कोणीय विस्थापन: Difference between revisions

Revision as of 11:46, 2 February 2023

निश्चित अक्ष O के बारे में कठोर पिंड P का घूर्णन।

किसी पिंड का कोणीय विस्थापन वह कोण है (कांति, डिग्री (कोण) या परिभ्रमण (ज्यामिति) में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, तो गति का केवल कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वृत्ताकार गति में यह किसी भी समय बदलते वेग और त्वरण से गुजरता है (टी )। किसी पिंड के घूर्णन से निपटने के दौरान, पिंड को ही कठोर मानना सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के बीच अलगाव पूरे पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग उड़ नहीं रहे हैं। यथार्थवादी अर्थ में, सभी चीजें विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को घूर्णी गति कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), एक कण या पिंड P मूल, O, घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी r पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य बदल रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह चाप (ज्यामिति) s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-

s=r\theta \,

माप

कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के बीच बहुत ही सरल संबंध प्रदान करता है।

\theta ={\frac {s}{r}}

उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ जो आसानी से सरल हो जाता है: $\theta =2\pi$ इसलिए, 1 क्रांति है $2\pi$ रेडियन।

जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है $\delta t$ , जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ जो कोणीय विस्थापन के बराबर है।

तीन आयाम

चित्र 1: यूलर का घूर्णन प्रमेय। महान वृत्त घूर्णन के तहत वृत्त में बदल जाता है, सदैव अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।

चित्रा 2: घूर्णन यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।

तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई है। दिशा नियमित आवर्तन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो सदैव यूलर के नियमित आवर्तन प्रमेय के आधार पर उपस्तिथ होती है; परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में नियमित आवर्तन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)। इस इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।

दिशा और परिमाण होने के अतिरिक्त, कोणीय विस्थापन सदिश (ज्यामिति) नहीं है क्योंकि यह इसके अतिरिक्तविनिमेय कानून का पालन नहीं करता है।^[1] फिर भी, जब असीम घूर्णन से निपटते हैं, तो दूसरे क्रम के अतिसूक्ष्म को छोड़ दिया जा सकता है और इस विषय में कम्यूटिविटी दिखाई देती है।

कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई उपाय उपस्तिथ हैं, जैसे घूर्णन मैट्रिक्स या यूलर कोण दूसरों के लिए SO (3) पर चार्ट देखें।

मैट्रिक्स अंकन

यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी फ्रेम को घूर्णन आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को घूर्णन आव्यूह द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। $A_{0}$ और $A_{f}$ दो आव्यूह, उनके बीच के कोणीय विस्थापन आव्यूह को प्राप्त किया जा सकता है $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ जब इस उत्पाद को दोनों फ्रेम के बीच बहुत कम अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के निकट आव्यूह प्राप्त करेंगे।

सीमा में, हमारे पास असीम घूर्णन आव्यूह होगा।

घूर्णन आव्यूह

असीम कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित आव्यूह है असीम घूर्णन आव्यूह:

जैसा कि किसी भी घूर्णन आव्यूह में एकल वास्तविक ईजेनवेल्यू होता है, जो +1 है, यह ईजेनवेल्यू घूर्णन अक्ष को दर्शाता है।
इसके मॉड्यूल को असीम घूर्णन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
आव्यूह का आकार इस तरह है: $A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}$

हम यहां अतिसूक्ष्म एंगुलर विस्थापन टेंसर या घूर्णन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:

d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}

ऐसा है कि इसका संबद्ध घूर्णन आव्यूह है। जब इसे $A=I+d\Phi (t)$ समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह कोणीय वेग सदिश का उत्पादन करेगा।

रोटेशन के जनरेटर

मान लीजिए कि हम यूनिट सदिश [x, y, z] द्वारा घूर्णन की एक धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस वेक्टर के बारे में कोण Δθ का असीम घूर्णन है। अनंत जोड़ के रूप में घूर्णन आव्यूह का विस्तार करना, और पहला ऑर्डर दृष्टिकोण लेना, घूर्णन आव्यूह ΔR के रूप में दर्शाया गया है:

\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .

इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से परिमित आव्यूह को एक ही अक्ष के बारे में छोटे घुमावों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है। θ के रूप में θ/n जहां n एक बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.

