अवकल फलन: Difference between revisions
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डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> अनंत रूप से छोटा नहीं है; किन्तु यह [[वास्तविक संख्या]] है। | डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> अनंत रूप से छोटा नहीं है; किन्तु यह [[वास्तविक संख्या]] है। | ||
उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकलन भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकलन तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकलन <math>dy</math> को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था | उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकलन भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकलन तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकलन <math>dy</math> को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था अभिव्यक्ति द्वारा | ||
:<math>dy = f'(x)\,dx</math> | :<math>dy = f'(x)\,dx</math> | ||
जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref> | जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref> | ||
के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलनों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref> | के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलनों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref> | ||
भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। | भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|कुरेंट |जॉन|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। अवकलन परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक शुद्धता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका लक्ष्य होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को त्रुटिहीन अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है। | ||
[[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकलन की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकलन से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकलन वेतन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है। यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अवकलन (रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, बिंदु पर फलन का अवकलन स्पर्शरेखा सदिश (अनंत रूप से छोटा विस्थापन) का रैखिक फलन है, जो इसे प्रकार के रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फलन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अवकलनों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं कठोर (देखें अवकलन (इनफिनिटिमल)) आधार पर रखा जा सकता है। | [[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकलन की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकलन से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकलन वेतन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है। यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अवकलन (रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, बिंदु पर फलन का अवकलन स्पर्शरेखा सदिश (अनंत रूप से छोटा विस्थापन) का रैखिक फलन है, जो इसे प्रकार के रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फलन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अवकलनों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं कठोर (देखें अवकलन (इनफिनिटिमल)) आधार पर रखा जा सकता है। | ||
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यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A उपस्थित है, जैसे कि | यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A उपस्थित है, जैसे कि | ||
:<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math> | :<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math> | ||
जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ''A'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R<sup>n</sup> से जुड़ा होता है सदिश AΔ'x' ∈ 'R'<sup>m</sup>, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच फलन के लिए काम करने के लिए ही निर्माण किया जा सकता है। | जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ''A'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन मैट्रिक्स]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R<sup>n</sup> से जुड़ा होता है सदिश AΔ'x' ∈ 'R'<sup>m</sup>, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच फलन के लिए काम करने के लिए ही निर्माण किया जा सकता है। | ||
और उपयोगी दृष्टिकोण अवकलन को सीधे प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है: | और उपयोगी दृष्टिकोण अवकलन को सीधे प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है: | ||
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* अवकलन को प्रकार के अवकलन फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फलन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ अनंत वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अवकलन ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है। | * अवकलन को प्रकार के अवकलन फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फलन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ अनंत वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अवकलन ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है। | ||
* क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent | निलपोटेंट]] | * क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent |निलपोटेंट]] तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में लोकप्रिय है।<ref>{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref> | ||
* सेट थ्योरी के स्मूथ मॉडल में अवकलन्स। इस दृष्टिकोण को [[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति | सिंथेटिक अवकलन ज्यामिति]] | * सेट थ्योरी के स्मूथ मॉडल में अवकलन्स। इस दृष्टिकोण को [[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति |सिंथेटिक अवकलन ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि [[ टोपोस सिद्धांत |टोपोस सिद्धांत]] के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल प्रस्तुत किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref> | ||
* [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अवकलन, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें इन्वर्टिबल इनफिनिटिमल्स और अनंत रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref> | * [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अवकलन, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें इन्वर्टिबल इनफिनिटिमल्स और अनंत रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref> | ||
Revision as of 15:17, 1 May 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणना में, अवकलन फलन (गणित) स्वतंत्र वेरिएबल्स में परिवर्तन के संबंध में फलन में परिवर्तन के मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है। अवकलन द्वारा परिभाषित किया गया है
जहाँ के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और एक अतिरिक्त वास्तविक वेरिएबल्स (गणित) (जिससे और का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण