आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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[[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोग[[अनुकूलन]] समस्याओं में [[दूसरे क्रम की स्थिति|दूसरे क्रम की स्थितियों]] में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं | [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोग[[अनुकूलन]] समस्याओं में [[दूसरे क्रम की स्थिति|दूसरे क्रम की स्थितियों]] में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं | ||
== | == प्रतिअवकलज अनुरूप == | ||
आंशिक अवकलज के लिए एक अवधारणा है जो नियमित अवकलज के लिए | आंशिक अवकलज के लिए एक अवधारणा है जो नियमित अवकलज के लिए [[प्रतिअवकलज]] के समान है। आंशिक अवकलज को देखते हुए, यह मूल फलन की आंशिक पुनर्प्राप्ति की अनुमति देता है। | ||
:<math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math> | :<math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math> | ||
आंशिक समाकल को x के संबंध में लिया जा सकता है | के उदाहरण पर विचार करें। तथाकथित आंशिक समाकल को x (आंशिक अवकलन के समान तरीके से y को स्थिर मानते हुए) के संबंध में लिया जा सकता है , | ||
:<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | :<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | ||
यहाँ, समाकलन का स्थिरांक | यहाँ, [[समाकलन का स्थिरांक]] अब एक स्थिरांक नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल फलन के सभी चरों का एक फलन है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी फलन जिसमें <math>x</math>सम्मिलित नहीं होता है, आंशिक अवकलज लेते समय गायब हो जाएगा, और जब हम प्रतिअवकलज लेते हैं तो हमें इसका स्पष्टीकरण देना होता है। इसे दर्शाने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि स्थिरांक अन्य सभी चरों के एक अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस प्रकार फलनो का | इस प्रकार फलनो का समुच्चय <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, तथा चर x, y में फलनो के पूरे समुच्चयो का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज <math>2x + y</math> उत्पन्न कर सकता है। | ||
यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो | यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो मूल फलन को एक स्थिरांक तक पुनर्निर्माण करने के लिए उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से प्रतिअवकलज का मिलान किया जा सकता है। हालाँकि, एकल-चर स्थिति के विपरीत, फलन का प्रत्येक समुच्चय एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का समुच्चय नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश क्षेत्र [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी]] नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
Revision as of 07:00, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
,, , , , , or .
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,