यह देखा जा सकता है कि यूलर के प्रमेय में अनिवार्य रूप से कहा गया है कि सभी रोटेशन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। उत्पाद $\mathbf {A} \theta$ मैट्रिक्स A के साथ जुड़े वेक्टर (x, y, z) के रूप में विशेष रोटेशन का जनरेटर है, यह दर्शाता है कि रोटेशन मैट्रिक्स और एक्सिस-कोण प्रारूप घातीय फ़ंक्शन द्वारा संबंधित हैं।

जनरेटर G के लिए सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है। मनमाना विमान के साथ शुरू होता है^[2] लंबवत इकाई वैक्टर a और b की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है। इस विमान में लंबवत y के साथ मनमाना वेक्टर x चुन सकता है। x के संदर्भ में y के लिए हल करता है और विमान में रोटेशन के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करता है, जिसमें रोटेशन मैट्रिक्स R होता है जिसमें जनरेटर G = ba^T − ab^T सम्मलित है ।

{\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}

घुमाव में सतह के बाहर वैक्टर को सम्मलित करने के लिए किसी को दो प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) को सम्मलित करके R के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को संशोधित करने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष को विभाजित करता है। इस संशोधित घुमाव मैट्रिक्स को मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल घुमाव केस के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

{\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}

पूर्ण रोटेशन मैट्रिक्स के अतिरिक्त इन जनरेटर के संदर्भ में विश्लेषण प्रायः आसान होता है। जनरेटर के संदर्भ में विश्लेषण को घुमाव समूह के लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

लाई बीजगणित के साथ संबंध

लाई बीजगणित में मैट्रिसेस स्वयं घुमाव नहीं हैं; तिरछा-सममितीय मैट्रिस डेरिवेटिव, घुमाव के आनुपातिक अंतर हैं। वास्तविक अंतर घुमाव, या इनफिनिटिमल घुमाव मैट्रिक्स का रूप है

I+A\,d\theta ~,

जहाँ $dθ$ गायब है और छोटा है $A \in so (n)$ उदाहरण के लिए $A = L x$ ,

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

संगणना के नियम हमेशा की तरह हैं सिवाय इसके कि दूसरे क्रम के इनफिनिटिमल्स नियमित रूप से गिराए जाते हैं। इन नियमों के साथ, ये मैट्रिसेस उन सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं, जो इनफिनिटिमल्स के सामान्य उपचार के तहत सामान्य परिमित घुमाव मैट्रिसेस के रूप में होते हैं। ^[3] यह पता चला है कि जिस क्रम में असीम घुमाव लागू होते हैं वह अप्रासंगिक है। इस उदाहरण को देखने के लिए, अत्यल्प परिक्रमण SO(3) की सलाह लें।

घातीय मानचित्र

लाई बीजगणित को लाई समूह से जोड़ना घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत) है, जिसे मानक मैट्रिक्स घातीय सीरीज़ $e A$ के लिए परिभाषित किया गया है ^[4] किसी भी तिरछी-सममित मैट्रिक्स के लिए $A$ , $exp(A)$ सदैव घुमाव मैट्रिक्स होता है।^{[nb 1]} महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण $3 \times 3$ है । घुमाव समूह में SO(3) में, यह दिखाया गया है कि प्रत्येक $A \in so (3)$ को यूलर सदिश $ω = θ u$ , पहचाना जा सकता है, जहाँ $u = (x, y, z)$ इकाई परिमाण सदिश है।

पहचान के गुणों से $su (2) ≅ R 3$ , $u$ के शून्य स्थान में है $A$ । इस प्रकार, $u$ द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है $exp(A)$ और इसलिए घुमाव अक्ष है।

रोड्रिग्स के घुमाव फॉर्मूला मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करना | रोड्रिग्स के साथ मैट्रिक्स फॉर्म पर घुमाव फॉर्मूला $θ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ⁄2 + θ⁄2$ , त्रिकोणमितीय पहचान की मानक सूची के साथ मल्टीपल-कोण और आधा-कोण फॉर्मूला प्राप्त करता है,

{\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}

यह अर्ध-कोण रूप में कोण $θ$ द्वारा अक्ष $u$ के चारों ओर घूर्णन के लिए मैट्रिक्स है। पूर्ण विवरण के लिए, घातीय मानचित्र SO(3) देखें

ध्यान दें कि अतिसूक्ष्म कोणों के लिए दूसरे क्रम की शर्तों को अनदेखा किया जा सकता है और $exp(A) = I + A$ बना रहता है

यह भी देखें

↑ Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

संदर्भ

↑ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.
↑ in Euclidean space
↑ (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)
↑ (Wedderburn 1934, §8.02)

स्रोत

Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (third ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-65702-9
Wedderburn, Joseph H. M. (1934), Lectures on Matrices, AMS, ISBN 978-0-8218-3204-2

[5] Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

[1] Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.

