जबकि समतल चाप के अंत बिंदुओं के लिए केवल दो विकल्प होते हैं।

कंटूर

कंटूर वक्रों का वह वर्ग है जिस पर हम कंटूर समाकलन को परिभाषित करते हैं। कंटूर निर्देशित वक्र है जो निर्देशित समतल वक्रों के परिमित अनुक्रम से बना होता है जिसके अंत बिंदु एकल दिशा देने के लिए मेल खाते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि वक्रों का क्रम γ₁, …, γ_n ऐसा हो कि γ_i का टर्मिनल बिंदु γ_i+1, ∀ i, 1 ≤ i < n के प्रारंभिक बिंदु के साथ मेल खाता हो। इसमें सभी निर्देशित समतल वक्र सम्मिलित हैं। साथ ही, जटिल तल में बिंदु को कंटूर माना जाता है। प्रतीक + का उपयोग अधिकांश नया वक्र बनाने के लिए साथ घटता के टुकड़े को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार हम एक कंटूर Γ लिख सकते हैं जो कि n वक्रों से बना है

$$\Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.$$

कंटूर समाकलन

जटिल फलन f : C → C का कंटूर समाकलन भाग वास्तविक-मूल्यवान फलनों के लिए समाकल का सामान्यीकरण है। जटिल तल में निरंतर फलनों के लिए, वास्तविक मूल्यवान पैरामीटर पर समाकल के संदर्भ में निर्देशित समतल वक्र के साथ पहले समाकल को परिभाषित करके कंटूर समाकलन को रेखा समाकल के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है। अंतराल के विभाजन और रीमैन समाकल के अनुरूप कंटूर के विभाजन के संदर्भ में अधिक सामान्य परिभाषा दी जा सकती है। दोनों ही मामलों में कंटूर पर समाकल अंग को कंटूर बनाने वाले निर्देशित समतल वक्रों पर समाकल अंग के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

निरंतर फलनों के लिए

इस तरह से कंटूर समाकलन को परिभाषित करने के लिए, पहले जटिल-मूल्यवान फलन के वास्तविक वेरिएबल्स पर, समाकल पर विचार करना चाहिए। मान लीजिए f : R → C वास्तविक वेरिएबल्स t का जटिल-मूल्यवान फलन है। f के वास्तविक और काल्पनिक भाग को अधिकांश क्रमशः u(t) और v(t) के रूप में निरूपित किया जाता है, जिससे

$$f(t)=u(t)+iv(t).$$

फिर जटिल-मूल्यवान फलन का समाकल अंग f अंतराल पर [a, b] द्वारा दिया गया है

$$\begin{array}{rl}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(t)dt& ={\int <!--\; \int \; -->}_a^b(u(t)+iv(t))dt\\ & ={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}u(\end{array}$$