परिमित समूह

सार बीजगणित में, एक परिमित समूह एक समूह (गणित) है जिसका अंतर्निहित समुच्चय परिमित समुच्चय है। परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में चक्रीय समूह और क्रमचय समूह सम्मिलित हैं।

परिमित समूहों का अध्ययन समूह सिद्धांत का एक अभिन्न अंग रहा है क्योंकि यह 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ था। अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र वर्गीकरण किया गया है: परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण (जिनमें कोई गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह नहीं है) 2004 में पूरा किया गया था।

इतिहास

बीसवीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने परिमित समूहों के सिद्धांत के कुछ गुणओं की बहुत गहराई से जाँच की, विशेष रूप से परिमित समूहों के स्थानीय विश्लेषण और हल करने योग्य समूह और निलपोटेंट समूहों के सिद्धांत की। परिणामस्वरूप, परिमित सरल समूहों का पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त किया गया, जिसका अर्थ है कि वे सभी सरल समूह जिनसे सभी परिमित समूह बनाए जा सकते हैं, अब ज्ञात हैं।

बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, क्लाउड चेवेली और रॉबर्ट स्टाइनबर्ग जैसे गणितज्ञों ने पारम्परिक समूहों और अन्य संबंधित समूहों के परिमित अनुरूप की हमारी समझ को भी बढ़ाया। समूहों का ऐसा ही एक परिवार परिमित क्षेत्रों पर सामान्य रेखीय समूहों का परिवार है।

परिमित समूह अधिकांश गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। झूठ समूहों का सिद्धांत, जिसे निरंतर समरूपता से निपटने के रूप में देखा जा सकता है, संबंधित वेइल समूहों से काफी प्रभावित है। ये परिमित समूह हैं जो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर कार्य करते हैं। परिमित समूहों के गुण इस प्रकार सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान जैसे विषयों में भूमिका निभा सकते हैं।

उदाहरण

क्रमपरिवर्तन समूह

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S का एक केली आरेख₄

n प्रतीकों के परिमित समुच्चय पर सममित समूह Sn वह समूह है जिसके तत्व n प्रतीकों के सभी क्रमपरिवर्तन हैं, और जिसका समूह संचालन ऐसे क्रमपरिवर्तन की संरचना है, जिन्हें प्रतीकों के समुच्चय से स्वयं के लिए विशेषण कार्यों के रूप में माना जाता है। चूंकि n! है (n भाज्य) प्रतीकों के एक समुच्चय के संभावित क्रमपरिवर्तन, यह इस प्रकार है कि सममित समूह Sn का क्रम (तत्वों की संख्या) n! है।

चक्रीय समूह

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चक्रीय समूह Z_n एक ऐसा समूह है जिसके सभी तत्व किसी विशेष तत्व a की शक्तियाँ हैं जहाँ aⁿ = a⁰ = e, पहचान। इस समूह का एक विशिष्ट बोध एकता की जटिल nवीं मूलों के रूप में है। a को एकता के आदिम रूट पर भेजने से दोनों के बीच एक समरूपता मिलती है। यह किसी परिमित चक्रीय समूह के साथ किया जा सकता है।

परिमित विनिमेय समूह

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विनिमेय समूह, जिसे एक क्रमविनिमेय समूह भी कहा जाता है, एक समूह (गणित) है जिसमें समूह संचालन (गणित) को दो समूह तत्वों पर लागू करने का परिणाम उनके क्रम (क्रमविनिमेयता के स्वयंसिद्ध) पर निर्भर नहीं करता है। उनका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

एक स्वेच्छ परिमित विनिमेय समूह प्रमुख शक्ति क्रम के परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है, और इन क्रमों को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जो अपरिवर्तनीयों की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। एक परिमित विनिमेय समूह के स्वसमाकृतिकता समूह को इन अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में सीधे वर्णित किया जा सकता है। इस सिद्धांत को पहली बार जॉर्ज फ्रोबेनियस और लुडविग स्टिकेलबर्गर के 1879 के पेपर में विकसित किया गया था और बाद में रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय बनाते हुए, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनुखंड के लिए सरल और सामान्यीकृत दोनों किया गया था।

झूठ प्रकार के समूह

Main article: अभिसंधि (लाई) प्रकार का समूह

लाई प्रकार का एक समूह एक ऐसा समूह है जो क्षेत्र (गणित) k में मानों के साथ एक रिडक्टिव रैखिक बीजगणितीय समूह G के परिमेय बिंदुओं के समूह G(k) से निकटता से संबंधित है। झूठ प्रकार के परिमित समूह नॉनबेलियन परिमित सरल समूहों के थोक देते हैं। विशेष मामलों में पारंपरिक समूह, शेवाली समूह, स्टाइनबर्ग समूह और सुज़ुकी-री समूह सम्मिलित हैं

लाई प्रकार के परिमित समूह गणित में विचार किए जाने वाले पहले समूहों में से थे, चक्रीय, सममित समूह और वैकल्पिक समूह के बाद, प्रमुख परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों के साथ, PSL(2, p) का निर्माण 1830 के दशक मेंइवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया जा रहा था। लाइ प्रकार के परिमित समूहों की व्यवस्थित खोज केमिली जॉर्डन के प्रमेय के साथ शुरू हुई कि प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, q) q ≠ 2, 3 के लिए सरल है। यह प्रमेय उच्च आयामों के प्रक्षेपी समूहों के लिए सामान्यीकरण करता है और परिमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण अनंत परिवार PSL(n, q) देता है। 20वीं सदी क