[2] Euclidean space

[3] (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)

[4] (Wedderburn 1934, §8.02)

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

@@ Line 37: / Line 37: @@
 |घूर्णन आव्यूह असीम घूर्णन{{!}}असीम घूर्णन|असीम स्ट्रेन थ्योरी असीम घूर्णन टेन्सर{{!}}असीम घूर्णन टेन्सर
 |परिक्रमण समूह SO(3) अत्यंत सूक्ष्म आवर्तन}}
-अतिसूक्ष्म कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित मैट्रिक्स है अतिसूक्ष्म घुमाव मैट्रिक्स:
+असीम कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित आव्यूह है असीम घूर्णन आव्यूह:
-* जैसा कि किसी भी रोटेशन मैट्रिक्स में एकल वास्तविक ईजेनवेल्यू होता है, जो +1 है, यह ईजेनवेल्यू रोटेशन अक्ष को दर्शाता है।
+* जैसा कि किसी भी घूर्णन आव्यूह में एकल वास्तविक ईजेनवेल्यू होता है, जो +1 है, यह ईजेनवेल्यू घूर्णन अक्ष को दर्शाता है।
-* इसके मॉड्यूल को असीम रोटेशन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
+* इसके मॉड्यूल को असीम घूर्णन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
-* मैट्रिक्स का आकार इस तरह है: <math display="block">
+* आव्यूह का आकार इस तरह है: <math display="block">
    A = \begin{pmatrix}
           & -d\phi_z(t) &  d\phi_y(t) \\
@@ Line 48: / Line 48: @@
    \end{pmatrix}
 </math>
-हम यहां अतिसूक्ष्म एंगुलर विस्थापन टेंसर या रोटेशन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:
+हम यहां अतिसूक्ष्म एंगुलर विस्थापन टेंसर या घूर्णन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:
 :<math>
@@ Line 57: / Line 57: @@
    \end{pmatrix}
 </math>
-ऐसा है कि इसका संबद्ध रोटेशन मैट्रिक्स है। जब इसे <math>A = I + d\Phi(t)</math> समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] वेक्टर का उत्पादन करेगा।
+ऐसा है कि इसका संबद्ध घूर्णन आव्यूह है। जब इसे <math>A = I + d\Phi(t)</math> समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] सदिश का उत्पादन करेगा।
 === रोटेशन के जनरेटर ===
-{{Main|रोटेशन मैट्रिक्स
+{{Main|घूर्णन आव्यूह
-|रोटेशन समूह SO(3)|असीम परिवर्तन}}
+|घूर्णन आव्यूह SO(3)|असीम परिवर्तन}}
-मान लीजिए कि हम एक यूनिट वेक्टर [x, y, z] द्वारा रोटेशन की एक धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस वेक्टर के बारे में कोण Δθ का एक असीम रोटेशन है। अनंत जोड़ के रूप में रोटेशन मैट्रिक्स का विस्तार करना, और पहला ऑर्डर दृष्टिकोण लेना, रोटेशन मैट्रिक्स ΔR के रूप में दर्शाया गया है:
+मान लीजिए कि हम यूनिट सदिश [x, y, z] द्वारा घूर्णन की एक धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस वेक्टर के बारे में कोण Δθ का  असीम घूर्णन है। अनंत जोड़ के रूप में घूर्णन आव्यूह का विस्तार करना, और पहला ऑर्डर दृष्टिकोण लेना, घूर्णन आव्यूह ΔR के रूप में दर्शाया गया है:
 : <math>\Delta R =
@@ Line 79: / Line 79: @@
    = \mathbf{I} + \mathbf{A}\,\Delta\theta.
 </math>
-इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से परिमित रोटेशन को एक ही अक्ष के बारे में छोटे घुमावों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है। ''θ'' के रूप में θ/n जहां n एक बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
+इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से परिमित आव्यूह को एक ही अक्ष के बारे में छोटे घुमावों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है। ''θ'' के रूप में θ/n जहां n एक बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
 :<math>R = \left(\mathbf{1} + \frac{\mathbf{A}\theta}{N}\right)^N \approx e^{\mathbf{A}\theta}.</math>

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