वेइल समूह

गणित में विशेष रूप से लाई बीजगणित का सिद्धांत, मूल प्रक्रिया Φ का वेइल समूह (हरमन वेइल के नाम पर) उस रूट प्रणाली के आइसोमेट्री समूह का एक उपसमूह है। विशेष रूप से यह उपसमूह है, जो जड़ों के लिए हाइपरप्लेन ओर्थोगोनल के माध्यम से प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है, और जैसे कि एक परिमित प्रतिबिंब समूह है। वस्तुतः यह जानकारी प्राप्त हुई है कि अधिकांशतः परिमित प्रतिबिंब समूह वेइल समूह होते हैं। संक्षेप में वेइल समूह परिमित कॉक्सेटर समूह हैं और इनके महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

अर्ध-सरल झूठ समूह का वेइल ग्रुप, सेमीसिम्पल लाई बीजगणित, सेमीसिंपल लीनियर बीजगणितीय ग्रुप आदि सेमी-सिंपल लाई बीजगणित के रूट प्रणाली का वेइल ग्रुप है। अर्ध-सरल लाई समूह का वेइल समूह, सेमीसिम्पल लाई बीजगणित, सेमीसिम्पल लीनियर बीजगणितीय समूह आदि उस समूह या सेमी-सिम्पल लाई बीजगणित की रूट प्रणाली का वेइल समूह है।

परिभाषा और उदाहरण

File:A2 Weyl group (revised).png

वेइल समूह का $A_{2}$ मूल तंत्र एक समबाहु त्रिभुज का सममिति समूह है।

माना कि $\Phi$ यूक्लिडियन स्पेस में एक रूट प्रणाली $V$ हो। प्रत्येक रूट के लिए $\alpha \in \Phi$, माना कि $s_{\alpha }$ हाइपरप्लेन के लंब के $\alpha$ में प्रतिबिंब को निरूपित करें। जो स्पष्ट रूप से दिया गया है-

$s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha$,

जहाँ $(\cdot ,\cdot )$ आंतरिक उत्पाद $V$ है। सभी $s_{\alpha }$ द्वारा उत्पन्न वेइल समूह $W$ का $\Phi$ ऑर्थोगोनल समूह का उपसमूह O(V) है। रूट प्रणाली की परिभाषा के अनुसार प्रत्येक $s_{\alpha }$, $\Phi$ को संरक्षित रखता है। जिससे यह अनुसरण करता है कि $W$ एक फाइनाइट समूह है।

$A_{2}$ रूट प्रणाली की स्थिति में, उदाहरण के लिए, रूट्स के लंबवत हाइपरप्लेन केवल रेखाएं होती हैं और वेइल समूह एक समबाहु त्रिभुज का समरूपता समूह है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक समूह के रूप में, $W$ तीन तत्वों पर क्रमचय समूह के लिए समरूपी है। जिसे त्रिभुज के शीर्ष के रूप में माना जा सकता हैं। ध्यान दें कि इस स्थिति में $W$ रूट प्रणाली का पूर्ण सिमिट्रिक समूह नहीं है। एक 60 डिग्री का रोटेशन $\Phi$ संरक्षित करता है। किन्तु $W$ का भाग नहीं है।

हम $A_{n}$ मूल प्रणाली पर विचार कर सकते हैं। इस स्थिति में, $V$ में सभी सदिशों $\mathbb {R} ^{n+1}$ का स्थान है। जिनकी प्रविष्टियों का योग शून्य है। रूट्स में फॉर्म के वैक्टर $e_{i}-e_{j},\,i\neq j$ होते हैं। जहाँ $e_{i}$, $i$वें मानक आधार तत्व के लिए $\mathbb {R} ^{n+1}$ है। ऐसी रूट से जुड़ा प्रतिबिंब का परिवर्तन $V$ है। जिसे $i$ और $j$ प्रत्येक सदिश की प्रविष्टियों के परिवर्तन बाद प्राप्त किया। $A_{n}$ वेइल समूह के लिए तब क्रमचय समूह $n+1$ तत्व प्रारम्भ है।

वेइल चेंबर्स

See also: कॉक्सेटर समूह एफीन कॉक्सेटर समूह

File:Weyl chambers for A2.png

छायांकित क्षेत्र आधार $\{\alpha _{1},\alpha _{2}\}$ के लिए मौलिक वेइल कक्ष है।

यदि $\Phi \subset V$ एक रूट प्रणाली है। जिससे हम हाइपरप्लेन को प्रत्येक रूट $\alpha$ के लंबवत मान सकते हैं। याद रखें कि $s_{\alpha }$ हाइपरप्लेन के विषय में प्रतिबिंब को प्रदर्शित कर सकते हैं और सभी $s_{\alpha }$ द्वारा उत्पन्न वेइल समूह $V$ के परिवर्तनों का समूह है। हाइपरप्लेन के समूह का पूरक डिस्कनेक्ट हो जाता है और प्रत्येक जुड़े घटक को वेइल कक्ष कहते हैं। यदि हम सरल रूट्स का एक विशेष समुच्चय Δ निर्धारित करते हैं। जिससे हम Δ से जुड़े मुख्य वेइल कक्ष को बिंदुओं $v\in V$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। ऐसा है कि सभी वेइल समूह के लिए $(\alpha ,v)>0$ निर्धारित है।

प्रतिबिंब $s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi$ के बाद से $\Phi$ को संरक्षित करना, वे रूट्स के लंबवत हाइपरप्लेन के समूहों को भी संरक्षित करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक वेइल समूह तत्व वेइल कक्षों को अनुमति है।

यह फीगर A2 रूट प्रणाली के स्थिति को प्रदर्शित करता है। रूट्स के लिए हाइपरप्लेन (इस स्थिति में एक आयामी) ऑर्थोगोनल को डैस्ड रेखाओं के द्वारा निर्देशित किया जाता है। छह 60-डिग्री क्षेत्र वाले वेइल कक्ष हैं और छायांकित क्षेत्र संकेतित आधार से जुड़ा हुआ मौलिक वेइल कक्ष है।

वेइल चेम्बर्स के बारे में एक मूलभूत सामान्य प्रमेय यह है कि:

प्रमेय: वेइल समूह वेइल कक्षों पर स्वतंत्र रूप से और सक्रिय रूप से कार्य करता है। इस प्रकार वेइल समूह का क्रम वेइल कक्षों की संख्या के बराबर होता है।

एक संबंधित परिणाम यह है:

प्रमेय: एक वेइल कक्ष $C$ को ठीक करें। फिर सभी $$