अपचायक समूह

गणित में, एक अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह GL(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह SO(n) , और सममिती समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से संवृत्त क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या आर या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है।

अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध निरूपण सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो k-सदिश रिक्त स्थान पर G की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-आयामी एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

Main article: रैखिक बीजगणितीय समूह

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक समृणीकृत पद्धति संवृत्त समूह पद्धति के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k के ऊपर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है।

एकांगी मूलक के साथ

एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि $G$ के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है। इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे $R_{u}(G)$ के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह $G$ को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि पद्धतिओं के फाइबर उत्पाद $G_{\overline {k}}$ अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां ${\overline {k}}$ k का बीजगणितीय संवरक है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है।) k के ऊपर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह G_m, अपचायक होता है।

निरूपण सिद्धांत के साथ

विशेषता शून्य के क्षेत्रों में एक अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक संयोजित समूह $G$ है एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करता है जो इसके बीजगणितीय संवरक $k^{al}$ पर अर्धसरल रहता है ^{पृष्ठ 424}।

सरल अपचायक समूह

क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह सार समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय केंद्र (समूह सिद्धांत) हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ_n है।

अपचायक समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण समूह समरूपता है जिसमें आधार एक परिमित केंद्रीय उपसमूह पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k,

$GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}$ पर।

यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर एक अपचायक समूह की परिभाषा में बीजगणितीय संवरक को पारित करना सम्मिलित है। एक पूर्ण क्षेत्र k के लिए, इससे बचा जा सकता है: k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है यदि और मात्र यदि G के प्रत्येक समृणीकृत संयोजित एकांगी सामान्य k-उपसमूह नगण्य हैं। एक स्वेच्छ क्षेत्र के लिए, बाद की गुण एक छद्म-अपचायक समूह को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है।

विपाटित-अपचायक समूह

क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G को 'विपाटित' कहा जाता है, यदि इसमें k के ऊपर एक विपाटित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) ${\overline {k}}$ में एक अधिकतम टोरस है $G_{\overline {k}}$)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी के-टोरी के बीच अधिकतम है। इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी डेटा के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे रूट डेटा कहा जाता है।

उदाहरण

GL_n और एसएल_n

अपचायक समूह का एक मूलभूत उदाहरण सामान्य रैखिक समूह है ${\text{GL}}_{n}$ प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n मैट्रिसेस। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' जी_m समूह GL (1) है, और इसलिए इसका समूह G है_m(k) k-रेशनल पॉइंट्स गुणन के तहत k के गैर-शून्य तत्वों का समूह k* है। एक अन्य अपचायक समूह क्षेत्र k पर विशेष रैखिक समूह SL(n) है, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह। वास्तव में, SL(n) कम से कम 2 n के लिए एक सरल बीजगणितीय समूह है।

ओ (n), SO (n), और एसपी (n)

एक महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश स्थान k पर एक गैर-अपघटित वैकल्पिक द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है।²ⁿ। इसी तरह, ओर्थोगोनल समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश स्थान पर एक अविकृत द्विघात रूप q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो संयोजित घटक (टोपोलॉजी) हैं, और इसकी पहचान घटक SO(q) अपचायक है, वास्तव में कम से कम आयाम n के q के लिए सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह पद्धति O(q) वास्तव में जुड़ी हुई है, परन्तु k पर समृणीकृत नहीं है। सरल समूह SO(q) को हमेशा O(q) के अधिक से अधिक समृणीकृत रूप से संयोजित उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से संवृत्त होता है, तो कोई भी दो ( nondegenerate) एक ही आयाम के द्विघात रूप आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। एक सामान्य क्षेत्र k के लिए, आयाम n के विभिन्न द्विघात रूपों से k के ऊपर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, यद्यपि उन सभी में बीजगणितीय संवरक में समान आधार परिवर्तन होता है। ${\overline {k}}$।

तोरी

समूह $\mathbb {G} _{m}$ और इसके उत्पादों को बीजगणितीय टोरस कहा जाता है। वे एम्बेड करने के बाद से अपचायक समूहों के उदाहरण हैं ${\text{GL}}_{n}$ विकर्ण के माध्यम से, और इस निरूपण से, उनका एकरूप मूलक नगण्य है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}$