रैखिक लोच

रैखिक लोच गणितीय मॉडल ऐसा गणितीय प्रारूप है जिससे यह पता किया जाता है कि कैसे निर्धारित लोडिंग स्थितियों के कारण ठोस वस्तुएं विरूपण (भौतिकी) और आंतरिक रूप से तन्यता (यांत्रिकी) बन सकती हैं। यह अधिक सामान्य परिमित तन्यता सिद्धांत और यह यांत्रिकी की शाखा का सरलीकरण है।

रेखीय लोच की मौलिक रेखीयकरण धारणाएं हैं: अतिसूक्ष्म तन्यता सिद्धांत या छोटे विरूपण (या तन्यता) और तन्यता और तन्यता के घटकों के बीच रैखिक संबंध होता हैं। इसके अतिरिक्त रैखिक लोच केवल तन्यता वाली स्थिति के लिए मान्य है जो यील्ड (इंजीनियरिंग) का उत्पादन नहीं करते हैं।

ये धारणाएँ कई इंजीनियरिंग सामग्री और इंजीनियरिंग डिज़ाइन परिदृश्यों के लिए उचित हैं। अधिकांशतः परिमित तत्व विश्लेषण की सहायता से रैखिक लोच इसलिए संरचनात्मक विश्लेषण और इंजीनियरिंग प्रारूप में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।

गणितीय सूत्रीकरण

रैखिक लोचदार सीमा मूल्य समस्या को नियंत्रित करने वाले समीकरण संवेग के संरक्षण के लिए तीन टेन्सर आंशिक अंतर समीकरणों और छह अति सूक्ष्म तन्यता-विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) संबंधों पर आधारित हैं। अवकल समीकरणों की प्रणाली रैखिक समीकरण बीजगणितीय संघटक समीकरणों के सेट द्वारा पूरी की जाती है।

डायरेक्ट टेंसर फॉर्म

प्रत्यक्ष टेंसर रूप में जो समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, उक्त समीकरण इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता हैं:

• संवेग किसी निकाय के लिए रेखीय संवेग, जो न्यूटन के गति के नियमों की अभिव्यक्ति है, न्यूटन का दूसरा नियम के अनुसार:
  $${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$$
• इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांत या स्ट्रेन-विस्थापन समीकरण:
  $${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$
• संवैधानिक समीकरण को लोचदार सामग्री के लिए, हुक के नियम द्वारा इसके भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और अज्ञात तन्यता से संबंधित रहता है। हुक के नियम का सामान्य समीकरण है इस प्रकार हैं-
  $${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$$

जहाँ ${\boldsymbol {\sigma }}$ कॉची तन्यता टेन्सर है, ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ अतिसूक्ष्म तन्यता टेंसर है, $\mathbf {u}$ विस्थापन (वेक्टर) है, ${\mathsf {C}}$ चौथा क्रम कठोरता टेन्सर कहलाता हैं, यहाँ पर $\mathbf {F}$ प्रति इकाई आयतन भौतिक बल है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है, ${\boldsymbol {\nabla }}$ नाबला ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है, ${\ddot {(\bullet )}}$ समय के संबंध में दूसरी व्युत्पत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, और ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ दो दूसरे क्रम के टेंसरों का आंतरिक उत्पाद है जो विशेषकर दोहराए गए सूचकांकों पर योग को निहित रखता है)।

कार्तीय समन्वय रूप

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में व्यक्त होने वाले रैखिक लोच के लिए स्थिति समीकरण को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं:

• कॉची संवेग समीकरण:
  $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$$
  जहां ${(\bullet )}_{,j}$ सबस्क्रिप्ट के लिए आशुलिपि है $\partial {(\bullet )}/\partial x_{j}$ और $\partial _{tt}$ दर्शाता है $\partial ^{2}/\partial t^{2}$, $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ कॉची स्ट्रेस (भौतिकी) टेंसर है, $F_{i}$ भौतिक बल घनत्व है, $\rho$