अपचायक समूह

गणित में, एक अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का प्रतिनिधित्व होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह GL(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह एसओ(n) , और सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक मनमाना क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना कठिन होता है, लेकिन कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या आर या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण अच्छी तरह से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में।

अपचायक समूहों के पास विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G के प्रतिनिधित्व का अध्ययन कर सकता है, जो k-वेक्टर रिक्त स्थान पर G की क्रियाएं हैं। लेकिन साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-आयामी एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के ऑटोमोर्फिक निरूपण। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

Main article: Linear algebraic group

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक चिकनी योजना बंद समूह योजना के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k के ऊपर एक चिकनी संबंध योजना समूह योजना है।

एकांगी मूलक के साथ

एक जुड़ा हुआ अंतरिक्ष रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सेमीसिम्पल कहा जाता है यदि हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि सबसे बड़ा सुचारू रूप से जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह # यूनिपोटेंट समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। इस सामान्य उपसमूह को यूनिपोटेंट रेडिकल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $R_{u}(G)$. (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक समूह $G$ एक मनमाना क्षेत्र पर k को योजनाओं के फाइबर उत्पाद होने पर सेमीसिम्पल या अपचायक कहा जाता है $G_{\overline {k}}$ सेमीसिंपल या अपचायक है, जहां ${\overline {k}}$ k का बीजगणितीय समापन है। (यह परिचय में अपचायक समूह्स की परिभाषा के बराबर है जब k एकदम सही है।) कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह#टोरी ओवर k, जैसे कि रैखिक बीजगणितीय समूह#उदाहरण G_m, अपचायक है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ

विशेषता शून्य के क्षेत्रों में एक अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक जुड़ा हुआ समूह है $G$ एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करना जो इसके बीजगणितीय समापन पर अर्धसरल बना रहता है $k^{al}$ ^{पेज 424}.

सरल अपचायक समूह

फ़ील्ड k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, गैर-तुच्छ है, और G से अधिक k का हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह तुच्छ या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस संपत्ति को लगभग सरल कहते हैं।) यह सार समूहों के लिए शब्दावली से थोड़ा अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में गैर-तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) हो सकता है (हालांकि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी फ़ील्ड k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह#एकता की जड़ों की समूह योजना है। समूह योजना μ_nएकता की nth जड़ों की।

अपचायक समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण समूह समरूपता है जिसमें आधार एक परिमित केंद्रीय उपसमूह योजना है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी फ़ील्ड k पर,

$GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.$

यह थोड़ा अजीब है कि एक क्षेत्र पर एक अपचायक समूह की परिभाषा में बीजगणितीय बंद होने का मार्ग सम्मिलित है। एक पूर्ण क्षेत्र के लिए, जिसे टाला जा सकता है: एक रैखिक बीजगणितीय समूह G ओवर के अपचायक है यदि और केवल यदि G के प्रत्येक चिकनी जुड़े यूनिपोटेंट सामान्य के-उपसमूह तुच्छ हैं। एक मनमाने क्षेत्र के लिए, बाद की संपत्ति एक छद्म-अपचायक समूह को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है।

स्प्लिट-अपचायक समूह

फ़ील्ड k पर एक अपचायक समूह G को 'स्प्लिट' कहा जाता है, यदि इसमें k के ऊपर एक स्प्लिट मैक्सिमम टोरस T होता है (यानी, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह#Tori जिसका आधार बदल जाता है) ${\overline {k}}$ में एक अधिकतम टोरस है $G_{\overline {k}}$). यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी के-टोरी के बीच अधिकतम है। इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी डेटा के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे रूट डेटा कहा जाता है।

उदाहरण

GL_n और एसएल_n

अपचायक समूह का एक मूलभूत उदाहरण सामान्य रैखिक समूह है ${\text{GL}}_{n}$ प्राकृतिक संख्या n के लिए फ़ील्ड k पर व्युत्क्रमणीय n × n मैट्रिसेस। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' जी_m समूह GL (1) है, और इसलिए इसका समूह G है_m(k) k-रेशनल पॉइंट्स गुणन के तहत k के गैर-शून्य तत्वों का समूह k* है। एक अन्य अपचायक समूह क्षेत्र k पर विशेष रैखिक समूह SL(n) है, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह। वास्तव में, SL(n) कम से कम 2 n के लिए एक सरल बीजगणितीय समूह है।

ओ (n), एसओ (n), और एसपी (n)

एक महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश स्थान k पर एक गैर-अपघटित वैकल्पिक द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है।²ⁿ. इसी तरह, ओर्थोगोनल समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश स्थान पर एक अविकृत द्विघात रूप q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो जुड़े घटक (टोपोलॉजी) हैं, और इसकी पहचान घटक SO(q) अपचायक है, वास्तव में कम से कम आयाम n के q के लिए सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह योजना O(q) वास्तव में जुड़ी हुई है, लेकिन k पर चिकनी नहीं है। सरल समूह SO(q) को हमेशा O(q) के अधिक से अधिक सुचारू रूप से जुड़े उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से बंद होता है, तो कोई भी दो ( nondegenerate) एक ही आयाम के द्विघात रूप आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। एक सामान्य क्षेत्र k के लिए, आयाम n के विभिन्न द्विघात रूपों से k के ऊपर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, हालांकि उन सभी में बीजगणितीय समापन में समान आधार परिवर्तन होता है। ${\overline {k}}$.

तोरी

समूह $\mathbb {G} _{m}$ और इसके उत्पादों को बीजगणितीय टोरस कहा जाता है। वे एम्बेड करने के बाद से अपचायक समूहों के उदाहरण हैं ${\text{GL}}_{n}$ विकर्ण के माध्यम से, और इस प्रतिनिधित्व से, उनका एकरूप मूलक तुच्छ है। उदाहरण के लिए, ${\mathbb{G}}_m\times <!--\; \times \; -->$