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व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]] ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}}
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]] ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}}
== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने अधिक्षेत्र का, यदि उसके अधिक्षेत्र में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)|सीमा(गणित)]]
एक वास्तविक चर f(x) का एक फलन अपने प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय होता है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है:
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math>
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math>
इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math>(यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और
इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] <math>\varepsilon</math> के लिए (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या <math>\delta</math> ऐसे उपस्थित है कि, हर {{mvar|h}} के लिए ऐसे कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math>
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math>
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं(देखें(ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं(देखें(ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।


यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है {{mvar|f}} पर {{mvar|a}}, और निरूपित <math>f'(a)</math>(के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} के प्रमुख {{math|''a''}}) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math>(के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे।
यदि समारोह {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} अवकलनीय है, यानी अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को {{mvar|f}} पर {{mvar|a}} का व्युत्पन्न और निरूपित <math>f'(a)</math> कहा जाता है, ({{math|''a''}} के प्रमुख {{math|''f''}} के रूप में पढ़ें ) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math>({{math|''f''}} के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें  इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे


== निरंतरता और भिन्नता ==
== निरंतरता और भिन्नता ==


[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके एकरूप {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और रूप में {{math|''h''}} शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है।
[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है(विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर {{math|''a''}} अवकलनीय है, फिर {{math|''f''}} पर {{math|''a''}} भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु {{math|''a''}} चुनें और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके एकरूप {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और रूप में {{math|''h''}} शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है।


[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।]]यद्यपि, समान ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक ​​​​कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}.
[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।]]यद्यपि, समान ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक ​​​​कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}.

Revision as of 21:16, 5 December 2022

This article is about शब्द के रूप में कलन प्रयोग किया जाता है. For विषय का एक कम तकनीकी अवलोकन, see अंतर कलन. For अन्य उपयोग, see अवकलज (disambiguation).

File:Tangent to a curve.svg
एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।
के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा
पथरी
Differential
परिभाषाएं
अवधारणाओं
नियम और पहचान
Integral
परिभाषाएं
द्वारा एकीकरण
Series
अभिसरण परीक्षण
Vector
प्रमेयों
Multivariable
औपचारिकता
परिभाषाएं
Advanced
Specialized
Miscellaneous

गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क (निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान (प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब उपस्थित होता है, तो उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्शरेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए समूहीकृत किया जा सकता है। इस सामूहीकरण में, व्युत्पन्न की एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र(उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह(गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को 'विरोधी विशिष्टीकरण ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।[Note 1]

परिभाषा

एक वास्तविक चर f(x) का एक फलन अपने प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय होता है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है:

इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या ऐसे उपस्थित है कि, हर h के लिए ऐसे कि तथा फिर