आंशिक अवकलज

गणित में, एक फ़ंक्शन (गणित) #MULTIVARIATE FUNCTION का एक आंशिक व्युत्पन्न उन चरों में से एक के संबंध में इसका व्युत्पन्न है, जिसमें अन्य स्थिर होते हैं (कुल व्युत्पन्न के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक यौगिक का उपयोग वेक्टर पथरी और अंतर ज्यामिति में किया जाता है।

किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न $f(x,y,\dots )$ चर के संबंध में $x$ द्वारा विभिन्न रूप से निरूपित किया जाता है

$f_{x}$,$f'_{x}$, $\partial _{x}f$, $\ D_{x}f$, $D_{1}f$, ${\frac {\partial }{\partial x}}f$, or ${\frac {\partial f}{\partial x}}$.

इसे फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के रूप में सोचा जा सकता है $x$-दिशा।

कभी-कभी, के लिए $z=f(x,y,\ldots )$, का आंशिक व्युत्पन्न $z$ इसके संबंध में $x$ के रूप में दर्शाया गया है ${\tfrac {\partial z}{\partial x}}.$ चूंकि आंशिक व्युत्पन्न में आम तौर पर मूल कार्य के समान तर्क होते हैं, इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि:

$f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).$

आंशिक डेरिवेटिव को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने आंशिक अंतर समीकरण के लिए इसका इस्तेमाल किया था। आधुनिक आंशिक व्युत्पन्न संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया; कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1841 में प्रतीक को फिर से प्रस्तुत किया। उच्च क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के लिए, आंशिक डेरिवेटिव (फ़ंक्शन) का $D_{i}f$ jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. वह है, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें डेरिवेटिव लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि $D_i$