अवकल फलन

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गणना में, अवकलन फलन (गणित) स्वतंत्र वेरिएबल्स में परिवर्तन के संबंध में फलन $y=f(x)$ में परिवर्तन के मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है। अवकलन $dy$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$dy=f'(x)\,dx,$

जहाँ $f'(x)$ $x$ के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और $dx$ एक अतिरिक्त वास्तविक वेरिएबल्स (गणित) (जिससे $dy$ $x$ और $dx$ का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$

धारण करता है, जहां लीबनिज संकेतन $dy/dx$ में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है, और यह अवकलन के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। लिखता भी है

$df(x)=f'(x)\,dx.$

वेरिएबल्स का सटीक अर्थ $dy$ और $dx$ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन वेरिएबल्स का डोमेन विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अवकलन को विशेष अवकलन रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अवकलन को किसी फलन की वृद्धि के लिए रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, वेरिएबल्स $dx$ और $dy$ बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

इतिहास और उपयोग

अवकलन को पहली बार आइजैक न्यूटन द्वारा सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था और गॉटफ्रीड लाइबनिट्स द्वारा आगे बढ़ाया गया था,जिन्होंने फ़ंक्शन के तर्क $x$ में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन $dx$ के अनुरूप फ़ंक्शन के मान $y$ में एक अनंत रूप से छोटे परिवर्तन (या अनंत) के रूप में अंतर $dy$ के बारे में सोचा था। उस कारण से, $x$ के संबंध में ${\displaystyle }$